Tiết 55 đai số 11

III, Giới hạn vô cực của hàm số.. Giới hạn vô cực 2.

III, Giới hạn vô cực của hàm số

1 Giới hạn vô cực

2 Một vài giới hạn đặc biệt

a) lim k

→+∞ =+∞ Nếu k nguyên dương

c) lim k

x x

→−∞ =+∞ Nếu k là số chẵn

Nếu k là số lẻ

b) lim k

x x

→−∞ =−∞

3 Mét vµi quy t¾c vÒ giíi h¹n v« cùc

a)Quy t¾c t×m giíi h¹n cña tÝch f(x).g(x)

M > 0

-M <0

0

lim ( ) 0

x x f x M

0

lim ( )

lim ( ) ( )

x x f x g x

→

∞

∞

∞

∞

∞

∞

b)Quy tắc tìm giới hạn của thương ( )

( )

f x

g x

Dấu của g(x)

M > 0

0

0

lim ( )

→

0

x x f x M

0

( ) lim

( )

x x

f x

g x

→

±∞

∞

∞

∞

∞

4 Mét sè vÝ dô

VÝ dô 1: T×m c¸c giíi h¹n sau

a)

b)

c)

3 2

lim (2 5 10 1)

3 2

lim ( 15 7 3)

→−∞ − + − +

4 2

lim ( 7 22)

→−∞ − + +

Gi¶i:

a)Ta cã lim (2 3 5 2 10 1)

→ +∞ − − +

3

2 3

5 10 1

→+∞

= +∞

V× lim 3

x x

→+∞ = +∞ vµ 5 10 12 3

x→ +∞ − − + x x x = > 0

b) Ta cã

c) lim ( 4 7 2 22)

→−∞ − + + = −∞

3

2 3

x

x

x

→−∞

→−∞

=+∞

2 3

x→−∞ − + x − x + x = − < 0

3 lim

Ví dụ 2: Cho hàm số 2 3

( )

1

x

f x

x

−

=

− có đồ thị như hình vẽ

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi

x → +∞

x → −∞ , , x → 1− Và x → 1+

b) Kiểm tra nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau

Với f(x) được xét trên khoảng

Với f(x) được xét trên khoảng

→−∞

→+∞

1

→

1

→

1

2

3

4

( −∞ ;1 )

( 1; +∞ )

Với f(x) được xét trên khoảng

( 1; +∞ )

Với f(x) được xét trên khoảng ( −∞ ;1 )

x(t)=1 , y(t)=t f(x)=2

f(x)=(2*x-3)/(x-1)

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

a) Quan sát đồ thị hàm số ta nhận thấy giá trị của hàm số dần đến 2 khi x

Giá trị hàm số dần đến +

Giá trị hàm số dần đến - ∞ khi x → 1+

b)

3 Ta có

lim ( ) lim

1

x

f x

x

−

− vì lim(21 3) 1

x − x

→ − = − < 0 , x-1< 0 với mọi x

1, 2 Ta có

3 2

2 3 lim ( ) lim lim 2

1

f x

x

x

−

−

∞ khi x→1−

và

1

x x

−

→ ±∞

VÝ dô 3: TÝnh c¸c giíi h¹n

sau

2

1 5 lim

2

x

x x

−

→−

−

1 5 lim

2

x

x x

+

→−

− +

x(t)=-2 , y(t)=t f(x)=-5 f(x)=(1-5*x)/(x+2)

-15 -10 -5

x y