Học toán vì tương lai của chúng ta
Trang 1PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN - LỚP 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho biểu thức A x = 2− 12x 2 −
1) Tìm x để A = − 2
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 2 (2,0 điểm).
1) Tìm hằng số a sao cho đa thức ax5 + 5x4 − 9 chia hết cho đa thức x 1 − 2) Giải phương trình:
2 2
x 3 x 2 x 7x
x 1 1 x x 1
Câu 3 (2,0 điểm).
1) Giải bất phương trình: 2x 1 3x − − = − 5
2) Tìm x, y nguyên sao cho 2xy 3x y 1 − − =
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác ABC có µ B 2C = µ ; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N Đường vuông góc với BC tại C cắt AM tại K Chứng minh rằng:
1) ∆ ABM là tam giác cân.
2) AC2 = AB AB BC ( + )
3) MA.KN = MN.KA.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho a3− + − = a2 a 2 0 Chứng minh rằng:
2
a a 5a 2a 3
2
a a 2
+ − + + <
–––––––– Hết ––––––––
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:……… Chữ kí giám thị 1: ……… Chữ kí giám thị 2:………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Câu 1
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
( )
2
x 0
x 12
= − ⇒ − − = −
⇔ − =
=
⇔ =
0.25 0.25 0.5
2
(1,0 đ)
( )2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = -38 khi x = 6
0.5 0.25 0.25
Câu 2
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
Để đa thức ax5+5x4−9 chia hết cho đa thức x 1− thì tồn tại đa thức Q(x) sao cho ax5+5x4− =9 (x 1 Q x− ) ( ) (*)
Thay x = 1 vào (*) ⇒ + − =a 5 9 0
a 4
⇔ =
0.5 0.25 0.25
2
(1,0 đ)
Biến đổi về PT: x2−4x 5 0− =
(x 5 x 1) ( ) 0
⇔ − + =
=
⇔ = −x 5(TM § K)x 1(lo¹i)
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 3
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
2x 1 3x− − = −5(1)
2
≥ : (1) ⇒2x 1 3x− − = − ⇔ =5 x 4
2
2
5
⇒ − − = − ⇔ =
2
< x 6
5
Vậy phương trình có tập nghiệm: S = { }4
0.25 0.25 0.25
0.25
2
(1,0 đ)
( ) ( )
2xy 3x y 1− − = ⇔4xy 6x 2y 2− − = ⇔ 2x 1 2y 3− − =5 (1)
Vì x Z, y Z∈ ∈ ⇒2x 1 Z, 2y 3 Z− ∈ − ∈
Từ (1) ⇒(2x 1 2y 3− ) ( − =) 1.5 5.1= = −( ) ( )1 5− = −( 5).( 1)−
Giải các trường hợp tìm được các cặp số nguyên (x ; y) là (1 ; 4), (3 ; 2), (0 ; -1), (-2 ; 1)
0.25 0.25 0.5