Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng

Với mong muốn trao đổi kiến thức chuyên môn cũng như kinh nghiệm học toán và dạy toán cùng đồng nghiệp, trong chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” này, tôi trình bày chi tiết hai k[r]

M Ụ C L Ụ C

MỤC LỤC 1

MỞĐẦU 2

NỘI DUNG 3

I.Ứng dụng của BĐT Côsi tron chứng minh BĐT 4

I.Một số kỹ h ậtsử dụng BĐT Côsi 9

1.Kỹ h ậtchọn điểm rơi tron c/m c c BĐT có điều kiện 9

2.Kỹ h ậttá h-g ép Côsi .13

I I.Ứng dụng của BĐT Côsitrong bài toán Max-Min 15

KẾT LUẬN 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

M Ở ĐẦ U

B ất đẳng thức là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Toán học

Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đó

được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,…Trong đó nổi bật hơn cả mà chúng không thể không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi),

Trong chương trình Toán học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức được xem là

toán BĐT trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hàng nó hay

nhiều toán học cũng như những người làm toán đã nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo và

Khi nghiên cứu và khai thác BĐT Côsi, tôi thấy tâm đắc với hai kỹ thuật

Côsi” Với hai kỹ thuật này chúng ta có thể vận dụng để chứng minh được rất

trao đổi kiến thức chuyên môn cũng như kinh nghiệm học toán và dạy toán cùng

đồng nghiệp, trong chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” này, tôi trình

đó qua các ví dụ và bài toán Hy vọng đây là một tài liệu chuyên môn có giá trị

N Ộ I DUNG

 Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức (BĐT) Côsi cho hai số không âm:

Định lý 1: Cho hai số thực không âm a và b, ta có: 2

2

a b

ab

(1)

2 2

2

2 2

2

(3) 2

(4) 2

a b ab

a b

a b

a b ab





 BĐT Côsi cho ba số không âm:

Định lí 2: Với ba số thực không âm a, b và c ta có:

3

a b c

abc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c

Ch ứng minh: Chứng minh (5) có nhiều cách Sau đây là một số cách chứng

Cách 1: Sử dụng BĐT cho hai cặp số không âm ( , )a b và ( ,c 3 abc) ta được:

3

3

3 3 3

a b c abc ab c abc

ab c abc abc

a b c abc

a b c

abc

   

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c

Cách 2: Trước hết ta chứng minh BĐT Côsi cho bốn số a, b, c, d không âm

Ta có

4

a b c d a b c d a b c d

ab cd abcd

4

a b c d

abcd

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a   b c d

Bây giờ, ta đặt

3

a b c

d  

4

3

4

4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c

 Tổng quát: Cho n số thực không âm a a1, , , 2 a Ta có n

1 2

1 2 (6)

n n

n

a a a n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2    a n

(BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n)

 Một số chú ý khi sử dụng BĐT Côsi:

có tổng và tích

SAU Đ ÂY CHÚNG TA XÉT M Ộ T S Ố Ứ NG DỤ NG CỦ A B Đ T CÔSI

I Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng minh BĐT

 Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a và b Chứng minh:

(ab ab)(  1) 4ab

Giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có:

2

1 2

a b ab

  





 

 Suy ra (ab ab)(  1) 2 ab.2 ab4ab

1

a b

a b ab









a b

Giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có:

2

a b ab

a b ab

  





 





Suy ra (a b) 1 1 2 ab 2 4

Nh ận xét: BĐT sau còn được viết lại dưới dạng sau: 1 1 4 (I)

a  b a b

(I') 4

a b a b

 Bài toán 1.1: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi

p a p b p c a b c

Giải Áp dụng BĐT (I) ta có:

p a p b p a p b  p a b  c

p b p c a

p c p a b

2

p a p b p c a b c

p a p b p c a b c

p a p b p c

 Bài toán 1.2: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

a bb c c a  a b c a b c a b c

Giải Áp dụng BĐT (I) ta có:

a b a b c  a b c a b c

b c a b c a b c

c aa b c  a b c

Cộng ba BĐT trên ta có đpcm

Giải Áp dụng BĐT (I’) ta có:

Tương tự ta có:

Cộng các BĐT này ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z

a b 

Giải Ta có

1

a b  a b 

3 3

2

a b

   (đpcm)

a b c

Giải Áp dụng BĐT cho ba số dương ta có:

3

3

3 3

3

3

a b c abc

a b c abc



  



Nh ận xét: BĐT trên còn được viết lại dưới các dạng sau: 1 1 1 9 (II)

 

9

a b c a b c

Từ các BĐT (I) và (II) ta có thể tổng quát thành BĐT sau:

2

(III)

n

Bất đẳng thức (III) được sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh BĐT Sau đây là một số ứng dụng của nó

3 2

b cc aa b

x y z x y z x y z x y z

x y z x y z x y z x y z

Chú thích: BĐT này có tên gọi là BĐT Nesbit cho ba số dương Có nhiều cách để

chứng minh BĐT này, sau đây là một số cách Cm có sử dụng BĐT Côsi

2

VT

a b c

b c c a a b

a b b c c a

b c c a a b

9 3

Cách 2: Đặt X  b c Y,  c a Z,   Lúc đó ta có: a b

2

2

VT

 Bài toán 1.6: Cho , ,a b c và 0 a   Chứng minh rằng: b c 1

3

a  b c  

VT

a b  c  a b c  

3

Nhận xét: Bài toán trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát sau:

“Cho n s ố thực dương a a1, , ,2 a và n

1

1

n i i

a





 Khi đó, ta có:

n n

BĐT này được chứng minh theo cách của bài toán trên kết hợp với việc sử dụng BĐT (III)

3

rằng:

Giải Ta có abbccaa2b2 c2  Áp 3 dụng BĐT (II), ta có:

2 2 2

82

Giải Trước hết ta có

2

2 1 1 1

VT x y z

x y z

véctơ)

Do đó

2

x y z

3

x    y z

 Bài toán 1.9: Cho , ,a b c và 0 a   Chứng minh rằng: b c 1

2 2 2

30

a b c ab bcca

abbc ca ab bc ca

Suy ra

2 2 2

2 2 2

VT

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca

ab bc ca a b c

ab bc ca

2 2 2 2 2 2

9

a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca a b c

3

a b c

    

II M ột số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi trong chứng minh BĐT

1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng các BĐT có điều kiện

đẳng thức sau:

2

a b  , b) 4 4 1

8

a b  , c) 8 8 1

128

a  b

Giải Các BĐT này có thể chứng minh như sau:

2

2 2 ( ) 1

a b

2 2

2 2 2

4 4

a b

a b

a b



 

2 2

4 4

8 8

1

1 8

a b

a b

 

 

Nh ận xét:

2 2

2 1

1 2

n

a b   , với mọi *

BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n

a’)

2

2 2

2

a b 

4

4 4

8

a b 

8

8 8

128

a  b 

2 1

2

n

n



1

4

a b  b) 5 5 1

16

a b  c) 9 9 1

256

a b 

Ta nhận thấy rằng đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra

1 2

a) Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

3

3 3

3

3

3 3

3

3

2

a b



 

 

2

a b

   

5

5 5

5

5

5



                 

1 16

2

a b

  

9

9

9

9

8

9

9

ht

ht











2

a b

   

Tổng quát: Ta có bài toán sau: “Cho a và b là hai số thực dương và a b   Khi 

a b



2

a b 

   ”

Chứng minh

1

1 ( 1)

1

( 1)

n

n

n

n

n ht















  







1

2

n n n

n



 

 

với , ,a b c0; a   b c 

a b c  A b) 3 3 3

a b c  N

Với kĩ thuật tương tự như trên ta hoàn toàn có thể chỉ ra được

2

3

1

3 9 3

n n

A B N









 





 













Bài toán: Cho k s ố thực dương a a1, , ,2 a k thỏa a1   a2 a k . Chứng minh rằng: 1n 2n n n1

k n

k





n

n n n

   với mọi n  Đẳng thức xảy ra khi *

nào?

Ch ứng minh

( 1)

1

( 1)

1

( 1)

n

n ht

n

n ht

n

n ht



















             





            



1

n







Hay

*

n n n

n



k



BĐT (IV) được sử dụng rất nhiều trong chứng minh các BĐT

2 Kĩ thuật tách-ghép Côsi

2

b c c a a c

 

a

2 2

a b c

b c c a a c

b c c a a c

 

 

Nh ận xét:

2

? 4

a b c

b c





không chứa biến ở mẫu Nhưng tại sao lại ghép a2

bc với

4

bc

2

b c

bc 

,…điều này xuất phát từ điều kiện để BĐT xảy ra đó

là a  b c

2

b cc a a c 

 Bài toán 2.3: Cho , ,a b c0 &abc Chứng minh rằng 1

Giải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có:

3

3

Tương tự ta có:

3 3

a b c

  

b c a c a b a b c

 

Gi ải Áp dụng BĐT Côsi ta cho bốn số dương ta có:

4

a

Tương tự, ta có:

4

4

b

c

4 4 4

Hay

b c a c a b a b c

 

a b c

  

 Bài toán 2.5: Cho , ,x y z và 0 xyz Ch1 ứng minh rằng:

3 3 3

Gi ải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm, ta có:

Cộng các BĐT này ta được: x3 y3z3  6 3(x  y z)

Mặt khác: x  y z 33 xyz  3 2(x   y z) 6

Do đó

3 3 3

3 3 3

3 3 3

x y z x y z x y z

x y z x y z

Nh ận xét:

x   a a

“Cho k s ố thực a a1, , ,2 a không âm và có tích bằng 1 Chứng minh rằng: k

1m 2m m 1n 2n n,

Giải Với mỗi i 1,k Ta áp dụng BĐT Côsi cho m số, gồm n số m

i

a và

(m số 1, ta có: n)

( )

m n n



Mà

Do đó

rằng:

1 1 1 27

Gi ải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:

1

a

a

a



 



Tương tự ta có:

&

III Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min

x y z

     

Gi ải Theo BĐT Côsi ta có:

9

8 9

x y z

x y z x y z

x y z

8 10

3

x    y z

3

x    y z

Gi ải Áp dụng BĐT Cối cho ba số dương ta có:

3 3

,

Cộng các BĐT trên ta được:

3

3

P

xy yz zx xyz

Vậy Pmin 3 3 đạt được khi x   y z 1

biểu thức:

A     

Gi ải Ta có 3 4 x    1 1 1 4x 4 44 x  3 4 x  4 44 x 2 48 x

Tương tự ta có: 3 4 y 2 4 , 3 48 y  z 2 48 z

Do đó

3 8

x y z 

Vậy Amin 6 đạt được khi x   y z 0

2

9

Gi ải Ta có

6

3

x

y

Do đó ta có

2

3 3 6 4

3 3 3 3

3 3

9

x y





 

4

x   Tìm giá trị lớn y z

nhất của biểu thức: P 3 x3y 3 y3z  3 z3x

Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có:

3

3

3

x y

y z

z x

3

4

x y z

4

Q

x y z y z x z x y

Gi ải Đặt a 1,b 1,c 1

b c c a a b

3

Q   a b c Q  

3 2

y z z x x y

Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có:

3

3

3

x

y

z

Đẳng thức xảy ra     x y z 2.

Vậy Smin 6 đạt được khi x  y z 2

K

Gi ải Áp dụng BĐT Côsi ta có:

Và a2b2c2 abbcca

Do đó

2 2 2

3 5

4

4

S

x y

 

Giải Ta có

5

5

5

5

S

x y x x x x y x x x x y x x x x y

x x x x y x y

Tức là S  Đẳng thức xảy ra 5

Vậy Smin 5 đạt được khi

1 1 4

x y













Gi ải Ta có

2 bc ac ab 2( 2 2 2)

2 2 2 2 2 2

Cộng các BĐT này ta được:

2 2 2

a b c

3

Vậy Amin  3

Gi ải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có:

64

K

Suy ra

3

K

a b c abc

khi và chỉ khi a   b c 2

729 512

-Hết -

K Ế T LU Ậ N

Như chúng ta đã biết, BĐT Côsi là một BĐT khá nổi tiếng bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó Ngoài việc được vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức Đại

các bài toán cực trị Hình học Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu không nhiều nên

BĐT là một nội dung Toán học khá rộng, càng đi sâu chúng ta càng thấy được sự thú vị cũng như cảm nhận được ngày càng rõ sự phức tạp của nó Mặc dù

đã cố gắng rất nhiều nhưng nhũng gì được đề cập trong chuyên đề này chắc chắn

bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình bày để chuyên đề được hoàn thiện hơn