Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác về
Trang 1Chuyên đề : Bất đẳng
thức
Tác giả : Nguyễn –Văn –Thủy
su tập và biên soạn năm 2000
chỉnh sửa năm :2007
A- Mở đầu:
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học
phổ thông
Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ
và sâu sắc hơn về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối
liên hệ giữa các yếu tố
của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Trong
quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phat
triển đa dang và phong phú
vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn
mẫu nào cả
Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến
thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống
Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một
phơng pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng
thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hơng nào Do
đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận
dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác
Trong thực tế giảng dạy toán ở trờng THCS việc làm cho học sinh biết
chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài
tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu đợc của ngời
dạy toán ,thông qua đó rèn luyện
T duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số
ph-ơng pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt hơn
Danh mục của chuyên đề
1 Phần mở đầu
2 Nội dung chuyên đề
3 Các kiến thức cần lu ý
4 Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức
5 Phơng pháp 1:dùng định nghiã
6 Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng
7 Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc
8 Phơng pháp 4:dùng tính chất bắc cầu
9 Phơng pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số
10 Phơng pháp 6: dùng phơng pháp làm trội
Trang 211 Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác
12 Phơng pháp 8: dùng đổi biến
13 Phơng pháp 9: Dùng tam thức bậc hai
14 Phơng pháp 10: Dùng quy nạp toán học
15 Phơng pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng
16 Các bài tập nâng cao
17 ứng dụng của bất dẳng thức
18 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
19 Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng
trình
20 Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm
nguyên
21 Tài liệu tham khảo
B- nội dung
Phần 1 : các kiến thức cần lu ý
1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng
Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa
2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phơng pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phơng pháp làm trội
7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số
9- Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phơng pháp quy nạp
11- Phơng pháp phản chứng Phần 3 :các bài tập nâng cao
PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên
Phần I : các kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa
≤ ⇔ − ≤A B A B≥ ⇔ − ≥A B A B 00 2-tính chất
Trang 3+ A>B ⇔ B< A
+ A>B và B >C ⇔ A>C
+ A>B ⇒A+C >B + C
+ A>B và C > D ⇒ A+C > B + D
+ A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C
+ A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D
+ A > B > 0 ⇒ An > Bn ∀n
+ A > B ⇒ An > Bn với n lẻ
+ A > B ⇒ An > Bn với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1 ⇒ Am > An
+ m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ Am < An
+A < B và A.B > 0 ⇒
B A
1
1 >
3-một số hằng bất đẳng thức
+ A2 ≥ 0 với ∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An ≥ 0 với∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A ≥0 với A∀ (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ - A < A = A
+ A B+ ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ A−B ≤ A − B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng
thức
Ph
ơng pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A –B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M2 ≥ 0 với∀ M
a) x2 + y2 + z2 ≥ xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz
c) x2 + y2 + z2+3 ≥ 2 (x + y + z) Giải:
a) Ta xét hiệu
x2 + y2 + z2- xy – yz - zx =
2
1 2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx) =
2
1 [(x−y)2 +(x−z)2 +(y−z)2]≥0đúng với mọi x;y;z
R
∈
Vì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 ≥0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 ≥0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x2 + y2 + z2 ≥ xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu
x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)2 ≥0 đúng với mọi x;y;z R∈
Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
R
∈
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu
x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2-2z +1 = (x-1)2+ (y-1) 2+(z-1)2≥ 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
2 2
2
2
+
≥
3
≥ +
a
c) Hãy tổng quát bài toán giải
Trang 4a) Ta xét hiệu
2 2
2
2
+
−
a
4
2 4
2a2 +b2 −a2 + ab+b2 = (2a 2b a b 2ab)
4
1 2 + 2 − 2 − 2 −
4
1 a−b 2 ≥
Vậy
2 2
2
2
+
≥
a
Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu
2 2
2
2
3
− +
a
9
1 a−b 2 + b−c 2 + c−a 2 ≥
Vậy
2 2
2 2
3
≥ +
a
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
2 2
1 2 2
2
2
≥ + + +
n
a a
a n
a a
Tóm lại các bớc để chứng minh A≥B tho định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bớc 2:Biến đổi H=(C+D)2hoặc H=(C+D)2+ +(E+F)… 2
Bớc 3:Kết luận A ≥ B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có
m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1)
Giải:
0 1 4
4 4
4
2 2
2 2
2 2
2
≥
+
− +
+
− +
+
− +
+
−
0 1 2 2
2 2
2 2
2 2
≥
− +
− +
− +
−
Dấu bằng xảy ra khi
=
−
=
−
=
−
=
−
0 1 2
0 2
0 2
0 2
m q m p m n m
⇔
=
=
=
=
2 2 2 2
m
m q
m p
m n
⇔
=
=
=
=
1
2
q p n m
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
L u ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức
đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
(A+B)2 = A2 +2AB+B2
(A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB+2AC+2BC
(A+B)3 = A3 +3A2B+3AB2 +B3
Ví dụ 1:
Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) a +b ≥ab
4
2 2
b)a2 +b2 +1≥ab+a+b
c)a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e) Giải:
a) a +b ≥ab
4
2 2
⇔4a2 +b2 ≥4ab ⇔4a2 −4a+b2 ≥0 ⇔(2a−b)2 ≥0 (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậya +b ≥ab
4
2
2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
Trang 5b) a2 +b2 +1≥ab+a+b
⇔2(a2 +b2 +1 ) >2(ab+a+b)
⇔a2 −2ab+b2 +a2 −2a+1+b2 −2b+1≥0
⇔(a−b)2 +(a−1)2 +(b−1)2 ≥0 Bất đẳng thức cuối đúng
Vậy a2 +b2 +1≥ab+a+b
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c) a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e)
⇔ 4( a2 +b2 +c2 +d2 +e2 )≥4a(b+c+d+e)
⇔ (a2 −4ab+4b2) (+ a2 −4ac+4c2) (+ a2 −4ad+4d2) (+ a2 −4ac+4c2)≥0
⇔ (a−2b) (2 + a−2c) (2 + a−2d) (2 + a−2c)2 ≥0
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)
Giải:
12 8 4 4 8 12 12 10 2 2
10
⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥0
⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6)≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y Chứng minh
y x
y x
−
2
≥2 2
Giải:
y
x
y
x
−
+ 2
2
≥2 2 vì :x〉y nên x- y 〉 0 ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y)
⇒ x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔ x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0
⇔ x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
⇒(x-y- 2 )2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng
minh
Ví dụ 4:
1)CM: P(x,y)=9x2y2 +y2 −6xy−2y+1≥0 ∀x,y∈R
2)CM: a2 +b2 +c2 ≤ a + b + c (gợi ý :bình phơng 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
+ +
<
+ +
=
z y x z y x
z y x
1 1
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 (đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
z y x
1 1
1+ + )=x+y+z - (1+ 1 +1) > 0
z y
z y x
1 1
1+ + < x+y+z theo gt) →2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1
bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Ph ơng pháp 3 : dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ:
a) x2 +y2 ≥2xy
b) x2 + y2 ≥ xy
dấu( = ) khi x = y = 0 c) (x+y)2 ≥4xy
d) + ≥2
a
b b a
n
a a
a a
3 2 1 3
2
0
>
i
a
3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
Trang 6( ) ( ) ( )2
2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 2
2
2
4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:
Nếu
≤
≤
≤
≤
C B A
c b a
⇒
3
3 3
C B A c b a cC
bB
Nếu
≥
≥
≤
≤
C B A
c b a
⇒
3
3 3
C B A c b a cC
bB
Dấu bằng xảy ra khi
=
=
=
=
C B A
c b a
b/ các ví dụ
ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
Giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: (x+ y)2 ≥4xy
Tacó (a+b)2 ≥4ab; (b+c)2 ≥4bc ; (c+a)2 ≥4ac
⇒( )2
b
a+ ( )2
c
b+ ( )2
a
c+ ≥64a2b2c2 =(8abc)2
⇒(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 1 +1+1 ≥9
c b a
(403-1001)
2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z≥4(1−x)(1−y)(1−z)
3)Cho a>0 , b>0, c>0
CMR:
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
4)Cho x 0≥ ,y 0≥ thỏa mãn 2 x − y =1 ;CMR: x+y
5
1
≥
ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a2 +b2 +c2 =1chứng minh rằng
2
b c a c a b+ + ≥
Giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a≥b≥c ⇒
+
≥ +
≥ +
≥
≥
b a
c c a
b c b
2 2 2
áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có
+
+ +
+ +
+ +
≥ +
+ +
+
c c a
b c b
a c b a b a
c c c a
b b c b
a
3
2
3 3
1
= 2 1
Vậy
2
1
3 3
3
≥ +
+ +
+
c c a
b c b
a
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
3 1
ví dụ 4:
Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
2 2 2
a
Giải:
Ta có a2 +b2 ≥2ab
c2 +d2 ≥2cd
Do abcd =1 nên cd =
ab
1 (dùng
2
1
1 ≥ +
x
Ta có 2 + 2 + 2 ≥2( + )=2( + 1 )≥4
ab ab cd
ab c
b
Mặt khác: a(b+c) (+b c+d) (+d c+a) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
+ +
+ +
bc
bc ac
ac ab
ab
Vậya2 +b2 +c2 +d2 +a(b+c) (+b c+d) (+d c+a)≥10
ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
(a+c)2 +(b+d)2 ≤ a2 +b2 + c2 +d2
Trang 7Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd≤ a2 +b2 c2 +d2
b a d b c
(a2 +b2)+2 a2 +b2 c2 +d2 +c2 +d2
≤
⇒ (a+c)2 +(b+d)2 ≤ a2 +b2 + c2 +d2
ví dụ 6 : Chứng minh rằng
a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ac
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có
(12 +12 +12)(a2 +b2 +c2)≥(1.a+1.b+1.c)2
⇒ 3(a2 +b2 +c2)≥a2 +b2 +c2 +2(ab+bc+ac)
⇒a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra
khi a=b=c
Ph
ơng pháp 4 : Sử dụng tính chất bắc cầu
L u ý: A>B và b>c thì A>c
0< x <1 thì x2<x
ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
Chứng minh rằng ab >ad+bc
Giải:
Tacó
+
>
+
>
d c b
d c a
⇒
>
>
−
>
>
−
0
0
c d b
d c a
⇒ (a-c)(b-d) > cd
⇔ ab-ad-bc+cd >cd
⇔ ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3
5 2 2
2+ b + c =
a
Chứng minh
abc c b a
1 1 1
1+ + <
Giải:
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 〉 0
⇒ ac+bc-ab 〈
2
1 ( a2+b2+c2) ⇒ ac+bc-ab
6
5
≤ 〈 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
c b a
1 1 1
−
abc
1
ví dụ 3 Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Giải:
Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0 ⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có ⇒(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
(Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 <a,b,c <1 Chứng minh rằng
2a3+2b3 +2c3 <3+a2b+b2c+c2a
Giải :
Do a < 1 ⇒ a2 <1 và
Ta có (1−a2).(1−b)<0 ⇒ 1-b-a +2 a b > 02
⇒ 1+a2b > 2 a + b2
mà 0< a,b <1 ⇒ a > 2 a , 3 b > 2 b3
Từ (1) và (2) ⇒ 1+a2b > 2 a +3 b3
Vậy a +3 b < 1+3 a2b2
Tơng tự b +3 c3 ≤1+b2c
c 3+a3≤1+c2a
Cộng các bất đẳng thức ta có :
2a3 +2b3+2c3 ≤3+a2b+b2c+c2a
b)Chứng minh rằng : Nếu a2 +b2 =c2 +d2 =1998 thì ac+bd =1998 (Chuyên Anh –98 – 99)
Giải:
Trang 8Ta cã (ac + bd)2 + (ad – bc )2 = a2c2 + b2d2 +2abcd +a2d 2 +b2c2
-abcd
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
rá rµng (ac+bd)2 ≤ ( ) (2 )2 2
1998
=
− +
ac
⇒ ac+bd ≤1998
2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 .;a… 2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 +
.+a
… 2003 =1
c høng minh r»ng : a2
2003
2 3
2
2 a a
2003
1
chuyªn nga ph¸p 2003- 2004Thanh hãa )
2,Cho a;b;c ≥0 tháa m·n :a+b+c=1(?)
Chøng minh r»ng: (1−1).(1−1).(1−1)≥8
c b
a
Ph
¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè
KiÕn thøc
1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th×
a – NÕu >1
b
a
th×
c b
c a b
a
+
+
>
b – NÕu <1
b
a
th×
c b
c a b
a
+
+
<
2)NÕu b,d >0 th× tõ
d
c d b
c a b
a d
c b
+
+
<
⇒
`
vÝ dô 1 :
Cho a,b,c,d > 0 Chøng minh r»ng
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
<
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
Gi¶i :
Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã
d c b a
d a c
b a
a c
b
a
a
+ + +
+
<
+ +
⇒
<
+
MÆt kh¸c :
d c b a
a c
b a
a
+ + +
>
+
Tõ (1) vµ (2) ta cã
d c b a
a
+ +
a
+
d a
+ + +
+
(3) T¬ng tù ta cã
d c b a
a b d
c b
b d
c b a
b
+ + +
+
<
+ +
<
+ +
d c b a
c b a
d c
c d
c b a
c
+ + +
+
<
+ +
<
+ +
d c b a
c d b
a d
d d
c b a
d
+ + +
+
<
+ +
<
+ +
céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã
2
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
<
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
®iÒu ph¶i chøng minh
vÝ dô 2 : Cho:
b
a
<
d
c
vµ b,d > 0 Chøng minh r»ng
b
a
<
d
c d b
cd
ab <
+
+ 2 2
Gi¶i: Tõ
b
a
<
d
c
2
cd b
ab <
d
c d
cd d b
cd ab b
+
+
2
VËy
b
a
<
d
c d b
cd
ab <
+
+ 2
2 ®iÒu ph¶i chøng minh
vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
d
b c
a+
c
a d
b
≤ Tõ :
c
a d
b
≤
d
b d c
b a c
+
+
≤
⇒
1
≤
c
a
v× a+b = c+d
a, NÕu :b ≤998 th×
d
b
998
d
b c a
+ ≤ 999
Trang 9b, Nếu: b=998 thì a=1 ⇒
d
b c
a + =
d c
999
1+ Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1;
c=999
Vậy giá trị lớn nhất của
d
b c
a
999
1 khi a=d=1; c=b=999 Ph
ơng pháp 6: Phơng pháplàm trội
L u ý:
Dùngcác tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính
đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn
(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn :
S = u1+u2+ +u n
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên
tiếp nhau:
u k =a k−a k+1
Khi đó :
S = (a1−a2) (+ a2−a3)+ +(a n−a n+1)=a1−a n+1
(*) Phơng pháp chung về tính tích hữu hạn
P = u1u2 u n
Biến đổi các số hạng u về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau: k
u = k
1
+
k
k
a
a
Khi đó P =
1
1 1 3
2 2
1
+ +
=
n n
n
a
a a
a a
a a a
Ví dụ 1 :
Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
4
3 1
2
1 1
1 2
1
<
+ + + +
+ +
<
n n n
n
Giải:
Ta có
n n n k
1 1
+
>
+ với k = 1,2,3, ,n-1…
Do đó:
2
1 2 2
1
2
1 2
1
2
1 1
+
+
n n n
n n
n
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng:
1 2( 1 1)
3
1 2
1
n Với n là số nguyên
Giải :
k k k
+ +
>
1
2 2
2 1 Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1 > 2( 2−1)
2( 3 2)
2
1 > −
………
n >2 +1−
1 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
3
1 2
1
n
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 1 2
<
∑
=
n
k k ∀n∈Z
Giải:
Ta có k k(k ) k k
1 1
1 1
1 1
−
=
−
<
Cho k chạy từ 2 đến n ta có
Trang 10
1
1
3
1 2
1
1 1
1 1
3
1 2
1 3
1
2
1 1 2
1
2 2
2
2
2
2
<
+ + +
⇒
−
−
<
−
<
−
<
n
n n n
Vậy 1 2
<
∑
=
n
k k
Ph ơng pháp 7:
Dùng bất đẳng thức trong tam giác
L
u ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
+
<
<
+
<
<
+
<
<
b a c
c a b
c b a
0
0
0
⇒
+
<
+
<
+
<
) (
) (
) (
2 2 2
b a c c
c a b b
c b a a
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > b-c ⇒ a2 >a2 −(b−c)2> 0
b > a-c ⇒ b2 >b2−(c−a)2> 0
c > a-b ⇒ c2 >c2−(a−b)2 >0
Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc
[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]
abc
b a c a c b c b a c b a
b a c a c b c b a c b a
− +
− +
− +
>
⇒
− +
− +
− +
>
⇒
−
−
−
−
−
−
>
⇒
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Ví dụ2: (404 – 1001) 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng ab+bc+ca<a2 +b2 +c2 <2(ab+bc+ca) 2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng a2 +b2+c2+2abc<2
Ph ơng pháp 8: đổi biến số
Ví dụ1:
Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
a
(1) Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=
2
x z
y+ −
; b =
2
y x
z+ −
; c = 2
z y
x+ −
ta có (1) ⇔
z
z y x y
y x z x
x z y
2 2
2
− + +
− + +
− +
2
3
≥
⇔ + −1+ + −1+ + −1≥3
z
y z
x y
z y
x x
z x y
⇔( + )+( + )+( + )≥6
z
y y
z z
x x
z y
x x y
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥2;
y
x x
y
+ ≥2
z
x x
z
; + ≥2
z
y y z
nên ta có điều phải chứng minh
Ví dụ2:
Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng
2
1 2
1 2
1
2 2
+
+ +
+
Giải:
Đặt x = a2 +2bc ; y = b2+2ac ; z = c2+2ab
Ta có x+y+z=(a+b+c)2 <1 (1) ⇔ 1+1+1 ≥9
z y
x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0