luận văn thạc sĩ phân tích tai của đồ thị và đồ thị series parallel

Danh sách hình vẽ 31 TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ 8 1.1 Các định nghĩa cơ bản về đồ thị và ví dụ.. Giá trị bị chặn tốt nhất được biết làCm, n =

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TSKH Phan Thị Hà Dương

Hà Nội - 2019

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏicủa bản thân và sự hướng dẫn tận tình của cô Phan Thị Hà Dương Mọi kết quảnghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể.

Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo

vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phươngtiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan

Hà Nội, tháng 10 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Thu Hà

Để hoàn thành luận văn này, trước hết tôi xin được bày tỏ sự biết ơn sâu sắcnhất của mình tới PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương đã trực tiếp hướng dẫn, chỉbảo tận tình cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong suốt thời gian tôithực hiện luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô, các anh chị và bạn bè trongViện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứutại Viện

Qua đây, tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuậnlợi của cơ sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoahọc và Công nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, người thân đã luôn quan tâm, giúp đỡ,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 10 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Thu Hà

Danh sách hình vẽ 3

1 TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ 8

1.1 Các định nghĩa cơ bản về đồ thị và ví dụ 8

1.2 Tính liên thông của đồ thị 12

1.3 Các loại liên thông trên đồ thị 15

1.3.1 Đồ thị k - liên thông 15

1.3.2 Đồ thị k - cạnh liên thông 21

1.4 Hai loại phân tích tai Điều kiện để có phân tích tai 24

1.4.1 Phân tích tai loại 1 24

1.4.2 Phân tích tai loại 2 27

2 NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL DỰA TRÊN PHÂN

1

2.1 Phân tích tai gắn kết 33

2.2 Đồ thị Series - Parallel và phân tích tai 40

2.2.1 Định nghĩa đồ thị Series - Parallel 40

2.2.2 Điều kiện để một đồ thị là Series - Parallel 41

2.3 Thuật toán nhận dạng đồ thị Series - Parallel 48

2.3.1 Ý tưởng thuật toán 48

2.3.2 Kiểm tra tính gắn kết 49

2.3.3 Độ phức tạp và ví dụ 59

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 65

1.1 Một số ví dụ về đồ thị 10

1.2 Đồ thị hai phần và đồ thị hai phần đầy đủ K2,3 10

1.3 Đồ thị vô hướng G 13

1.4 Trường hợp P chứae 13

1.5 Rừng gồm 4 cây 14

1.6 Kết nối của K3,K2,3 và đồ thị liên thông có một đỉnh cắt 16

1.7 Trường hợp đường Rcó điểm trong chung với cả P và Q 18

1.8 Chu trình u, x, y, v, uđi qua hai cạnhuv vàxy 19

1.9 Sự phân chia cạnhuv thành đườngu, w, v 19

1.10 Sửa đổi chu trình qua e, f 20

1.11 Ví dụ tập ngắt kết nối cạnh không phải tập cạnh cắt 22

1.12 Hình minh họaS, S vàT 23

1.13 Kết nối và kết nối cạnh của một số đồ thị 23

1.14 Ví dụ về phân tích tai và phân tích tai mở loại 1 24

1.15 Phân tích tai mới thu được khi thayP3 = P0 25

1.16 Chuỗi các phép phân chia cạnhuv chuyển đồ thịG + uv thành G ∪ P 26

3

1.17 Phân tích tai và phân tích tai mở loại 2 28

1.18 Đồ thịG, cây các khối và cây các đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại của G 29

1.19 Hình minh họa các trường hợp khi thêm tai thứk 30

2.1 Phân tích tai gắn kết và phân tích tai dạng cây 34

2.2 Cây của các khoảng gắn trên tai E1 35

2.3 Phân tích tai dạng cây và cây 36

2.4 Tai Ej gắn trênEi nhưng không gắn thực sự 38

2.5 Cấu trúc của một đồ thị TTSP bằng các phép tổng hợp chuỗi và song song 41

2.6 Cây nhị phân thể hiện cấu trúc của đồ thị TTSP trong hình 2.5 42 2.7 Hình minh họa trường hợp 1 và 2 43

2.8 Tai Ei và đường taiHi 51

2.9 Cây gắn kết của taiEi 56

2.10 Đường tai Hj của tai Ej 56

2.11 Cây sp 58

2.12 Đồ thịG 60

2.13 Đường cạnh H1 và câysp 61

2.14 Đường cạnh H2 và câysp 61

2.15 Đường cạnh H3 và câysp 62

2.16 Đường cạnh H4 và câysp 63

2.17 Đường cạnh H5 và câysp 63

2.18 Cây spcủa G 64

2.1 Danh sách các cạnh đi xuôi và đi ngược của các đỉnh trong Hi 51

2.2 Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong Hi 55

2.3 Lưu trữ các cạnh của Hi vào các ô nhớ 55

2.4 Danh sách các cạnh đi xuôi và đi ngược của các đỉnh trong Hj 56

2.5 Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong Hj 57

2.6 Lưu trữ các cạnh của Hj vào các ô nhớ 57

2.7 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh ei 58

2.8 Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong H1 60

2.9 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trongH1 60

2.10 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trongH2 61

2.11 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trongH3 62

2.12 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trongH4 62

2.13 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trongH5 63

5

MỞ ĐẦU

Ngày nay, lý thuyết đồ thị đã được phát triển mạnh mẽ, trở thành một chủ đềquan trọng của Toán học, và được sử dụng trong nhiều vấn đề ứng dụng toánhọc Một trong những lớp đồ thị cơ bản, quan trọng là đồ thị Series Parallel.Chúng hay được ứng dụng trong mô hình mạch điện, trong các vấn đề lập kếhoạch

Việc nhận ra các đồ thị Series Parallel là một trong những vấn đề được nhiềunhà khoa học quan tâm và điều này có thể được thực hiện trong thời gian tuyếntính (Valdes, Tarjan và Lawler, 1979 [2]) Hơn nữa, khi ta biết một phân tích của

đồ thị Series Parallel theo hai phép toán Series và Parallel thì ta có thể giải quyếtđược nhiều vấn đề trong thời gian tuyến tính như tìm ghép cặp lớn nhất, tập độclập lớn nhất, trong đó có nhiều vấn đề là NP – khó cho các đồ thị tổng quát.Năm 1987, He và Yesha [3] đã đưa ra một thuật toán nhận dạng đồ thị Series-parallel có hướng trong thời gianO(log2n)vớiO(m + n)bộ xử lí trên EREWPRAM Năm 1992, Eppstein [4] đã cải thiện kết quả này, thuật toán chạy trongthời gianO(logn)với C(m, n)bộ xử lí trên CRCW PRAM, trong đóC(m, n)

là số bộ xử lí cần thiết để đếm số thành phần liên thông của đồ thị trong thời gianlogarit Giá trị bị chặn tốt nhất được biết làC(m, n) = O(mα(m, n)/logn).Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày về phân tích tai của đồ thị, mốiliên hệ giữa phân tích tai và đồ thị Series Parallel và quan trọng là trình bàythuật toán nhận dạng đồ thị Series Parallel, thuật toán dựa trên khái niệm phântích tai mở của đồ thị Luận văn được chia làm hai chương như sau:

Chương 1: Tìm hiểu về phân tích tai và mối liên hệ với tính liên thông của

đồ thị Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của đồ thị,các loại liên thông trên đồ thị, định nghĩa phân tích tai và mối liên hệ với tínhliên thông

Chương 2: Nhận dạng đồ thị Series Parallel dựa trên phân tích tai Ở chương

này, chúng tôi sẽ giới thiệu về đồ thị Series Parallel, phân tích tai gắn kết, sau

đó trình bày điều kiện để một đồ thị là Series Parallel và cuối cùng là kết hợpcác kết quả đã có để hình thành thuật toán

Mặc dù bản thân tác giả đã rất cố gắng, xong luận văn này không thể tránhkhỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ

MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN

THÔNG CỦA ĐỒ THỊ

Trước khi đi vào vấn đề chính, chúng tôi sẽ trình bày về những kiến thức cơbản của đồ thị, tính liên thông,k - liên thông, giới thiệu về phân tích tai của đồthị và mối liên hệ của nó với tính liên thông Để làm sáng tỏ hơn vấn đề, chúngtôi đã trình bày chi tiết chứng minh các định lý, phân chia các trường hợp cụ thể

Định nghĩa 1.1.1 (Đồ thị vô hướng)

8

Hai đỉnh thuộc một cạnh được gọi là các đầu mút của cạnh đó Ta kí hiệu

V (G)là tập đỉnh củaG,E(G)là tập cạnh củaG.

• Cạnh e = uv (hay e = vu) nếu u, v là hai đầu mút của e Khi đó ta nói

nhau.

Định nghĩa 1.1.2 Một khuyên là một cạnh mà hai đỉnh cuối của nó trùng nhau.

Các cạnh bội là những cạnh mà chúng có chung đỉnh cuối Đơn đồ thị là đồ thị không có khuyên hoặc cạnh bội.

Trong luận văn này ta xét các đồ thị vô hướng có thể có khuyên và cạnh bội

Định nghĩa 1.1.3 Cho đồ thị G, bậc của đỉnh v ∈ V (G) kí hiệu làdG(v) hay

Định nghĩa 1.1.4 Đơn đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mọi

Ví dụ 1.1.1 Trong hình 1.1

Định nghĩa 1.1.5 (Đồ thị hai phần)

u1, u2 ∈ U, w1, w2 ∈ W thì(u1, u2) /∈ E, (w1, w2) /∈ E Khi đó ta có thể

Hình 1.1: Một số ví dụ về đồ thị.

Hình 1.2: Đồ thị hai phần và đồ thị hai phần đầy đủ K2,3.

Định nghĩa 1.1.6 (Đồ thị con và đồ thị con cảm sinh)

E(H) ⊆ E(G)và cách gán hai đầu mút cho các cạnh trongH giống như

• ChoT ⊆ V (G), đồ thị con củaG sinh bởi T là đồ thị con của G có tập

Ví dụ 1.1.2 Cho đồ thị G như trong hình 1.1 Ta có đồ thị H với V (H) ={v1, v2, v3, v4} và E(H) = {e1, e2, e3, e4} là một đồ thị con của G và do H

Định nghĩa 1.1.7 ChoG = (V, E) là một đồ thị vô hướng Một hành trình là

i = 0, 1, , k − 1, vivi+1 là một cạnh của Gvà không có cạnh bội có hai đầu

hai đỉnh cuối của một đường là hai đầu mút của đường đó.

là 3 và khi xóa đi đỉnh cuối thì trở thành đường.

Ví dụ 1.1.3 Cho đồ thịG = (V, E)như trong hình 1.1 Khi đó:

1.2 Tính liên thông của đồ thị

Trong mục này, chúng tôi trình bày về tính liên thông và khái niệm cây trong

đồ thị Cây là một trong những lớp đồ thị quan trọng có rất nhiều ứng dụng, đặcbiệt trong việc lưu trữ dữ liệu, tìm kiếm, Trong chương 2, chúng tôi sẽ dùngcây để biểu thị cấu trúc của đồ thị Series - Parallel

Định nghĩa 1.2.1 Một đồ thị Glà liên thông nếu mọi u, v ∈ G đều có đường

Định nghĩa 1.2.2 Một thành phần liên thông của đồ thị G là đồ thị con liên

chứa cạnh nào, ngược lại là không tầm thường Đỉnh cô lập là đỉnh có bậc 0.

Định nghĩa 1.2.3 Cạnh cắt hoặc đỉnh cắt của một đồ thị là một cạnh hoặc một

đỉnh mà việc xóa nó làm tăng số thành phần liên thông.

Ví dụ 1.2.1 Ta thấy đồ thị trong hình 1.3 là đồ thị không liên thông do không

là: {a}, {b, c, d, e}, {f, g, h} Ta có g là đỉnh cắt của đồ thị, gh và gf là các

Hình 1.3: Đồ thị vô hướng G.

Cho elà một cạnh của đồ thịG(với hai đầu mút là x, y) vàH là một thànhphần liên thông của G chứa e Do việc xóa bỏ e không ảnh hưởng đến cácthành phần liên thông khác nên việc chứng minh định lý trên sẽ tương đươngvới chứng minhH − eliên thông khi và chỉ khiethuộc một xích

Đầu tiên giả sử H − eliên thông Khi đó nó chứa một đường nối từxđến y

và không qua e, ghép đường đó với cạnh eta được một xích chứae Ngược lạigiả sử ethuộc xích C Lấy hai đỉnh bất kì u, v ∈ V (H) DoH liên thông nêntồn tại đường P nốiu, v Nếu P không chứa e thì P là đường trong H − e đinối u, v Nếu P chứa e, không mất tính tính tổng quát giả sửx nằm giữa y và

utrong P Ta cóH − e chứa đường từutới x, đường từ y tới v dọc theo P vàđường từxtới y dọc theoC (hình 1.4) Kết hợp ba đường trên ta thu được mộtđườngu, vtrong H − e Do dóH − e là liên thông

Hình 1.4: Trường hợp P chứa e.

Định nghĩa 1.2.4 Một đồ thị không có vòng là một đồ thị phi chu trình Rừng

là một đồ thị phi chu trình Cây là đồ thị liên thông và không có chu trình Lá

làV (G) Cây bao trùm là một thị con bao trùm và là một cây.

4 Với u, v ∈ V (G), có duy nhất một đường nối từ utớiv.

Hệ quả 1.2.1 [5]

1 Mọi cạnh của một cây đều là một cạnh cắt.

2 Thêm một cạnh vào cây tạo ra duy nhất một vòng.

3 Mọi đồ thị liên thông đều chứa một cây bao trùm.

Trong mục này chúng tôi trình bày về những lớp đồ thị có "liên kết" tốt, tức

là các đỉnh của đồ thị vẫn được kết nối với nhau kể cả khi xóa bỏ một số đỉnhhoặc cạnh Điều này rất có ý nghĩa trong việc xây dựng mạng lưới truyền thông,điện lưới,

1.3.1 Đồ thị k - liên thông

Phần này giới thiệu về đồ thị k - liên thông, đồ thị mà sau khi xóa đi k − 1

đỉnh thì vẫn còn liên thông

Định nghĩa 1.3.1 Tập phân tách hay tập đỉnh cắt của đồ thị G là tập S ⊆

V (G)sao choG − S có nhiều hơn một thành phần liên thông.

choG − S là không liên thông hoặc chỉ có một đỉnh.

Ví dụ 1.3.1. • Một clique không có tập phân tách vàκ(Kn) = n − 1 Từ đó

• κ(Km,n) = min(m, n)vớiKm.n là đồ thị hai phần đầy đủ.

• Một đồ thị có nhiều hơn hai đỉnh có kết nối 1 khi và chỉ khi nó liên thông

và có một đỉnh cắt.

thông.

• κ(K1) = 0

Hình 1.6: Kết nối của K3, K2,3và đồ thị liên thông có một đỉnh cắt.

Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về đồ thị 2 - liên thông, lớp đồ thị vẫn giữđược tính 2 - liên thông khi ta thay thế một cạnh của đồ thị bằng một cặp cạnhkhác Đặc biệt nó có thể được phân tích thành hợp của các xích và đường

ĐỒ THỊ 2-LIÊN THÔNG

Định nghĩa 1.3.2 Hai đường nối từ u đến v là rời nhau nếu chúng không có đỉnh trong chung.

Định lý 1.3.1 [5] Một đồ thịGcó ít nhất 3 đỉnh là 2 - liên thông khi và chỉ khi

uvới v nên nếu xóa đi một đỉnh củaGthì không thể chia cắt được uvà v Vậy

Glà 2 - liên thông

G chứa các đường u, v rời nhau bằng quy nạp theo d(u, v) Nếu d(u, v) = 1

VìG là 2 - liên thông nênκ0(G) ≥ κ(G) ≥ 2 Do đó G − uv liên thông nênsuy ra tồn tại đường nốiu tớiv trongG − uv, đường này rời nhau với cạnh uv

trongG Vậy trongGchứa hai đường rời nhau nối uvàv

Giả sử giả thiết đúng với 1 < d(u, v) ≤ k − 1 Ta chứng minh mệnh đềđúng vớid(u, v) = k Lấyw là đỉnh trước v trên đường nối u tới v ngắn nhất,khi đó ta có d(u, w) = k − 1 Theo giả thiết quy nạp Gchứa hai đường nối u

tới w rời nhau P và Q Nếu v ∈ V (P ) ∪ V (Q) khi đó ta tìm được hai đườngrời nhau trên đường tròn P ∪ Q Giử sử v /∈ V (P ) ∪ V (Q), do G là 2 - liênthông nên G − w liên thông Do đó tồn tại đường R đi từ u tới v chứa trong

G − w NếuR không có điểm trong chung vớiP hoặcQthìGchứa hai đườngrời nhau nốiu, vlàR vàP ∪ wv (nếuR\{u} ∩ V (P ) = ∅) hoặcQ ∪ wv (nếu

R\{u} ∩ V (Q) = ∅) Nếu R có điểm trong chung với cả P và Q Gọi z làđỉnh cuối cùng củaR(trước v) thuộcP ∪ Q Không mất tính tổng quát, giả sử

z ∈ P Ta sẽ kết hợp đường con từu tới z của P với đường con từ z tới v của

Rđể tạo nên đường nối uvàv rời nhau với Q ∪ wv (hình 1.7) VậyGchứa haiđường rời nhau từuđếnv

Hệ quả 1.3.1 [5] Nếu G là đồ thị k - liên thông và G0 là đồ thị thu được khi

-liên thông.

Hình 1.7: Trường hợp đường R có điểm trong chung với cả P và Q.

G, do đó|S| ≥ k + 1

Nếu y /∈ S và N (y) ⊆ S thì |S| ≥ k Mặt khác nếu y và N (y) − S nằmtrên một thành phần liên thông củaG0 − S thìS phải chia cắtGvà |S| ≥ k.Vậy ta có|S| ≥ k nênG0 làk - liên thông

Định lý 1.3.2 [5] Cho Glà đồ thị với ít nhất ba đỉnh, các mệnh đề sau tương đương.

d) δ(G) ≥ 1và mọi cặp cạnh củaGđều cùng nằm trên một chu trình.

Do định lý 1.3.1 ta có a ⇔ b Mỗi một chu trình chứa x, y tương ứng với mộtcặp đường nối x và y rời nhau nên ta có c ⇔ b, vậy ta chỉ cần chứng minh

c ⇔ d

Ta có d ⇒ c vì δ(G) ≥ 1 nên x, y không phải đỉnh cô lập Nếu xy là mộtcạnh củaGthì tồn tại một chu trình đi quaxyvà bất kì một cạnh nào khác trong

Gdo đó tồn tại chu trình đi quaxvày Ngược lại, nếux, ykhông kề nhau ta ápdụng ý (d) cho hai cạnh kề vớixvày ta được một chu trình đi quax, y

c ⇒ d: Ta có a ⇔ c nên G thỏa mãn cả (a) và (c) Vì G liên thông nên

δ(G) ≥ 1 Xét hai cạnhuv vàxy củaG Ta thêm hai đỉnhw,zvà các cạnhwu,

wv, zx, zy vàoGvà thu được đồ thịG0 Do Glà 2 - liên thông nênG0 - 2 liênthông (hệ quả 1.3.1) Áp dụng (c) suy ra tồn tại chu trìnhT đi qua w và z Do

w, z có bậc là 2 nên T phải chứa hai đường uwv và xzy Thay thế hai đườngtrên bởi các cạnh uv và xy ta được một chu trình đi qua uv và xy (hình 1.8)

Hình 1.8: Chu trình u, x, y, v, u đi qua hai cạnh uv và xy.

Định nghĩa 1.3.3 [5] Trong đồ thịG, sự phân chia (subdivision) của một cạnh

Hình 1.9: Sự phân chia cạnh uv thành đường u, w, v.

Hệ quả 1.3.2 [5] Nếu G là đồ thị 2 - liên thông thì đồ thị G0 thu được bằng

wu, wv để phân chia cạnhuv Ta chứng minhG0 là 2 - liên thông bằng cách sửdụng định lý 1.3.2.d Tức là ta sẽ chỉ ra có một chu trình đi qua hai cạnhe, f bất

kì củaG0

trên một chu trình chứa trong G Nếu chu trình đó không chứauv thì nó cũngnằm trong G0 Nếu nó chứa uv thì ta sẽ sửa đổi chu trình này như sau (hình1.10):

Hình 1.10: Sửa đổi chu trình qua e, f

tại một chu trình đi qua hai cạnh đó, tiếp tục sửa đổi chu trình này giống nhưtrong trường hợp 1 ta thu được một chu trình đi quae, f và nằm trongG0

bất kì khác trong G, sửa đổi chu trình đó ta được một chu trình đi qua e, f vànằm trongG0 VậyG0 là 2 - liên thông

1.3.2 Đồ thị k - cạnh liên thông

Tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu về một loại liên thông khác đó là k - cạnhliên thông, đồ thịk - cạnh liên thông là đồ thị mà sau khi xóa đik − 1cạnh thìvẫn còn liên thông

Định nghĩa 1.3.4 [5] Tập ngắt kết nối cạnh là tập F ⊆ E(G)sao cho G − F

có nhiều hơn một thành phần liên thông

Một đồ thị là k - cạnh liên thông nếu mọi tập ngắt kết nối cạnh của có có ítnhấtk cạnh Tức là xóa đik − 1cạnh thì đồ thị vẫn còn liên thông

Kết nối cạnh của G, viết là κ0(G) là kích cỡ nhỏ nhất của các tập ngắt kếtnối cạnh củaG

Cho S, T ⊆ V (G), ta viết [S, T ] là tập các cạnh có một đỉnh thuộc S vàđỉnh còn lại thuộc T Tập cạnh cắt là tập cạnh có dạng [S, S] với S là tập conthực sự khác rỗng củaV (G)và S = V (G) − S

Chú ý 1 Mọi tập cạnh cắt là tập ngắt kết nối cạnh, doG − [S, S] không chứa

có thể có nhiều cạnh (hình 1.11).

Tuy nhiên, mọi tập ngắt kết nối cạnh cực tiểu đều là một tập cạnh cắt (khi

[V (H), V (H)], do tính cực tiểu củaF nênF = [V (H), V (H)].

Định lý 1.3.3 [5] NếuGlà đơn đồ thị thì:

κ(G) ≤ κ0(G) ≤ δ(G)

cạnh cắt nênκ0(G) ≤ δ(G) Do đó ta chỉ cần chỉ ra κ(G) ≤ κ0(G)

Hình 1.11: Ví dụ tập ngắt kết nối cạnh không phải tập cạnh cắt.

Xét [S, S] là tập cạnh cắt nhỏ nhất Nếu mọi đỉnh trong S đều kề với mọiđỉnh trongS thì [S, S] = |S| S ≥ n(G) − 1màκ(G) ≤ n(G) − 1(Ví dụ1.3.1) nên ... ta phân tích tai khácnhau, xích đồ thị G tai phân tích tainào

Định lý 1.4.2 [5] Một đồ thị - cạnh liên thông có một

phân tích tai xích đồ thị tai phân tích tai. .. xích đồ thị Một số lớp đồ thị quantrọng mơ tả dạng đồ thị có phân tích tai thỏa mãn mộttính chất Trong phần chúng tơi trình bày hai loại phân tích tai và? ?ặt tên phân tích tai loại phân tích tai loại... ta phân tích tai khác nhau, xíchtrong đồ thịGđều tai phân tích tai

1.4.2 Phân tích tai loại 2

Định nghĩa 1.4.2 [5] Một phân tích tai loại đồ thị< /b> G là phân