bộ đề thi HSG toán lớp 12 các năm

Chia tam giác này thành 64 tam giác đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác ABC như hình vẽ.. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình bình hà

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

T ỈNH QUẢNG BÌNH

(Đề thi có 01 trang và 05 câu)

K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2019 - 2020

Môn thi: TOÁN

L ỚP 12 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,0 điểm)

a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos 1

2 sin 2

y

x



b Cho hàm số

1

x y

x



 có đồ thị  C và điểm A  1;1 Tìm các giá trị của m để đường thẳng

 d :y mx m cắt đồ thị 1  C tại hai điểm phân biệt , M N sao cho AM2 AN2 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 2 (2,0 điểm)

a Cho hàm số   1

1 2019x

f x 

 Tính tỉ số P

Q , với P  f' 1 2 ' 2f    2019 ' 2019f   và

' 1 2 ' 2 2019 ' 2019

b Giải phương trình: log 3 log 32 2 x  1 1 x

Câu 3 (2,0 điểm)

a Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm Chia tam giác này thành 64 tam giác

đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác ABC (như

hình vẽ) Gọi S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm Chọn ngẫu

nhiên 4 đỉnh thuộc S Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của

hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các

cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên

b Tìm công sai d của cấp số cộng  u n có tất cả các số hạng đều dương và thỏa mãn:



Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥(ABCD), SA = a Một mặt phẳng

  qua CD cắt SA, SB lần lượt tại M, N Đặt AM = x, với 0 x a 

a Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x

b Xác định x để thể tích khối chóp S.MNCD bằng 2

9 lần thể tích khối chóp S.ABCD

Câu 5 (1,0 điểm)

a Cho các số thực phân biệt ,a b  Chứng minh rằng: 1 log loga a b log logb a b

b Cho các số thực a1 a2  a n 1,n 2 Chứng minh rằng:

H ẾT

A

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI (THAM KHẢO)

Câu 1a (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos 1

2 sin 2

y

x



Hướng dẫn

Đặt sinx cosx   t  2; 2 sin 2x t21

1

t

t

Ta có  

1

t



Tính  2 1 2;  2 1 2, 1  2

4 3

y     x  k 

2

y   x k  x   k 

Câu 1b (1,0 điểm) Cho hàm số

1

x y

x



 có đồ thị  C và điểm A  1;1 Tìm các giá trị của m để đường thẳng  d :y mxm cắt đồ thị 1  C tại hai điểm phân biệt , M N sao cho AM2 AN2

đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn Cách 1:

Dễ thấy đường thẳng  d :y mx m 1 luôn đi qua điểm I 1; 1 là giao điểm của hai đường tiệm

cận Ta có

 2

1

1

x

 nên để đường thẳng  d cắt  C tại hai điểm phân biệt ,M N thì

0

m  Khi đó I 1; 1 luôn là trung điểm của đoạn MN

AM AN  AMAN  AM AN  AI  AM AN   AM AN

(*)

Do A cố định nên: nếu ta xét được AMAN là s ố dương và trong tam giác AMN có cạnh MN nhỏ nhất

thì tìm được giá trị nhỏ nhất Mà  C là Hypebol nên khi  d là đường phân giác của góc tạo bởi hai

tiệm cận thì m   và 1  d y:   cx ắt  C tại hai điểm phân biệt M  0;0 ,N 2; 2 và MN nh ỏ nhất,

ta có: AM AN  1.3   1   3 6 0

, hơn nữa AM2 AN2 32 12 20 Vậy

min AM AN 20m   1

Cách 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d cắt và  C : 1 , 1

1

x

x



     (vì x 1 không là nghiệm)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 2  

0

0

m

m

 

Theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2

2 1

x x

m

x x

m

  



AM AN  x   x   m x    m x  

m

m

   





Câu 2a (1,0 điểm). Cho hàm số   1

1 2019x

f x 

 Tính tỉ số P

Q, với

' 1 2 ' 2 2019 ' 2019

P  f  f   f và Q  f'  1 2 'f    2 2019 'f 2019

Hướng dẫn

Do đó f x là hàm số chẵn, suy ra '  g x  x f x '  là hàm số lẻ

Vậy nếu 2019  

1

k



  thì 2019   2019  

1

P

Q

Câu 2b (1,0 điểm) Giải phương trình: log 3 log 32 2 x  1 1 x

Hướng dẫn

Đặt log 32 x   1 y 3x  1 2y, từ phương trình đã cho ta có:

2

log 3y  1 x 3y  1 2x Như thế ta có điều kiện , 1;

3

x y  



  và ta được hệ phương trình:

y

x

x

y

  



3

f t    t t    f t  



  2

t

f t     t     

   , và f t '  2 ln 2t  3 đồng biến nên ta có

t   là điểm cực tiểu của f t ,   f   1 23 0 nên phương trình f t    0 có đúng hai nghiệm t 1,t  3

Mặt khác từ hệ phương trình, trừ theo vế ta có: 3x y2y 2x  3x 2x 3y hay là 2y

   

g x g y , với g t 3t  2t đồng biến trên 1;

3

 

 , suy ra x  y

Cuối cùng phương trình đã cho  f x   0 x 1,x  3

Câu 3a (1,0 điểm).

Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm Chia tam giác này thành 64

tam giác đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các

cạnh tam giác ABC (như hình vẽ) Gọi S là tập hợp các đỉnh của

các tam giác cạnh 1cm Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh thuộc S Tính

xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình bình hành

nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các

cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên

Hướng dẫn

Trên cạnh BC ta có 9 đỉnh của các tam giác đều cạnh 1cm (kể cả B và C), trên đường thẳng tiếp theo song song BC (phía trên BC) ta có 8 đỉnh của các tam giác đều cạnh 1cm, cuối cùng đến A có 1 đỉnh của tam giác đều cạnh 1cm Ta có n S      9 8 7 2  1 45

Như thế số phần tử của không gian mẫu là:   4

45

n  C

Theo yêu cầu: nếu có hình bình hành tạo thành từ 4 đỉnh trong S thì 4 đỉnh đó chỉ có thể thuộc tam

giác đều cạnh 5cm (tức là bỏ đi tất cả các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm nằm trên ba cạnh BC,

CA, AB và cạnh có liên quan đến các đỉnh đó)

• Trường hợp 1: Các cạnh của hình bình hành nằm trên MN hoặc có đúng 1 đỉnh thuộc MN

- Các hình bình hành có cạnh nằm trên MN và

+ Tạo bởi hai đoạn MN, DE: Ta cần chọn thêm 2 đường thẳng song song hoặc trùng với DM (hoặc song song trùng EN) thì tạo ra hình bình hành và mỗi trường hợp này có 2

5

C cách Như vậy có: C52 C52 20 hình bình hành

+ Tạo bởi hai đoạn MN, GF: Lặp lại lập luận trên ta có có: 2 2

C C  hình

+ Tạo bởi hai đoạn MN, HI: Lặp lại lập luận trên ta có có: 2 2

C C  hình

A

4 3 2 1

P

T

I

F

E

K

H

G

D

T

I

F

E

K

H

G

D

T

I

F

K

H

G

T

I K

H

+ Tạo bởi hai đoạn MN, KT: Lặp lại lập luận trên ta có có: 2 2

C C  hình

Vậy các hình bình hành có cạnh nằm trên MN có 20 + 12 + 6 + 2 = 40 hình

- Các hình bình hành có đúng 1 đỉnh thuộc MN

+ Đỉnh số 1 và số 4: đều có 4 hình bình hành

+ Đỉnh số 2 và số 3: đều có 3 hình bình hành

Vậy các hình bình hành có đúng 1 đỉnh thuộc MN có 2.(4 + 3) = 14 hình

Do đó trường hợp 1 ta có: 40 + 14 = 54 hình

• Trường hợp 2: Các cạnh hình hành nằm trên DE nhưng không thuộc MN hoặc có đúng 1 đỉnh

thuộc DE

So với trường hợp 1 thì chỉ số tổ hợp giảm đi 1, ta làm tương tự và có:

• Trường hợp 3: Các cạnh hình hành nằm trên GF nhưng không thuộc MN và DE hoặc có đúng 1

đỉnh thuộc GF

Tương tự ta có  2 2  2 2  

• Trường hợp 4: Các cạnh hình hành nằm trên HI nhưng không thuộc MN, DE và GF hoặc có đúng

1 đỉnh thuộc HI

Ta có  2 2

C C   hình

Số các hình bình hành trong bốn trường hợp là: 54 + 28 + 12 + 3 = 97 hình

Vậy xác suất cần tìm là: 4

45

148995

p C

Lưu ý:

Đề bài yêu cầu các đỉnh hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC nên số hình bình hành là tương đối nhỏ Nếu các đỉnh hình hành không ngoài tam giác ABC thì sẽ nhiều hình hơn

Câu 3b (1,0 điểm) Tìm công sai d của cấp số cộng  u có t n ất cả các số hạng đều dương và thỏa



Hướng dẫn

Từ phương trình đầu của hệ ta có: 2020 2 1 2019  1010 2 1 1009 

4



2u 2019d 4u 2018d d 2u u 5 ,u u 9 ,u u 27u

của hệ, ta có:

log 5log u  log 9log u  log 27log u  2 Đặt log3u1 t, log 53 a , ta có

at  t  t   t  a  t a 

 5 2 2 10 8

3

 5  2 2 10 8 3

u

2

3

2.3

d

 , với a log 53

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a

Một mặt phẳng   qua CD c ắt SA, SB lần lượt tại M, N Đặt AM = x, với 0 x a 

a Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x

b Xác định x để thể tích khối chóp S.MNCD bằng 2

9 lần thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn

a Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x

Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD, suy ra AB //   do đó AB // MN hay ta có MNCD là hình

thang Mặt khác: CD  AD, CD  SA nên CD  mp(SAD) suy ra MN  (SAD) suy ra MN  MD

Vậy tứ giác MNCD là hình thang vuông tại D và M

Từ đó ta có DM là đường cao của hình thang MNCD



     và MA = x nên DM  x2 a2 Do đó ta tính diện tích

b Xác định x để thể tích khối chóp S.MNCD bằng 2

9 lần thể tích khối chóp S.ABCD

Ta có

3

1 .

a

V  SAS  (1) Kẻ SH vuông góc với DM, (H thuộc DM), ta có:

MN (SAD) (theo ch ứng minh câu a) nên MN SH, suy ra SH (MNCD), t ừ đó SH là đường cao

của khối chóp S.MNCD

Trong hai tam giác vuông đồng dạng SHM và DAM ta có:

a a x





  do đó thể tích của khối chóp S.MNCD là:

A

D

S

N

    2 2   

1

V

Từ (1), (2) và yêu cầu bài toán ta có phương trình:  2  2 3

a ax ax a



  

Vậy với 2

3

a

x  thì thể tích khối chóp S.MNCD bằng 2

9 lần thể tích khối chóp S.ABCD

Câu 5a (0,5 điểm) Cho các số thực phân biệt ,a b  Ch1 ứng minh rằng:

log loga a b log logb a b

Hướng dẫn

a b  t t   b a Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

    loga t loga t t  t1 loga t  (*) 0

Nếu t  thì 1 t 1 0 & loga t  0  * đúng

Nếu 0 t 1 thì t 1 0 & loga t  0  * đúng Vậy ta có điều cần chứng minh

Câu 5b (0,5 điểm) Cho các số thực a1 a2  a n 1,n 2 Chứng minh rằng:

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức trong câu 5a, ta có:

log loga a a log loga a a log loga a a log loga a a

log loga a a loga loga a loga loga a .loga a loga loga a

Lặp lại lần nữa:

log loga a a log loga a a log loga a a log loga a a

log loga a a log loga a a log loga a a loga a log loga a a

Cứ tiếp tục lặp lại như thế ta lần lượt thay được cơ số ngoài cùng của logarit và số lấy logarit trong cùng (chú ý mỗi lần thay thì cơ số a 1 không đổi), ký hiệu vế trái là P, cuối cùng ta có:

- H ẾT -

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

Năm học 2018-2019 Môn thi: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

Câu I.1

1,0 đ Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị  C Tìm mđể đường thẳng d y:   x m cắt  C

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho PAB đều, biếtP 2;5

hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( ) C là nghiệm phương trình

2 1

1

x

x m x



   

 x2(m3)x m  1 0 1  (x   không là nghiệm của (1)) 1 0,25

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  1 có hai

nghiệm phân biệt    0 m22m13 0   m 0,25

Gọi x x là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 1, 2 1 2

1 2

3 1

x x m





Giả sử A x 1;x1m, B x 2;x2m

Khi đó ta có:  2

2

AB x x

  2 2   2 2

PA x     x m  x   x  ,

  2 2   2 2

PB x     x m  x   x 

Suy ra PAB cân tại P

0,25

Do đó PAB đều PA2  AB2

  2 2  2  2  

5

m

m





 Vậy giá trị cần tìm là m1,m  5

0,25

Câu I.2

1,0 đ Một mảnh đất hình chữ nhật ABCDcó chiều dài AB25m, chiều rộng

20

trung điểm BCvàAD) Một đội xây dựng làm một con đường đi từ Ađến C qua vạch

chắn MN, biết khi làm đường trên miền ABMNmỗi giờ làm được 15mvà khi làm

làm được con đường đi từ A đến C

Giả sử con đường đi từ A đến C gặp vạch chắn MN tại E

NEx m x  AE x 

(25 ) 10

CE x 

0,25

Thời gian làm đường đi từ A đến C là

2

x

x 25m

M

A

E

2

(25 )

15 100 30 (25 ) 100

t x



'( ) 0 2 (25 ) 100 (25 ) 100

(25 ) 0

4 [(25 ) 100] (25 ) ( 100)



 



4(25 ) ( 25) [400 (25 ) ]=0 ( 5)[4(25 ) ( 5) (45 )]=0

5;

x

 

0,25

t   t   t   Thời gian ngắn nhất làm con đường từ

A đến C là 2 5

3 (giờ)

0,25

CâuII.1

1,0 đ Giải hệ phương trình







Điều kiện

0 1 3

y x







  

(1)(3x1) 4 3x 1 y 4 y(*)

xét hàm số f t( ) t4 4 (t t[0; từ (*) ta có )); f( 3x 1) f( y)

3

'( ) 4 4; '( ) 0 1

f t  t  f t    t

bảng biến thiên

f(t)

f'(t)

+∞

1 0

t

0,25

Từ bảng biến thiên ta thấy : hàm số nghịch biến trên [0;1] ; đồng biến trên [1; )

+ Nếu 3x  và 1 y cùng thuộc [0;1] hoặc [1; thì ta có ) 3x 1 y  y 3x1

thay vào (2) ta có

0,25

4

y



mãn)

0,25

+Nếu 3x  và 1 y không cùng thuộc [0;1] hoặc [1; thì )



3 (x y 1) ( x 3 1) 0

      vô lý Vậy hệ có 2 nghiệm ( ; )x y là (1; 4)

0,25

CâuII.2

1,0 đ

Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng 3 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục Kết quả có 12 tiết mục

đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12, có 5 tiết mục khối 11và 3 tiết mục khối 10 Ban tổ

chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3 Tính xác suất sao cho khối

nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12

3

Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là 

Số phần tử của không gian mẫu là: n( )= 5

Gọi A là biến cố “ Chọn 5 tiết mục sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và

trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12''

Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là :

+ 2 tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, một tiết mục khối 11

+ 2 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 2 tiết mục khối 11

+ 3 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 1 tiết mục khối 11 0,25

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = 2 2 1 2 1 2 3 1 1

4 .3 5 4 .3 5 4 .3 5 330

C C C C C C C C C  0,25 Xác suất cần tìm là 330 5

792 12

Câu III.1

1,0 đ Cho dãy số  u n xác định bởi

2

n

n

u

u



    Xét tính đơn điệu và bị chặn của  u n

n

u   n (1)

Giả sử

2



*

 dãy số  u n giảm

0,25

Do dãy số  u n giảm nên * *

0 u n 1, n

      dãy số

Câu

III.2

1,0 đ

ABCD ( AB CD AB CD/ / ,  )có AD DC ,D(3;3) Đường thẳng ACcó phương trình

2 0

x y   , đường thẳng ABđi qua M  ( 1; 1) Viết phương trình đường thẳng BC

Gọi H là hình chiếu của D trên AC và ' D là

giao điểm của DH với AD

Vì DC AD nên ADC cân tại

DDAC DCA mà CAB DCA (so le trong)DAH D AH'  H là trung điểm của

BB’ BB qua B và vuông góc với AC Ta viết ' được phương trình BB’:x y   6 0

 

H BBACH Có H là trung

điểm củaDD Do đó' D' 5;1 

0,25

AB đi qua M và nhận MDuuuur' làm vtcp nên phương trình

AB x y   ACABA2;0

Ta có ADCD là hình bình hành nên ' uuurAD D Cuuuur' Do đó,C6; 4 0,25 Gọi d là đường trung trực của DC , suy ra : 3 d x y 17 0 Gọi I d AB, I là trung

điểm của AB 53 11;

10 10

AB d I 

43 11

;

5 5

B 

Đường thẳng BC đi qua C và nhận CBuuur làm vectơ chỉ phương nênBC: 9x13y106 0 0,25

M

I D' H

B A

4

Câu

III.1

1,0 đ

Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông ’ ’ ’ ’

1) Gọi Slà tâm của hình vuông A B C D' ' ' ' SA, BCcó trung điểm lần lượt là M và

N Tính thể tích của khối chóp S ABC theo a, biết MNtạo với mặt phẳng

(ABCD)một góc bằng 600 và AB a

Gọi H là trung điểm của AC => SH là trung tuyến trong tam giác SAC Mặt khác SAC cân tại S

=> SH là đường cao SH  AC

       

 

 

;

;

SH SAC SH AC

SH ABC



Gọi I là trung điểm của AH , mà M là trung điểm của SA => IM là đường trung bình trong

tam giác SAH

/ / 1 2

IM SH







        0

/ /

IM SH





0,25

ABC

 vuông cân tại B , có AB = a => BC = a; AC a 2=> CI = 3 3 2

CI  AC a 1

a

NC BC  ; ABC vuông cân tại B  A C450

NI  CI CN  CI CN ICN  MI IM 

0,25

3

Câu

III.2

1,0 đ

Khi AA' AB Gọi R S, lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A D CD’ , ’sao cho

3

a

’ ’ ’ ’

ABCD A B C D theo a

Đặt 'uuuurA A m A Dur uuuuur, ' 'n A Br uuuuur, ' ' urp mur  nr  urp b m n n p; ur r r ur ur urp m 0

và 'uuuurA R x A D D S ' ; 'uuuur uuuur y D C 'uuuur

Ta có

A R x m x n D S   y m y p R RA A D D S

uuuur ur r uuuur ur ur uur uuur uuuuur uuuur

y x m 1 x n y p

Do đường thẳng RS vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có 0,25

S R

C'

B

p

B' n

D'

m

A

A'

a

60 0

N

M

S

C

B A