Chuyéiu dé Lusug yide Còn 2 cách khác, 1 cách là chia cả 2 vé cho a, 1 cách là đặt t= fan Quan trọng : Điều kiện để pt lượng giác cổ điển có nghiệm là : 3 Phuong trình lượng giác đẳng c
Trang 1Chuyên đề LƯỢNG GIÁC (LTĐH)
A) Các công thức lượng giác :
1) Hệ thức cơ bản :
(1) sin” xX+cos” x =l (2) tanx= sms (3) cotx= ross
(4) tanx.cotx =1 (5) ——=1+tan’x (6) ——=l+cot x
2) Cung lién két :
e Cung đối: sin|—x] =—sinx cos( —x] =€0sX
tan —x] =-fanx cot|—x] =—cotx
e Cung bù: sin|7— x) =sin x cos(™—x) =—cosx
tan(m—x} =—-tanx cot(m—x} =—cotx
C h sin| = xÌ>cosx cos|^ x sin X
e Cung hơn kém #; sin[{4+x) =—sinx cOS( + X] =—COSX
C hơn ké sin Ts lecosx cos my le sin X
e ung hơn kém 2 — —4x 2 J Ja —+xai=- 2 J
3) Công thức cộng :
sin(a+b] =sinacosb+cosasinb
cos(a+b) =cosacosb Minasinb
t +tanb tan| a + b) — Jana tan b>
l manatanb 4) Công thức nhân đôi - nhân ba - hạ bậc :
®© Công thức nhân doi: sin2a =2sinacosa
cos 2a = cos’ a—sin’ a = 2cos’ a—1=1-—2sin’ a
2t
tan 2a = ——
l—tan“ a
e Công thức nhân ba: sin3a = 3sina — 4sin”a
cos3a =4cos°a—3cosa
e Công thức hạ bậc : sin’ a= —5— cos a= —s>—
X 5) Công thức tính sỉnx, cosx, tanx theo tan :
Trang 2Chuyin dé Luvug yidae
X
Đặt t=ftan=,X z 1+ K21, taco:
6) Công thức biến đổi tích thành tổng :
sinx =
cosacosb =2[eos|a~b) +cos(a+b) |
sinasinb ==[cos|a—b} —cos(a + b] |
1 b=—]sin{a—b]+sin(a+b
sin a COs | sin(a )+sin(a )]
7) Công thức biến đổi tổng thành (ích :
B) Phương trình lượng giác :
1) Phương trình lượng giác cơ bản :
tan x = tanŒ © x =œ+ k (ke đ} cotX =cotŒ © x=œ+ k7 (ke đ]
c05X=Ú © x =2 +kP €OSX =l ©x =k27m €OSX =—Ï © X =7t+ k27
tanx =0 <x = k7 tanx =1esx=-+km tanx=—Ie>x=—7+kn
cotx =0 œx=-+k cow =lesx=-+ km cox = 1 x =— 7 + kt
2) Phương trình lượng giác cổ điển (bậc nhat déi véi sinx va cosx) :
Dang : asin x +bcos x =—c (a,b +O) |
Cách giải : Chia cả 2 vế ptcho ptcho Va +b 4a? b2 khi đó DÍ —CCe sII X † —————— COS X Z —————— Tee ae ae
Taco:
Va’ +b°
Trang 3Chuyéiu dé Lusug yide
Còn 2 cách khác, 1 cách là chia cả 2 vé cho a, 1 cách là đặt t= fan
Quan trọng : Điều kiện để pt lượng giác cổ điển có nghiệm là :
3) Phuong trình lượng giác đẳng cấp : là phương trình lượng giác có bậc các số hạng bằng nhau hoặc bậc
cách nhau 2 đơn vi
Ví dụ : PT có dạng : | asin® x +bsin x cos x +ecos* x —d là pt lượng giác đẳng cấp
Cách giải : Chia 2 'TH
e THI: cosx =0 xX=>+kn (ke đ) Thay vào pt nếu :
sin” x =1: Nhận nghiệm x = 2+kn
sin’ x #1: Loai nghiém x = 2+km
e TH2: cosx #0 Chia cả 2 vế pt cho cos”x, ta được 1 pt bậc 2 theo tanx
Còn 1 cách khác : Nếu pt có dạng asinˆ x+bsin xcosx +ccos”x ==d, ta còn có thể dùng công thức hạ
bậc và công thức nhân đôi để đưa pt về dạng cổ điển
4) Phương trình lượng giác đối xứng đối với sỉnx và cosx : là phương trình có chứa sinx + cosx va SINXCOSX :
t|<x2
e Cách giải pt a(sin x +cosx} +bsinXcosx =c : Đặt taynkreox=v53n| xi) thì
2
Khi đó : t =l+2sin xcos x > sinxcosx = Thế vào được 1 pt bac 2 theo t, gidi pt bac 2 theo t,
(chỉ nhận nghiệm thỏa đK), rồi giải tiếp pt cơ bản
t|< V2
® - Cách giảiDpt a(sin x —cosx] + bsinxcosx =c : Đặt tesinxeosx = Visin[ x74 thi
1-t?
Khi dé : t? =1—2sinxcosx > sinx cosx = ;
Các chú ý khác :
e© Khi phương trình để bài có tanx + cotx và tan “x + cofx, ta giải bằng cách đặt t=fanx+cotx với điều kiện
lt|>2
Bai tập giải phương trình lượng giác
2sinx
3) sInổx—cosÓx = V3 (sin 6x +cos8x) 2 sin? x+|3+3] sinx cosx +{ V3 1] cos’ x =—1
Trang 4Chuyéiu dé Lusug yide
6) 4sin® + 3V3 sin x=2cos” =4
8) 4(sin® x + cos’ x| =cosx +3sinx
9) sin 2x —12(sinx —cosx} +12 =0
10) sin’ x +cos’ x =1
11) tanx +cotx = ¥2(sinx +cosx}
13) (2cos x —1)(2sinx +cosx} =sin 2x —sin x
COS 2x 1+tanx 15) (1+sin’ x} cosx +(1+cos? x| sinx =l+sin2x
14) cotx—l= sin? x — sin 2x
2
17) sin te0s5 +X43cosx=2
2| cos”x+sin” x| —sin xX COS xX
V2 —2sinx 19) cots sins I+tanxtan 5 Je
20) cos’ 3x cos2x — cos’ x =0
COSX SInX
2—A3Ì cosx—2sin? x_m)
2cosx —Ï
23) 3cos 4x —8cos” x+2cos” x+3 =0 24) tan® x + cot* x +2(tanx +cotx) =6
25) 4[ int - }[sme ! } 120
sin’ x J sin x
7
0,—
27) Tìm a để phương trình sau có nghiệm : 2sinx+cosx+Ï |
sinx —2cosx+3