CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

Chú ý: Trong sách giáo khoa Đại số 10 thì bất đẳng thức Cô-si đợc phát biểu cho hai hoặc ba số dơng, nghĩa là nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si với nhiều hơn ba số thì ta cần phải chứn

Dấu “ = ” của (1) xảy ra  a1 = a2

2 Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm:

Cho a1 , a2 , a3  0 thì 3

3 2 1 3 2

3

aaa

3 2 1

 3

3 2 1 3 2

3

aaa







(đpcm) Đẳng thức xảy ra  (3), (4), (5) đồng thời xảy ra đẳng thức  a1= a2 = a3

3 Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm:

Cho a1, a2, a3, a4  0 thì 4

4 3 2 1 4 3 2

4

aaaa

a3 + a4  2 a 3 a 4 , (6)

3

2( a1a2 + a3a4)  4

4 3 2

1 a a a a

4 (7)

Cộng từng vế của (5), (6), (7), ta đợc: 4

4 3 2 1 4 3 2

4

aaaa

Tổng quát : Cho a1, a2,…,a,an  0 , ta luôn có

n

a

a

a1 2   n

 n

n 2

1 a a

(*) Dấu “=” của (*) xảy ra  a1 = a2 = …,a= an

Chú ý: Trong sách giáo khoa Đại số 10 thì bất đẳng thức Cô-si đợc phát biểu cho

hai hoặc ba số dơng, nghĩa là nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si với nhiều hơn ba

số thì ta cần phải chứng minh Bạn đọc đã biết nếu chỉ áp dụng bất đẳng thức Cô-sicho hai hoặc ba số thì rất khó khai thác hết cái hay và các ứng dụng rộng của nó Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho trờng hợp hai hoặc ba số mà chứng minh đợctơng đối ngắn gọn thì ta trình bày cách đó, còn nếu không ta sẽ áp dụng luôn.B.Bài tập

Ví dụ 1 Cho tổng S = a + 3

a

1 ( a > 0 )

+) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S1 có tích không đổi:

a

13

a3

a3

aa

a3

a3

1.3

a.3

a.3

a

3 

+) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S2 có tích là 4

) a 2 (

1 2

a 2

a a

1

a     

Tổng S2 = 3 3

a2

1a2

12

a2

Ví dụ 2 Cho tích P = sin4x cos2x

+) Ta sẽ biến đổi tích P thành tích P1 có tổng không đổi :

P = sin4x cos2x = 4 cos x

2

x sin 2

x sin 2 2 2

2

x sin 2

x

sin 2 2 2

cã tæng

x cos x sin x cos 2

x sin 2 2 2

cã tæng

2

x sin

b a

a 3

b 2

a 2

b a



4

b a 3

b 2 a

3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số không âm, ta có:

3

b 3

b 3

b 2

a 2

a 5

3

b 3

b 3

b 2

1108

b 2

2 3 2

3 11 c 3 11 b 3 11 a 11 c b a c b a

2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 11 số không âm,ta có:



11 8

6.3

cba

2

3 2

2 c 3 b 6 a

11 c b a 2

c 3

b 6

c 4 b a 2 c 4 b 3 a

b 1 )(

a 1

b a b a b 1

b 1 a 1

b    vµ c 0; 4 nªn:

2 – a  0 hay 2a 4,

3 – b  0 hay 3b 1,

0 c



4

3 c 4 b a 2 c 4 16 b 9 a 2 4

c 4 16 b

3 9

b 3 9 a 2 4

a

4

12 a 2 b 3 7

c

4

5 a 2

3 1 b

2 a

p 2 2

q

x cos p

x sin q

p

x cos

) x cos x (sin )

q p (

q p

x cos x sin )

q p (

q p



q p q

p

) q p (

q p x

cos x



DÊu “=” x¶y ra 

(0; )

(0; )2

sin

q p q x

cos

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = sin p x cos q x b»ng p q

q p

) q p (

q p

sin

q p q x

sin

x cos x

cos

2 2

2

1 2

sin x cos

2

2.32

4

2 2 2

x sin x sin

x cos x cos 2

2 2

x

s in x sin

x cos x cos

2 2

2 x

s in x

cos

2 2 2

9



2 2 2

3 3 1

z z

x z

1 y

1 x

1 1

z z

x z

1 y

1 x

1 x

1 x

y xy z

x zx y

VT = (xyz +1)

x

y y

z z

x z

1 y

1 x

Dễ thấy dấu “=” của (*) xảy ra  x  y  z  1

Bài 7 Cho x  + Chứng minh rằng:

1) x 5 x 4 x 31 0 (1) 2) x 7 x 6 x 5 x 4 2 0

1x

1x

  = 3

Vậy (3) đúng nên (1) đúng

Dấu “=” của (1) xảy ra x 1

x x x x

3 2

2xx

2 3

x x

1 x x

x

x x

Bài 8 Chứng minh rằng:

1) Với a >1 thì

11

2

5 ) 1 a )(

1 a ( 2

c a )(

1 a (

27 a

1 a (

27 a

1a(

273

)1a(3

)1a(3

)1a()1a(

1 a

(

27 a

1 a

(

27 a

1 a ( 27 1

a

3 1 a 1 a

 a = 2

2) XÐt vÕ tr¸i cña (2): VT =

) c b )(

c a )(

b a (

1 a

c a )(

b a (

1 )

c b ( ) c a ( ) b a

 4

) c b )(

c a )(

b a (

1 a

c a )(

b a (

1 c

b

c b c a

c a b a

b 3 a c b

2 1

1 3 3

2 2

1

2 3

2 1

a 2 x

x x

1 x

x x

x x

x

a 6 5 x

x x

.Thay vào (2), ta đợc: 2 a 3 ( 5 6 a 2 ) 1 2 1

12 2  3  Vậy (4) đúng nên (2) đúng

Dấu “=” của (2) xảy ra

2 4

1 a a 2

2 a

3 2

1) 2 2 2

3

c b a 8 ) a c )(

c b )(

b a

c b )(

b a

2

2

3

c b a 8 ) a c )(

c b )(

b a

Dễ thấy dấu “=” xảy ra  a  b  c

2) Lần lợt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có:

3

3

c b a

2 2

3

c b a 64 ) a c ( ) c b ( ) b a

b a ab b a ab b a ab ).

b a ( 4

b a

3 16 70

x

y y

x x

y y

x 16 x

x

z z

y y

x 243 x

; y

lµ (a3 + b3) vµ mêi sè lµ (a + b), ta cã:

10 5

3 3 5 5 5

) b a (

) b a ).(

b a ( 16

) b

3 16 70

x

y y

x x

y y

x 16 x

1 b ab a

b a b a 1

ab

b a b a

b a b a

2 2

3 3 5 5 3

3

3 3 5 5

 a  b  1

 1 x y

x

y y

) ca (

) bc (

) ab (

3

c b a 9

) c b a (

ab 3

c b

Bài 13 Cho x  0; y  0 và thoả mãn điều kiện x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1 x

y 1 y

6 2 xy 2

xy 2 2

hoặc 



 0 y 1 x

Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có

4

1 2

y x xy

(

4 y x y

x

1 y

4 y

x y

x

4 y x

y x 2

y x

Do x > y nên x – y > 0 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có:

xy

y x

4 2 y x

2 1 x

2 1 y

2 1 x

2) Ta có x6 + y6 + 1 = (x3 – y3 )2 + 2x3y3 + 1 = [(x3 – y3)2  1] + 4

4 1

4 1 y x 2 1 y x

4 1

y

3 3 3

1 y x

4 1

1 y x

3 3 3 3

3 3 3 3

2 5 1 y 2 5 1 x 2 5 1 y 2 1 x

2 5 1 y 2 5 1 x 2 5 1 y 2 1 x

1 3 b

1 3 a

19

x + y + z  3 3 xyz;

xy + yz + zx  3 3 x 2 y 2 z 2 Suy ra VT(*)  3 + 32 3 xyz + 3 3 x 2 y 2 z 2 + 3 x y z =3 3 3  3

3 3

3 3 abc

1 3 c

1 3 b

1 3 a

1 3 b

1 3 a

3 1

a

1aa

3 n

a

1aa

1

a    Dấu “=” xảy ra  an = 1

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có :

n 1

n 2

1 3 n

3 n

3 n

3

1

a

1a

aaa

1

a

1a

n 1

n 1

n 1

a

1

a

1 a

a 2 a

1

a

1 a

n 1

3 n

3 1

3 n

3

1

a

1 a

a 2 a

1

a

1 a

n 2 1

a

a a 1

a 1 a

a

1 a

a a

1 a

1

1

Tơng tự, ta có 3  2

2

a a

1 a

1 a

n

n.Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta đợc:

 1 n

n 1

a

a a

1

a

1 2

 1 n

n 1

n 1

a

a a

1

a

1 a

1

2

n 1

a

a a

1

n

a

1

a

1 a

2 a 1 a

2 a 1 a

a 1

a 1 a

a

n 1

n 1

n 1

n 1

1 a

i

i(i = 1, n ) th×  

a

1

;n

n 1

a

a a

1

a

a 2

1 a

a 2

1 a

1

2 n

a

1

a

1 a

2 a 1 a

2 a

a a

1

a 1 2

n 2

1 n

1

n 1

n 1

i 2a2

1 c 6

1 b 6

1 a 6

1 c 6

1 b 6

1 a

1 6

1 c 6

1 6

1 b 6

1 6

1 a 6

1

    66 d

d c

6 6

c b

6 6

b a 6

bcd 2

1 a 6

cda 2

1 b 6

dab 2

1 c 6

abc 2

1 d 6

c 6 )(

b 6 )(

a 6 ( 16

abcd )

d 6 )(

c 6 )(

1 d 6

1 c 6

1 b 6

1 a 6

1

 a = b = c = d = 2

Bài 19 Chứng minh rằng với a, b  [0; 1] thì ( 1 a )( 1 b ) 1

a 1

b b 1

Giải Do vai trò của a và b ở vế trái của (1) là nh nhau nên ta giả sử a  b.

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta đợc

2

b 1 b 1 ) b 1 )(

b 1 (

1 b 1

a 1 ) b 1 )(

a 1 (

b a 1

a b 1

1

a b a 1 ) b 1 )(

a 1 ( a 1

b b

)c2)(

b2)(

a2(ba2

ca

c2

bc

Giải Giả sử a = max(a, b, c) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta đợc

8 3

c 2 b 2 c b 2 ) c 2 )(

b 2

8 c

a28

)c2)(

b2)(

a2(

b a

c 2

c b

a 2

a c

b 2

)c2)(

b2)(

a2(ba2

ca

c2

bcb

b c

a a

a24





ba

8ba

a4ba

8b

a

)a2(4b2

)a2(4

Suy ra (2 – a) (2 – b)  2

b a

8



b a