Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNGA.. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức 1... Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương... Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.. Dạng 3: Giải phương trình, hệ p
Trang 1Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG
A Áp dụng nhựng hằng đẳng thức
1 Bình phương của một tổng: 2 2 2
2AB B A
B
A =A B2 4AB
2 Bình phương của một hiệu: A B2 B A2 A2 2ABB2= A B2 4AB
3 Hiệu của hai bình phương: A2 B2 A BAB
4 Lập phương của tổng: AB3 A3 3A2B 3AB2 B3 A3 B3 3ABAB
5 Lập phương của hiệu: A B3 A3 3A2B 3AB2 B3 A3 B3 3ABA B
6 Tổng hai lập phương: A3 B3 AB A2 ABB2AB3 3AB.(A B)
7 Hiệu hai lập phương: A3 B3 A B A2 ABB2 (A B) 3 3AB.(A B)
* Một số hằng đẳng thức tổng quát
1 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)
2 a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)
3 a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)
4 (a + b)n = an + nan-1b +
2 1
) 1 ( n n
an-2b2+…+
2 1
) 1 ( n n
a2bn-2 +nabn-1 + bn
5 (a -b)n = an - nan-1b +
2 1
) 1 ( n n
an-2b2-
…-2 1
) 1 ( n n
a2bn-2 +nabn-1 - bn
Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1 ABC2 A2 B2 C2 2ABBCAC
2 ABC3 A3 B3 C3 3AB .BC . AC
3 2A2 B2AB2 A B2
4 2 2 2 2 2 2
.X Y AX BY AX BY
B
Bài tập 2 Tính :
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)
A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005
A = ( 1 + 2002 ) 2005 : 2 = 2011015
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = …
B =(232 - 1)(232 + 1) – 264
B = 264 – 1 – 264
Trang 2B = - 1
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15
Giải a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra x – 2 = 0 x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra x – 4 = 0 x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
Dấu “ =” xảy ra x – 2 = 0 x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2
* Chú ý:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A < t với t là một hằng số.
- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c ) 2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c
Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )
a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac
a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0
2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0
( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0
( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0
( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0
a = b hay b = c hay c = a
a = b = c
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
Trang 3(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2
Bài tập 5 Chứng minh rằng:
a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N)
Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19
Vì ( 25n – 6n ) ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n ) 19 và 19.6n 19
Vậy 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 11n + 12.122n
= 12.( 144n – 11n) + 133.11n 133
Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
a n – b n = (a- b)(a n-1 + a n-2 b + … + ab n-2 + b n-1 ) do đĩ (a n – b n ) (a- b)
Bài tập 6 Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0
x = - 5 ; y = -3; z = 8
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2
Bài tập 7: Cho x =
1 số chữ
n
15
11
; y =
1 số chữ
n
19
11
Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.
Ta cĩ : y = nchữ số 1
19
11
= nchữ số 1
15
11
+ 4 = x + 4
Do đĩ: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
hay xy + 4 =
1 số chữ
n
2 17
11
là số chính phương
B Ứng dụng hằng đẳng thức
Xét bài tốn phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
Ta cĩ: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc
= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)
= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)
= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab)
= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Trang 4= 2
1 (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]
Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
=>
2
1
(a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0
=>
0 ) ( ) ( ) (
0
2 2
b a
c b a
=>
c b a
c b
Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử
Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)
Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử
Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3
Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3
= (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3
= x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3
= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3
Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c
=>x+y+z = a+b+c
=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
Trang 5DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho 1 1 1 0
z y
zx x
yz z
xy
Từ 1 11 0
z y
3 1 1 1
3 3
=> P = 2 2 2 3 3 3 13 13 13 33
xyz
xyz z
y x
xyz y
xyz x
xyz z
xyz y
zx x
yz z xy
Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A =
a
c c
b b
a
1 1 1
Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>
c b a
c b
Nếu a+b+c = 0 thì A = 1
b c
a b
c c
c a c
c b b
b a
Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
=> A có 2 giá trị: -1 và 8
Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 Tính P =
x
z z
y y
x
1 1
1
Đặt a= xy, b = yz, c =zx
Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>
c b a
c b
Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz
xy
y z x zx
x z y yz
z y x x
x z z
z y y
y x x
z x
y y
1
yz xy zx
zx yz xy
Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8
Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3
Ta biến đổi b-c = b-a+a-c
Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)
Vì a+b+c=0 -> A=0
Trang 6Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =
xzy
z y x
3 3
3
vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B = 3 3
3 3 3
xyz
xyz xyz
z y x
Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c 0 tính giá trị biểu thức M=
2 2 2
c b a
c b a
ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0
= 0
2
a
Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c
=> M =
1 9
3
2 2
2 2 2
a
a a
a a a
Bài 7: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức
A =
2 2
2 2
2 2
2 2
2
b a c
c a
c b
b c
b a
a
Ta có A =
abc
c b
a3 3 3
vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
A = 3abc 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2
b a c
c a
c b
b c
b a
a
Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab
TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac
Nên B=
abc
c b a ab
c ac
b bc a
a
2 2
2 2
3 3 3 2 2 2
ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc
-> B =
2
3 2
3
abc abc
Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức:
b c b
a b a c
Đặt B =
b
a c a
c b c
b
Trang 7Ta có B
a ac bc b b a
c b
a c a
c b b a
c b
a
1
1
abc
c ab
c ab
b a c b a b a
1
2 1
Tương Tự B 1 2 3;
abc
a c
b
a
abc
b a
c
b
abc
c b a abc
b abc
a abc
3
2 1
2 1
2
Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +2.3 9
abc abc
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3
(3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0
=> (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 =>
=> Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 =>
Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0
=>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2
Vì x;y Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1) 2(-1)
chỉ xảy ra trường hợp
1 2
2 2 1
y x
y x
1
0
y x
Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vô nghiệm
KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1
Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x3 +y3+z3- 3xyz=1
Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 <=>
(x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1
Ta xét x2+y2+z2-xy-xz=
2
1 [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ] 0 nên chỉ có thể xảy ra
) 2 ( 1
) 1 ( 1
2 2
x
z y
x
Trang 8Từ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1 3
Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0 <2-3>
Nên x2 +y2 + z2 = 1
giả sử x2 y2 z2
=>z = 0; y = 0; x = 1
0 0 1
z y
x
không t/m
0 0 1
z
y
x
T/m phương trình
0 1 0
z y
x
và
1 0 0
z y x
DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Ta có a3 +b3+c3 = 3abc
c b a
c b
Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0)
=> ABC Là tam giác đều
Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd)
Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3
=3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)
= 3(c+d)(ab-cd)
Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5
=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5
=>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0
=>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0
=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0
Trang 9=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0
2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm
C Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất
Bài tập 1 : Cho ab 0, biết
a/ 3a2 3b2 10ab Tính
b a
b a P
b/ 2a2 2b2 5ab
b a
b a Q
a Xét
4
1 6 10
6 10 6
3 3
6 3 3 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
ab ab
ab ab ab
b a
ab b
a b ab a
b ab a
b a
b a
2
1
0
P
b ( Tương tự ) Xét 2 9 3
E
Bài tập 2:
a/ Cho abc 0và a2 b2 c2 14 Tính Aa4 b4 c4
b/ Cho xyz 0 và x2 y2 z2 a2 Tính Bx4 y4 z4theo a
a/ Ta có: 14 2 a2 b2 c22 a4 b4 c4 196 2a2b2 b2c2 c2a2
2 0
0
2 2 2 2
ac bc ab c
b a c
b
a
ab bc ac a b b c a c abc a b c a b b c a c
Vậy 4 4 4 196 2 49 98
a b c
A
b/ x yz x2 yz2 x2 y2 z2 2yz x2 y2 z22 4y2z2
2 2
2 2
2
4 4
2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4
4
B a z y x z y x z
x z y y x z
y
Bài tập 3: Cho x 0và a
x
x 1
Tính các biểu thức sau theo a
2
x
x
x x
x x
x x
1
1 1
n
n n
n n
n
x
x x
x x
x x
x
Ta tính được Aa2 2 Ba3 3a C a6 6a4 9a2 2 Da7 7a15 14a3 7a
Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số
a/ a2b cb2c ac2a b
Trang 10b/ a3 4a2 29a 24à
c/ x4 6x3 7x2 6x 1
d/ x3 6x2 11x 6
e/ x 1 .x 3 .x 5 .x 7 15
f/ x y3 y z3 z x3
Gợi ý:
a/ Thay b c (c a) (a b)
Sau khi thay, ta được a b c2 a2c a b2 a2a bc a ca ba a bc ac b
b/ Đáp số: a 1a 3a 8
1
3
x x
d/ Đáp số: x 1x 2x 3
e/ Đáp số: x2 8x 10.x 6 . x 2
3 3
0 a b c a b c
c
b
a
ab
b
x yy zz x