PARALLEL DỰA TRÊN PHÂN TÍCH TAI
2.1 Phân tích tai gắn kết
Đầu tiên chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu các trường hợp phân tích tai.
Định nghĩa 2.1.1. [4]Cho đồ thịGvà một phân tích tai mở ED ={E1,E2, ...,Ek} củaG. Ta định nghĩa hàm eED tác động lên đỉnhv như sau:
• eED(v) = Ei nếu v là đỉnh trong củaEi.
• eED(v) = E1 nếuv là đầu mút củaE1.
Định nghĩa 2.1.2. [4] TaiEi được gọi là gắn (nested) trên taiEj nếu j < i và hai đầu mút củaEi nằm trên Ej.
Khoảng gắn (nest interval) của tai Ei trên tai Ej là đường trên Ej nối hai đầu mút củaEi.
Định nghĩa 2.1.3. [4] Phân tích tai ED = {E1,E2, . . . ,Ek} là phân tích tai dạng cây (tree ear decompotition) nếu nó thỏa mãn với mỗii > 1,∃j < i sao choEi gắn trênEj.
Định nghĩa 2.1.4. [4] Phân tích tai gắn kết (nested ear decomposition) là phân tích tai dạng cây thỏa mãn nếu hai taiEi, Ei0 cùng gắn trên cùng một taiEj thì khoảng gắn của Ei chứa khoảng gắn củaEi0 hoặc ngược lại, hoặc hai khoảng
gắn phải rời nhau (không có 2 khoảng gắn nào trên cùng một tai Ej mà cắt nhau).
Hình 2.1: Phân tích tai gắn kết và phân tích tai dạng cây
Bổ đề 2.1.1. [4]Nếu đồ thịGcó một phân tích tai ED là gắn kết thì các khoảng gắn trên một taiEi bất kì sẽ tạo thành một cây. Trong đó khoảng gắn I là con của khoảng gắnJ nếuI là một đường con cực đại củaJ,I là anh em kế củaJ nếu chúng có cùng bố và không có điểm trong chung giữa chúng.
Chứng minh. Đặt Ei là đỉnh gốc, mỗi khoảng gắn trênEi là một đỉnh của cây, hai đỉnh được nối với nhau nếu chúng có quan hệ bố con.
Ta có ED là phân tích tai gắn kết nên nếu có hai khoảng gắn I, J trên taiEi thì chúng chỉ có quan hệ hoặc là bố con hoặc là anh em kế. NếuJ vàI rời nhau thì chúng được nối với gốcEi còn nếu chúng chứa nhau mà khoảng gắn này là đường con cực đại của khoảng gắn kia thì chúng được nối với nhau theo quan hệ bố con. Do đó mỗi khoảng gắn trongEiđều có một bố duy nhất vậy nên các khoảng gắn trênEi sẽ hình thành một cây (hình 2.2).
Ví dụ 2.1.1. Trong hình 2.1, ta có đồ thị G có một phân tích tai gắn kết là E = E1∪E2∪E3∪E4∪E5∪E6. Trong đóE2, E3, E5, E6 gắn trênE1 vàE4 gắn trênE2. Ta có ab, ac, ch, cg lần lượt là các khoảng gắn của tai E3, E2, E5 vàE6 trên tai E1 còndelà khoảng gắn của taiE4 trên tai E2.
Đồ thị H có phân tích tai dạng cây nhưng không phải là phân tích tai gắn kết vìE3 và E2 cùng gắn trênE1 nhưng hai khoảng gắn của chúng cắt nhau.
Theo bổ đề 2.1.1, ta có thể hình thành cây của các khoảng gắn trên tai E1 như trong hình 2.2.
Hình 2.2: Cây của các khoảng gắn trên taiE1
Từ bổ đề 2.1.1 chúng tôi đưa ra định nghĩa cây của một phân tích tai dạng cây.
Định nghĩa 2.1.5. Cho đồ thị G có phân tích tai dạng cây. Cây của G được định nghĩa như sau:
1 . E1 là đỉnh gốc.
2 . Mỗi tai được coi là một đỉnh của cây.
3 . Ei là con củaEj nếuEi gắn trênEj.
Ví dụ 2.1.2. Phân tích tai trong hình hình 2.3i có thể có hai cây còn phân tích tai trong hình 2.3ii có một cây duy nhất.
Từ ví dụ trên ta thấy rằng một phân tích tai dạng cây có thể có nhiều hơn một cây. Vậy câu hỏi đặt ra là khi nào thì một phân tích tai dạng cây có một cây duy nhất? Để trả lời câu hỏi đó ta đi đến mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.1. Cho đồ thịGcó một phân tích tai dạng cây ED ={E1,E2, . . . ,Ek}, cây củaGlà duy nhất khi và chỉ khi nếuEi và Ei0 cùng gắn trên Ej thì khoảng gắn của chúng phải phân biệt.
Hình 2.3: Phân tích tai dạng cây và cây.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử cây củaGlà duy nhất, Ei và Ei0 cùng gắn trênEj và khoảng gắn của chúng trùng nhau. Khi đó ta sẽ có 2 cách biểu diễn cây như trong hình 2.3i (mâu thuẫn với tính duy nhất) nên khoảng gắn của Ei vàEi0 phải phân biệt.
Điều kiện đủ Giả sử Ei và Ei0 cùng gắn trên Ej và khoảng gắn của chúng phân biệt. Vì phân tích tai là dạng cây nênEi vàEi0 chỉ gắn trên Ej. Do đó mỗi tai trongGchỉ có duy nhất một bố nên cây của Glà duy nhất.
Bổ đề 2.1.2. [4] Nếu đồ thị G có một phân tích tai ED = {E1,E2, . . . ,Ek} là gắn kết thì với mỗi taiEi, i > 1có hai đầu mút làx, y,Ei sẽ gắn trên tai có chỉ số lớn hơn trong hai tai eED(x), eED(y).
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theoi.
Với i = 2, ED chỉ có 2 tai là E1 và E2 với E2 gắn trên E1, do đó bổ đề hiển nhiên đúng. Giả sử bổ đề đúng với mọi i0 < i. Theo định nghĩa của phân tích tai gắn kết∃j < isao cho Ei gắn trênEj nên x, y đều phải thuộcEj. Nếu eED(x) = eED(y) = Ej thì suy ra bổ đề đúng. Nếu một trong hai đỉnh xhoặc y là đầu mút của Ej, giả sử eED(x) = Ej và y là đầu mút của Ej thì ta có
eED(y) = Ej0 với j0 ≤ j. Suy ra Ei gắn trên tai Ej là tai có chỉ số lớn hơn trong hai tai eED(x), eED(y). Nếux, y đều là đầu mút của của Ej thì theo giả thiết quy nạpEj gắn trên tai có chỉ số lớn hơn trong hai taieED(x), eED(y)nên Ei cũng gắn trên tai có chỉ số lớn hơn trong hai tai eED(x), eED(y). Vậy bổ đề đúng vớii.
Tiếp theo ta sẽ mở rộng hàmeED từ đỉnh đến tai.
Định nghĩa 2.1.6. [4]
Cho đồ thịGcó phân tích tai dạng cây ED ={E1,E2, . . . ,Ek}:
1. NếuEi có hai đầu mútx, y, ta định nghĩaeED(Ei)là tai có chỉ số lớn hơn trong hai taieED(x) vàeED(y).
2. Ei là gắn thực sự trên Ej nếu eED(Ei) =Ej.
3. Ei được chứa trongEj nếu có một dãy các taiEi, Ek, . . . , Ej sao cho mỗi tai đều gắn thực sự trên tai tiếp sau nó.
Định nghĩa gắn thực sự cũng được áp dụng cho một phân tích tai bất kì.
Ví dụ 2.1.3. Trong đồ thị G (hình 2.1) ta có eED(E1) = E1, eED(E2) = E1, eED(E3) = E1, eED(E4) = E2 nên E2, E3 gắn thực sự trên tai E1 và E4 gắn thực sự trên tai E2. E4 chứa trong E1 do ta có dãy các tai E4, E2, E1
thỏa mãn điều kiện mỗi tai đều gắn thực sự trên tai tiếp sau nó.
Hình 2.4 cho ta một ví dụ về tính gắn nhưng không gắn thực sự. Ta cóEigắn trên Ej nhưng không gắn thực sự trên Ej mà Ej và Ei cùng gắn thực sự trên Ei0.
Ta cũng thấy rằng nếu một phân tích tai không phải dạng cây thì một tai gắn thực sự trên tai này chưa chắc đã gắn trên tai đó. Như phân tích tai mở của đồ thịH trong hình 1.14, tai P4 gắn thực sự trên tai P3 nhưng không gắn trên tai đó.
Hình 2.4: TaiEj gắn trênEi nhưng không gắn thực sự.
Bổ đề sau sẽ chứng minh rằng chỉ cần kiểm tra các tai gắn thực sự trong việc kiểm tra một phân tích tai có là gắn kết hay không.
Bổ đề 2.1.3. [4] Cho đồ thị G có một phân tích tai mở ED ={E1,E2, ...,Ek} sao cho:
1. ED bắt đầu từ một cạnh đơn.
2. Với mỗii > 1,∃j < isao choEi là gắn trên Ej.
3. Nếu hai tai Ei và Ei0 cùng gắn thực sự trên cùng một tai Ej thì khoảng gắn củaEi chứaEi0 hoặc ngược lại, hoặc hai khoảng gắn rời nhau.
Khi đó ED là gắn kết.
Chứng minh. Ta có ED thỏa mãn điều kiện 1 và 2 nên nó là một phân tích tai dạng cây. NếuEi là gắn trên taiEj nhưng không là gắn thực sự thì khoảng gắn củaEi là toàn bộ Ej, do đó không thể cắt bất cứ khoảng gắn nào khác của Ej. Do đó ED là phân tích tai gắn kết.
Ta thấy rằng bất cứ phân tích tai gắn kết nào cũng thỏa mãn điều kiện 2 và 3.
Do đó, để kiểm tra tính gắn kết của một phân tích tai bắt đầu từ một cạnh đơn ta có thể làm hai bước như sau:
• Kiểm tra điều kiện 2: mỗi tai đều gắn trên một tai khác nào đó.
• Kiểm tra điều kiện 3: trên mỗi tai ta xét tập các tai gắn thực sự trên tai đó rồi kiểm xem có hai tai nào cắt nhau không (tức là khoảng gắn của chúng không chứa nhau mà lại có điểm trong chung), nếu không có thì phân tích tai đó là gắn kết.
Bổ đề 2.1.4. Cho ED là một phân tích tai gắn kết của đồ thịGvà choEi là một tai với đầu mút là x, y. Khi đó x, y phân tách đồ thị con sinh bởi các tai chứa trongEi với phần còn lại của đồ thị.
Chứng minh. GọiS là đồ thị con sinh bởi các tai chứa trongEi. Để chứng minh bổ đề đúng, ta sẽ chứng minh rằng với mỗi tai nằm trong S thì bất cứ tai nào gắn trên nó đều thuộcS hoặc chỉ có duy nhất hai đỉnh chung vớiG−S làx, y. Lấy Ej ∈ S, Ek là tai gắn trên trênEj. NếuEk gắn thực sự trên Ej thì nó chứa trong Ei, do đó Ek ∈ S. Ngược lạiEk không gắn thực sự trênEj thì hai đầu mút của Ek trùng với hai đầu mút của Ej. Nếu j 6= i thì Ek sẽ chứa trong Ei do nó gắn thực sự trên cùng một tai vớiEj. Nếu j = ithìEk thuộc phần còn lại của đồ thị và chỉ có hai điểm chung duy nhất làxvày vớiEi.
Như vậy, phân tích tai gắn kết là một phân tích tai mà mỗi tai của nó chỉ được gắn thực sự trên một tai duy nhất và các tai gắn thực sự trên cùng một tai thì không được cắt nhau. Ta thấy rằng nếu cho một đồ thị G có một phân tích tai ED gắn kết vớik tai và tai đầu tiên là một cạnh đơn, nếu ta cố định một xích là Eo thì G có một phân tích tai gắn kết duy nhất và Gcó đúng k kiểu phân tích tai gắn kết. Việc kiểm tra khi nào một phân tích tai là gắn kết sẽ được trình bày trong mục 2.3.2.