PARALLEL DỰA TRÊN PHÂN TÍCH TAI
2.2 Đồ thị Series - Parallel và phân tích tai
2.2.2 Điều kiện để một đồ thị là Series - Parallel
Đầu tiên, chúng tôi sẽ trình bày điều kiện cần và đủ để một đồ thị là TTSP.
Hình 2.6: Cây nhị phân thể hiện cấu trúc của đồ thị TTSP trong hình 2.5.
Bổ đề 2.2.1. [5] Nếu đồ thị vô hướngGcó một phân tích tai gắn kết bắt đầu từ một đường nối từsđến tthì Glà TTSP với đỉnh đầu cuối là s, t.
Chứng minh. Nếu Gchỉ có một cạnh đơn thìGlà TTSP.
Nếu |E(G)| ≥2ta chứng minh bổ đề trên bằng quy nạp theoE(G).
Trường hợp 1: Tồn tại một số Ej, j > 1có chung hai đầu mút s, t với E1. Đặt Y là đồ thị con sinh bởi Ej và những tai chứa trong nó. X là đồ thị con sinh bởi các cạnh còn lại (hình 2.7i). Theo bổ đề 2.1.4, ta có X, Y được kết nối với nhau qua s và t. Khi đó các tai trong Y có dạng một phân tích tai gắn kết bắt đầu từEj, các tai trong X có dạng một phân tích tai gắn kết bắt đầu từ E1. Theo quy nạp X, Y là các đồ thị TTSP với đỉnh đầu cuối là s và t. Do đó G= P(X, Y)là TTSP với đỉnh đầu cuối làsvà t.
Trường hợp 2:Không có tai nào có chung hai đầu mútsvàtvớiE1. GọiEj là một tai gắn thực sự trênE1 sao cho khoảng gắn củaEj không nằm trong bất cứ khoảng gắn nào khác. Khi đóEj có một đầu mút làxkhác s vàt. GọiX là đồ thị con củaGbao gồm đường con từ sđếnx trongE1 và tất cả các tai chứa trong đường con đó và Y là đồ thị con của G bao gồm đường con từ x đến t trongE1 và tất cả các tai chứa trong đường con đó (hình 2.7ii). Do tính gắn kết
của phân tích tai và khoảng gắn củaEj không chứa trong một khoảng gắn nào khác nên không có tai nào gắn trênE1 mà cắt taiEj và mọi tai gắn trênE1 phải nằm trong X hoặc Y. Mỗi tai Ei, i 6= 1 của Gthì Ei ⊂ X hoặc Y, không có tai nào nốiX vớiY. Suy raX có một phân tích tai gắn kết bắt đầu từ đường nối stới x, Y có một phân tích tai gắn kết bắt đầu từ đường nối x đến t. Theo quy nạpX và Y là các đồ thị TTSP với các điểm đầu cuối lần lượt làs, xvà x, tdo đóG = S(X, Y)là TTSP với đỉnh đầu cuối làs, t.
Hình 2.7: Hình minh họa trường hợp 1 và 2.
Bổ đề 2.2.2. [5] Nếu ED ={E1, E2, ..., Ek}là một phân tích tai mở của đồ thị TTSPG với đỉnh đầu cuối làs, t và E1 là một đường từ s đến tthì ED là gắn kết.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bổ đề trên bằng quy nạp theo số cạnh của G. Nếu Gchỉ có một cạnh đơn stthì hiển nhiên ED là gắn kết.
Trường hợp 1: Nếu G = P(X, Y), X và Y chỉ liên kết với nhau qua svà t thìE1 phải nằm trọn vẹn trongX hoặcY, hơn nữa mỗi tai kế tiếp cũng chỉ được thuộc X hoặc Y (nếu không s hoặc tsẽ là đỉnh trong của tai đó, mâu thuẫn).
Không mất tính tổng quát ta giả sửE1 ⊂X. Khi đó những tai trongX có dạng một phân tích tai mở, theo qui nạp phân tích đó là gắn kết. GọiEj là tai đầu tiên
trong Y với j là chỉ số nhỏ nhất. Khi đó s và t phải là hai đầu mút của Ej do svà tlà những hai đỉnh duy nhất của Y xuất hiện trên những tai trước đó. Khi đó những tai trongY có dạng một phân tích tai mở bắt đầu từ Ej, nên theo qui nạp phân tích tai đó là gắn kết.
Kiểm tra tính gắn kết:
1. Lấy Ei ∈ G, i 6= 1suy raEi ∈ X hoặc Ei ∈ Y. Do cảX, Y đều có phân tích tai là gắn kết nênEi phải gắn trên một taiEj vớij < i.
2. Nếu hai tai Ei và Ei0 cùng gắn trên tai Ek. Không mất tính tổng quát ta giả sử Ek ∈ X. Nếu Ei, Ei0 cùng thuộc X thì khoảng gắn của chúng không cắt nhau (do tính gắn kết của phân tích tai trong X). Nếu Ei ⊂ X, Ei0 ⊂ Y suy raEk vàEi0 chỉ có hai đỉnh chung duy nhất làsvà t. Khi đó khoảng gắn củaEi0 chính làEk mà khoảng gắn của Ei chứa trong Ek nên khoảng gắn củaEi vàEi0 chứa nhau. NếuEi, Ei0 cùng thuộcY thì ba taiEi, Ei0, Ekcùng có chung đỉnh cuối làs, tdo đó khoảng gắn của chúng trùng nhau và bằng chínhEk. Vậy phân tích tai ED củaGlà gắn kết.
Trường hợp 2: G = S(X, Y) với X và Y gặp nhau tại x. Khi đó X, Y không có cạnh chung và chỉ có một đỉnh chung duy nhất là x. Hơn nữa x là đỉnh trong củaE1. Thật vậy nếuxkhông là đỉnh trong củaE1 thì x /∈ E1 hoặc x là điểm biên củaE1. Nếux /∈ E1 thì E1 nằm hoàn toàn trong X hoặc Y và một tập sẽ bằng rỗng, nếu x là điểm biên của E1 thì sẽ có tai Ek ∈ Y là tai đóng (mâu thuẫn). Ta có đường từs tới x trong E1 và những tai còn lại thuộc X có dạng một phân tích tai mở nên theo quy nạp phân tích tai đó là gắn kết.
Tương tự đường từ xtới ttrong E1 và những tai còn lại thuộc Y cũng có dạng phân tích tai gắn kết. Kiểm tra tính gắn kết:
1. Lấy Ei ∈ G, i 6= 1suy raEi ∈ X hoặc Ei ∈ Y. Do cảX, Y đều có phân tích tai là gắn kết nênEi phải gắn trên một taiEj vớij < i.
2. Giả sử Ei, Ei0 cùng gắn trên Ek. Nếu Ei, Ei0 cùng nằm trong X hoặc Y thì khoảng gắn của chúng không cắt nhau. Nếu Ei ⊂ X, Ei0 ⊂ Y thì Ek = E1. Khi đó khoảng gắn của chúng nằm 2 đường phân biệt từs tớix và từxtới tnên chúng phân biệt.
Vậy phân tích tai củaGlà gắn kết.
Kết hợp hai bổ đề trên ta có định lý sau:
Định lý 2.2.1. [5] Bất cứ đồ thị vô hướng TTSP nào đều có một phân tích tai gắn kết bắt đầu từ một đường nối hai đỉnh đầu cuối và bất cứ đồ thị nào có một phân tích tai gắn kết thì là TTSP với đỉnh đầu cuối là hai đầu mút của tai đầu tiên.
Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày cách chọn đỉnh đầu cuối cho một đồ thị TTSP chưa chỉ rõ đỉnh đầu cuối. Khi đồ thị đầu vàoGchưa chỉ rõ đỉnh đầu cuối là đỉnh nào, ta cần chỉ ra cách chọn một cặp đỉnh s, t sao cho nếu G là Series Parallel thì nó là TTSP với hai đỉnh đầu cuối được chọn.
Bổ đề 2.2.3. [5]NếuGlà một TTSP với đỉnh đầu cuối làsvàtthì cây các khối củaGphải là một đường trong đósvàtchỉ thuộc hai khối lá tương ứng với hai đầu mút của đường.
Chứng minh. Đề chứng minh bổ đề đúng ta chứng minh bằng qui nạp bốn điều sau:
1. Cây các khối củaGphải là một đường vớisvàtchứa trong hai khối tương ứng với hai đầu mút của đường.
2. Nếu G được tạo ra bằng phép toán tổng hợp song song thì nó là 2 - liên thông.
3. Nếuv ∈ G, tồn tại những đường rời nhau trongGtừsđếnv và từv đếnt.
4. Nếu w, v ∈ G và nằm trong hai khối khác nhau thì tồn tại các đường rời nhauP1, P2, P3 nốiv đến w và nối hai đỉnh đó đến hai đỉnh đầu cuối, tức là từv tớisvà w tớithoặc từ v tớitvàw đến s.
Nếu Glà một cạnh thì bổ đề đúng.
Giả sử G = S(X, Y), đỉnh cắt là x. Khi đó các khối củaG là các khối của X và Y chúng được nối với nhau bằng một cặp cạnh tương ứng với đỉnh cắt x. Ta có X là một TTSP với đỉnh đầu cuối là s, x nên theo qui nạp cây các khối củaX là một đường từsđếnxvớis, xthuộc hai khối lá. Tương tự cây các khối của Y là một đường với x, t thuộc hai khối lá. Vậy cây các khối của G là một đường vớis, tthuộc hai khối lá tương ứng với hai đỉnh đầu mút của đường. Vậy (1) đúng. Để chứng minh (3), không mất tính tổng quát ta giả sử v ∈ X, theo quy nạp tồn tại hai đường rời nhau từv đến svà từv đếnx. Kết hợp đường từv đếnx với một đường bất kì từx đếnttrong Y ta thu được đường từ v đến trời nhau với đường từ v đến sở trên. Cuối cùng ta chứng minh (4). Nếu cả v và w đều nằmX hoặc Y, không mất tính tổng quát ta giả sử làX, theo quy nạp tồn tại 3 đường rời nhau, ta giả sử là P1 là đường từ v đến s, P2 là đường từ v đến w, P3 là đường từw đến x, kết hợp đường P3 với một đường bất kì từx đến t, ta được ba đường thỏa mãn yêu cầu. Ngược lại, giả sử v ∈ X và w ∈ Y.Khi đó theo quy nạp ý (3) tồn tại hai đường rời nhau từ v đến s và từ v đến x, hai đường rời nhau từ w đến xvà từ w đến t, kết hợp đường từ v đến x với đường từxđếnw ta được đường từv đếnw rời nhau với hai đường từv đến svà từw đếntở trên. Vậy bổ đề đúng với phép tổng hợp chuỗi.
Giả sử G = P(X, Y), nếu Glà 2 - liên thông thì cây các khối là một đỉnh.
Vậy ta sẽ chứng minhG là 2 - liên thông tức là ta phải chứng minh tồn tại hai đường rời nhau theo đỉnh giữa hai đỉnh bất kì thuộc G. Lấy v, w ∈ G. Nếu v ∈ X vàw ∈ Y, theo qui nạp ý (3) ta có tồn tại đường rời nhau từ v đếns và từv đến t trong X và đường từ w đến s, w đến t trong Y. Kết hợp các đường v đếns và từw đến s;v đến tvà từ w đến tta được hai đường rời nhau nối w
vàv. VậyGlà 2 - liên thông. Nếuv, w ∈ X thì theo quy nạp ý (4) ta có: tồn tại đường rời nhau từw đến v và từv đếns và từw đến t. Kết hợp đường từs đến v và từ w đến t với bất kì đường nào trong G nối s với t ta được đường phân biệt thứ hai nốiw và v. VậyGlà 2 - liên thông.
Bổ đề 2.2.4. [5] Nếu Glà đồ thị Series Parallel 2 - liên thông và (s, t) là một cạnh bất kì củaGthìGlà TTSP với svàtlà hai đỉnh đầu cuối.
Chứng minh. Nếu G chỉ có một cạnh thì bổ đề đúng. NếuE(G) > 1thì doG là 2 - liên thông nênG = P(X, Y).
Giả sử Glà một Series Parallel với hai đỉnh đàu cuối v, w. Không mất tính tổng quát giả sử(s, t) ∈ X. Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo kích cỡ của X. Nếu X = stthì Glà một TTSP với đỉnh đầu cuốis, t. NếuX = S(A, B), không mất tính tổng quát giả sử st ∈ A. Khi đó G = P(A, S(B, Y)) và
|A| ≤ |X| suy ra s, t là hai đỉnh đầu cuối của A hay s, t là hai đỉnh đầu cuối củaG. NếuX = P(A, B), khi đóG= P(A, P(B, Y)). Vì|A| ≤ |X|nêns, t là hai đỉnh đầu cuối củaAhays, tlà hai đỉnh đầu cuối của G.
Bổ đề 2.2.5. [5] Cho một đồ thị Series Parallel G không phải 2 - liên thông.
GọiX, Y là hai khối lá của đồ thị vàx, ylần lượt là hai đỉnh cắt thuộc hai khối này. Gọis, tlà hai đỉnh bất kì trongX, Y kề vớixvày tương ứng. Khi đóGlà TTSP với hai đỉnh đầu cuối làs, t.
Chứng minh. Vì Gkhông phải 2 - liên thông nên Gđược xây dựng bằng cách tổng hợp chuỗi các khối của G. Giả sử A, B là hai khối lá của G. Theo bổ đồ 2.2.4,AvàB là hai TTSP với đỉnh đầu cuối lần lượt làs, xvày, t. Để tổng hợp các khối trong Gchỉ dùng phép tổng hợp chuỗi nênGlà đồ thị TTSP với đỉnh đầu cuối làsvàt.
Tổng hợp các kết quả ta có định lý sau:
Định lý 2.2.2. [5] Bất kì đồ thị Series ParallelGnào đều là TTSP với đỉnh đầu cuối được chọn như trong bổ đề 2.2.4 nếu Glà 2 - liên thông hoặc như trong bổ đề 2.2.5 nếuGkhông là 2 - liên thông.