chủ đề lượng giác toán học lớp 10 bài tập và lời giải

a Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc.. Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA OM, = gọi làa điểm xác địn

CHƯƠNG VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian.

Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian

1 rađian còn viết tắt là 1 rad

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc

b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính R có số đo a(0£ a £ 2p) , có số đo a0(0£ a £ 360) và có độ dài là l thì:

.180

a

l =R a = p R do đó

180

a a

p =

Đặc biệt:

0 0

=ç ÷÷ =

2 Góc và cung lượng giác.

a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển

động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kimđồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov lần lượt cắt đường,

tròn tại U và V Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động

theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng

chuyển động theo một chiều trên đường tròn

 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia

Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu

là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu (Ou Ov, )

 Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm

V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm

đầu U , điểm cuối V Kí hiệu là UVþ

 Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 360 (hay 0 2p), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 =7200 (hay 4p), quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc - 900(hay

V O

U

 DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG

Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 72 ,600 , 37 45'30''0 0- 0 .

b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: 5 3

- là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.

Ví dụ 6: Cho sđ(Ou Ov, ) = và sđa (Ou Ov', ') = Chứng minh rằng hai góc hình học b uOv u Ov bằng, ' '

nhau khi và chỉ khi hoặc b- a =k2p hoặc b+a =k2p với k Î Z

Lời giải

Ta có sđ(Ou Ov, ) = và sđa (Ou Ov', ') = suy ra tồn tại b a p0, <a0 £ p, f p0, <b0 £ p và số nguyên

0 0,

k l sao cho a =a0+k02 ,p b =b0+l02p.

Khi đó a là số đo của ·uOv và 0 b là số đo của · ' '0 u Ov

Hai góc hình học uOv u Ov bằng nhau khi và chỉ khi , ' ' 0 0

= Û ê = -ê

Û b- a =k2p hoặc b+a =k2p với k Î Z

3 Bài tập luyện tập.

Bài 6.0: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 20 , 40 25',0 0 - 270.( chính xác đến 0,001)

b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: , 2 , 5

mp

(m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu, tia cuối được không?

Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là

M N lần lượt là các điểm đối xứng của , M N qua tâm đường tròn Tìm số đo của cung AM AN vàþ ', þ '

1 Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.

a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A

làm gốc

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA OM, ) = gọi làa

điểm xác định bởi số a(hay bởi cung a, hay bởi góc a) Điểm M

còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc)

lượng giác có số đo a

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường tròn

lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số Tuy nhiên,

mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực Các số thực

có dạng là a+k2 ,p kÎ Z.

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ

gắn với đường tròn lượng giác Với mỗi góc lượng giác (Ou Ov có, )

số đo a, xác định điểm M x y trên đường tròn lượng giác sao cho sđ Khi đó ta định nghĩa ( ; )

x

s S

T B

M(x;y)

K H

Ý nghĩa hình học: Gọi ,K H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox Oy Vẽ trục số , At gốc A cùng hướng

với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox, gọi ,T S lần lượt là giao điểm của đường thẳng

OM cắt với các trục sô At Bs Khi đó ta có:,

sina =OH, cosa =OK,tana =AT,cota =BS

e) Tính chất:

 sin ,cosa a xác định với mọi giá trị của a và 1- £ sina £ -1, 1£ cosa £ 1

 tana được xác định khi

2 k

p

a ¹ + p, cota xác định khia ¹ k p

 sina =sin(a +k2 ,cosp) a =cos(a+k2p)

tana =tan(a+k p),cota =cot(a+k p)

f) Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác

Bảng xét dấu Phần tư

3

32

1

12

2 Các hệ thức lượng giác cơ bản

2 2

2

2 2

1

sin4)tan cot 1( )

2

k k k

3 Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.

Góc đối nhau (a và - a) Góc bù nhau(a và p- a) Góc phụ nhau(a và

2

p a

p chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.

1 Phương pháp giải.

Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau

 Góc a và góc a +k2 ,p k Î Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

 Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng k2

m

p

a + ( với k là số nguyên và m

là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới

(m - 1) rồi biểu diễn các góc đó.

Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau

Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1

360= Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.3

Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 2 120 0

d) Ta có - 7650 = - 450+ -( 2 360) 0 do đó điểm biểu diễn bởi góc - 7650 trùng với góc - 450

45 1

360= Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )8

Khi đó điểm M (điểm chính giữa cung nhỏ ¼ '3 AB ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 7650.

Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy ý)

x = p do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x1 =kp

Với k = Þ0 x1= được biểu diễn bởi điêm 0 A

B' A'

B

A O

M1

M2

M3

k = Þ x = p được biểu diễn bởi M 4

 Do các góc lượng giác x x x được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều 1, ,2 3 AM M A M M nên các góc 1 4 ' 2 3

lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là

Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy

2

x = p+k p

Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?

 DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.

1 Phương pháp giải

 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt

 Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuốicủa góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác

a) Ta có sin cos( 4.2 ) tan cot 3

tan 8 360 2cos 90 8 2.360 cos 90 8

tan8 2cos 8 90 sin8 tan8 2cos 90 8 sin8

0tan8 2sin8 sin8 tan8 sin8

c) Vì 250+650 =900 Þ sin650 =cos250 do đó

÷

è øSuy ra 7

Vậy sin14 cot( ) 0

9

p

p+a >

3 Bài tập luyện tập:

Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi

Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:

d) E =tan5 tan10 tan15 tan80 tan850 0 0 0 0

e) F =cos 152 ° +cos 352 ° +cos 552 ° +cos 752 °

Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 6.11: Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A =sin50 cos( 300 )0 - 0 b) sin215 tan0 22

< < Xét dấu của các biểu thức sau:

Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù Xét dấu của các biểu thức sau:

c) cos sin cot

 DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.

+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử

chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) cos4x+2sin2x= +1 sin4x

b) sinx+cosx = cot3x+cot2x+cotx+1

c)

cot cot cos cos

cot cot cos cos

a) Đẳng thức tương đương với 4 2 ( 2 )2

cos x = -1 2sin x+ sin x

b) Ta có sin 3cos 12 cos3

x

= nên

cot 1 cot cot 1

VT = x+ + x x+ =cot3x+cot2x+cotx+ =1 VP ĐPCM

c) Ta có

cot cot cot cot

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) cos(5 ) sin 3 tan 3 cot(3 )

A = p- x - æçççè p+xö÷÷÷ø+ æçççè p- xö÷÷÷ø+ p- x

b) sin(900 ) cos(450 ) cot(1080 ) tan(630 )

cos(450 ) sin( 630 ) tan(810 ) tan(810 )

cot(3p - x)= cot - x = - cotx

Suy ra A = - cosx- -( cosx) +cotx+ -( cotx) =0

b) Ta có sin(900° +x)=sin 180( 0+2.3600+x) =sin 180( 0+x) = - sinx

Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa.

Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:

a) cos cos(2 ) cos(3 )

211cos(5 )sin( )tan(7 )

Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) tan2x- sin2x=tan sin2x 2x

tan cotsin cos

c) sin2x- tan2x= tan (cos6x 2x- cot )2x

d) tan22 tan22 sin22 sin22

tan tan sin sin

Bài 6.18: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a

a) (tana+cot )a 2- (tana- cot )a 2

b) 2(sin6a +cos ) 3(sin6a - 4a +cos )4a

cot 30 (sin a- cos )a +4cos60 (cos a- sin )a - sin (90 - a) tan a- 1

d) (sin4a +cos4a- 1)(tan2a +cot2a +2)

Bài 6.19: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn

 Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta

sẽ suy ra được giá trị còn lại Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp

 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô

a

c) Vì tana = - 2 2 cot tan1 1

-2 -2

a

a

Vì tana, cota cùng dấu và tana +cota <0 nên tana <0, cota <0

Do đó cota = - 2 6 Ta lại có tan cot1 1

b) Cho tana = 3 Tính 3 sin 3cos

sin 3cos 2sin

sin 3cos 2sin tan 3 2tan tan 1

Ví dụ 4: Biết sinx+cosx=m

a) Tìm sin cosx x và sin4x- cos4x

d) Cho cota =5 Tính D =2cos2a+5sin cosa a+1

Bài 6.22: Biết tanx+cotx=m

a) Tìm tan2x+cot2x b)

tan cottan cot

++ c) Chứng minh m ³ 2

Bài 6.23: Cho 12

sin cos

25

a a = Tính sin3a +cos3a

Bài 6.24: Cho tana- cota= 3 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = tan2a+cot2a b) B =tana+cota c) C =tan4a- cot4a

tan tantan( )

1 tan tantan tantan( )

=

+

2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi.

a

=

-

b) Công thức hạ bậc

2 2 2

1 cos2sin

2

1 cos2cos

2

1 cos2tan

1 cos2

a a

a a

a a

a

-=+

=-

=+

3 Công thức biến đổi tích thành tổng.

1cos cos cos( ) cos( )

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

4 Công thức biển đổi tổng thành tích.

cos cos 2cos cos

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

 Vì 540+360 =900nên sin540 =cos360

Màcos360 =cos 2.18( 0) = -1 2sin 182 0

-Do đó 3sin180- 4sin 183 0 = -1 2sin 182 0 Û (sin180- 1 4sin 18) ( 2 0+2sin180- 1) =0

-Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) A =sin22 30'cos202 30'0 0 b) 4sin4 2cos

B = p + p

c)

2sin sin

2cos cos

a) Cách 1: Ta có cos202 30'0 =cos 180( 0+22 30'0 ) = - cos22 30'0

Do đó sin22 30'cos22 30'0 0 1sin450 2

Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng

 sin 3cos 2 sin1 3cos 2sin( )

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) sin cos cos cos

sin sin cos cos 2sin sin 2cos cos 2

2 2 sin sin cos cos 2 2cos 0

3 Bài tập rèn luyện.

Bài 6.26: Tính các giá trị lượng giác sau 11

sin , sin , cot

Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A =4sin45 cos12 cos30 0 0- sin540- sin360 b) B =(1 cot23- 0) (1 cot22- 0)

c) cos cos5 cos7

c) cos360- cos720 d) sin10 sin50 sin700 0 0

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A =cos 732 0+cos 472 0+cos73 cos470 0 b) B =sin6 sin42 sin66 sin780 0 0 0

-Bài 6.30: Cho ,a b thoả mãn sin a +sinb =m và cosa+cosb = , n mn ¹ 0

Tính cos(a- b), cos(a+b) và sin a( +b)

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

b) cos24o +cos48o - cos84o- cos12o

c) cos cos2 cos3

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) cos cos4 .cos5

b) B =cos10 cos50 cos700 0 0

c) C =sin6 sin42 sin66 sin78o o o o

cos cos cos cos cos

e) F =sin5 sin15 sin25 sin75 sin85o o o o o

Bài 6.33: Tính A =(1 tan1+ 0) (1 tan2 1 tan45+ 0) ( + 0)

Bài 6.34: Tính A =cos cos2 cos3 cos999a a a a với 2

Lời giải

Ta có 12 12 12 12

7tan a +cot a +sin a +cos a =

sin cos 1 7sin cos

sin cos 2sin cos 1 7sin cos

sin cos cot

-+ + - với a làm các biểu thức có nghĩa.

Ví dụ 5: Cho sin( ) 1, tan 2tan

Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) sin(a b- ), cos(a+b), tan(a+ khi b) sina 8, tan 5

Bài 6.37: Cho 2cos(a+b) =cos cosa (p+b) Tính 2 1 2 2 1 2

2sin 3cos 2sin 3cos

Bài 6.39: Cho sin cos 7

2

a + a = và 0

4

p a

 DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ

CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.

1 Phương pháp giải.

Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ

đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn

1 sin2 sin cos 2sin cos

1 sin2 sin cos 2sin cos sin cos

2 2 1 cos 1 cos 1 1 cos

֍

֍

Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức sau:

a) cos 2cos 2 cos3

sin sin 2 sin 3

Lời giải

4 sin 2 sin 2 4 sin 2 sin 2

2 sin 2 2 sin 2 4 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2

Ta có sin 2asin 2b2sina b cosa b 

Mà sina b  2 cosa b   sin2a b  4cos2a b  nên

a) sin3 3sin 4sin3 4sin sin sin

2sin cos cos2 sin

2sin 1 sin 1 2sin sin

b) Theo câu a) ta có 3 3 3sin sin3

sin3 3sin 4sin sin

Bài 6.42: Chứng minh các hệ thức sau:

a) 4 cos( 3asina- sin3acosa) =sin4a

Bài 6.43: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a) 4sin4 sin 22 4 cos2

c) cos2 cos2 cos2

c) cos cos3 cos5 cos 7

sin sin 3 sin 5 sin 7

Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau:

a) Nếu 2tana =tan(a+ thì sinb) b=sin cos(a a+b)

b) Nếu 2tana =tan(a+ thì 3sinb) b=sin(2a b+ )

c) Nếu tan(a+b).tanb= - thì cos(3 a+2 )b +2cosa =0

d) Nếu 3sina b  cosa b  thì 8sin2a b  cos 2 cos 2a b

Bài 6.46: Chứng minh rằng sin sin2 sin4 cos cos5 cos7 3

x

sincos cos cos

2

n n n

Bài 6.49: Chứng minh rằng a) tanx=cotx- 2cot2x

b) 1.tan 12.tan 2 1.tan 1.cot cot

Áp dụng tính A =tan6 tan54 tan66o o o

Bài 6.51: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng

sin1 sin2 +sin2 sin3 + +sin(n- 1) sinn = - n

Bài 6.52: Chứng minh rằng 2sin20+4sin40+ 178sin178+ 0 =90cot10

 DẠNG TOÁN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

1 Phương pháp giải.

- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết

- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc

- Sử dụng kết quả sina £ 1, cosa £ với mọi số thực 1 a

2 Các ví dụ điển hình.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0

2

p a

< < thìa) 2cot2a ³ 1 cos2+ a b) cota ³ 1 cot2+ a

b) Bất đẳng thức tương đương với

cos sin2 cos2 cos sin2 cos2

a p