THÔNG CỦA ĐỒ THỊ
1.4 Hai loại phân tích tai. Điều kiện để có phân tích tai
1.4.1 Phân tích tai loại 1
Định nghĩa 1.4.1. [5] Một tai của đồ thịGlà một đường cực đại mà các đỉnh trong của nó đều có bậc là 2 trong G. Một phân tích tai loại 1 của G là một phân tíchE(G) = P0∪P1∪. . .∪Pk, trong đóP0 là một chu trình,Pi vớii ≥1 là một tai của P0 ∪ P1 ∪ . . .∪ Pi và hai đầu mút của Pi (có thể trùng nhau) thuộcP0∪P1∪. . .∪Pi−1. Tai mở là tai có hai đầu mút rời nhau, tai đóng là tai có hai đầu mút trùng nhau. Phân tích tai mở loại 1 (Open ear decomposition - OED) là phân tích tai mà mọi tai của nó (trừ tai đầu tiên) đều là tai mở.
Hình 1.14: Ví dụ về phân tích tai và phân tích tai mở loại 1.
Chú ý 2. Một đồ thị có thể có nhiều phân tích tai. Như đồ thịGtrong hình 1.14, nếu ta coiP3 là tai đầu tiên (P3 = P0) thìG sẽ có phân tích tai mới như trong hình 1.15.
Hình 1.15: Phân tích tai mới thu được khi thayP3 =P0.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày hai định lý thể hiện mối liên hệ giữa phân tích tai với tính liên thông của đồ thị.
Định lý 1.4.1. [5]Một đồ thị là 2 - liên thông khi và chỉ khi nó có một phân tích tai mở. Hơn nữa, mọi xích trong một đồ thị 2 - liên thông là xích khởi tạo đầu tiên trong một phân tích tai nào đó.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Vì một xích là 2 - liên thông nên để chứng minh điều kiện đủ ta chỉ cần chỉ ra rằng khi thêm một tai mở vào một đồ thị 2 - liên thông thì đồ thị mới thu được cũng 2 - liên thông. Giả sử u, v là hai đầu mút của taiP được thêm vào đồ thị 2 - liên thông G. Do thêm một cạnh vào đồ thị không làm mất đi tính liên thông nên G+uv là 2 - liên thông. Một chuỗi các phép phân chia cạnh sẽ chuyểnG+ uv thành đồ thị G∪P, trong đóP là một tai (hình 1.16). Theo hệ quả 1.3.2, mỗi phép phân chia cạnh bảo toàn tính 2 - liên thông nênG∪P là 2 - liên thông.
Điều kiện cần: ChoGlà đồ thị 2 - liên thông, ta sẽ xây dựng một phân tích tai từ một xích C trong G. Đặt Go = C, gọi Gi là đồ thị con thu được bằng
Hình 1.16: Chuỗi các phép phân chia cạnhuvchuyển đồ thịG+uv thànhG∪P.
cách thêmi tai. NếuGi 6= G, ta có thể chọn một cạnh uv thuộc G−E(Gi) và một cạnh xy ∈ E(Gi). Do G là 2 - liên thông nên tồn tại một xích C0 đi qua uv, xy. Đặt P là đường trongC0 mà chứauv và có duy nhất hai đỉnh chung với Gi, hai đỉnh đó cũng là hai đầu mút của củaP. Khi đó ta thêmP vàoGi và thu được đồ thịGi+1 vớiP là một tai mở củaGi+1. Tiếp tục quá trình trên cho đến khi hấp thụ hết các cạnh của G ta thu được một phân tích tai mở của G. Qua cách xây dựng trên ta thấy rằng mỗi một xíchC sẽ cho ta một phân tích tai khác nhau, do đó mỗi xích trong đồ thị G đều là tai đầu tiên của một phân tích tai nào đó.
Định lý 1.4.2. [5] Một đồ thị là 2 - cạnh liên thông khi và chỉ khi nó có một phân tích tai và mọi xích trong đồ thị đó đều là tai đầu tiên trong một phân tích tai nào đó.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Để chứng minh điều kiện đủ, ta chỉ cần chứng minh rằng khi thêm một tai đóng hay mở vào một đồ thị 2 - cạnh liên thông ta cũng thu được một đồ thị 2 - cạnh liên thông. Theo định lý 1.2.1, cạnh cắt là cạnh không nằm trên một xích nào. Do đó một đồ thị là 2 - cạnh liên thông nếu mỗi cạnh của nó đều nằm trên một xích nào đó. Giả sửGlà đồ thị 2 - cạnh liên thông. Khi ta thêm một tai đóng vàoGtức là ta thêm một xích vào Gthì đồ thị mới thu được cũng là 2 - cạnh liên thông. Nếu ta thêm một tai mởP vào Gthì đường nối hai đầu mút củaP trongGkết hợp vớiP tạo thành một xích. Do đó
ta cũng thu được một đồ thị 2 - cạnh liên thông.
Điều kiện cần: Giả sử G là đồ thị 2 - cạnh liên thông, ta sẽ xây dựng một phân tích tai củaG. GọiPo là một xích trongG. Xét phân tích taiPo∪. . .∪Pi của đồ thị con Gi của G. Nếu Gi 6= G, ta sẽ tìm một tai để thêm vào Gi. Do G là 2 - cạnh liên thông nên tồn tại một cạnh uv ∈ E(G) − E(Gi) với u ∈ V(Gi). DoGlà 2 - cạnh liên thông nênuv nằm trên một xíchC. GọiP = C ∩ (E(G)−E(Gi)), thêm P vàoGi ta được một đồ thị conGi+1 = Gi ∪P vớiP là một tai đóng hoặc mở. Tiếp tục quá trình trên cho đến khi hấp thụ hết các cạnh củaGta thu được một phân tích tai củaG. Qua cách xây dựng trên ta thấy rằng mỗi một xíchC sẽ cho ta một phân tích tai khác nhau, do đó mỗi xích trong đồ thịGđều là tai đầu tiên của một phân tích tai nào đó.