067 đề HSG toán 9 hạ hòa 2015 2016

Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn.. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. a Chứng minh AEF và ABC đồng dạng và AEF os2.. ABC S c Xác định vị t

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8x38 6 y2

b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố

Câu 2 (4,0 điểm)

Hãy tính giá trị của biểu thứcA  x y 2016

b) Chứng minh rằng: Nếu ax3 by3 cz3 và 1 1 1 1

x   y z thì

3 3 3

3 ax2 by2 cz2  a  b c

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:  2  4

4 x 4x2 11 x 4 b) Giải hệ phương trình:

2





Câu 4 (7,0 điểm)

Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động

trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ các đường cao AD,

BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh AEF và ABC đồng dạng và AEF os2

ABC

S

c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi tam giác DEF đạt giá

trị lớn nhất

Câu 5 (2,0điểm)

Cho a, b ,c ố thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

-HẾT -

Họ và tên thí sinh:………, SBD:………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Ề I C Ọ ỘI UYỂ ỌC SI IỎI

ĂM ỌC 2015 – 2016

Môn: TOÁN

21 12 2015

(Đề thi có 1 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

ƯỚNG DẪN CHẤM CHỌ HỌC SINH GIỎI ĂM ỌC 2015-2016

MÔN: TOÁN

Đây ời giải ơ ược, thí sinh có lời giải khác m đúng thì giám khảo chấm vẫn chấm theo

th ng điểm dưới đây

1

a

Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2

4x  8x 38 6  y

4x  8x 38 6  y  x2 4 x  19  y2  2 ( x  1 )2  3 ( 7  y2)(*) 0,5

T ại có: 7  y2  0  y2  7 Do đó y2  1  y   1 0,25 Lúc đó: 2 ( x  1 )2  18  ( x  1 )   3nên x1  2 ; x2   4 0,25

T thấy các cặp ố (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏ mãn (*) nên nghiệm

b

= ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) 0,25

Vì n ố tự nhiên nên n2

2

a

x x  y y   Hãy tính A iết: A  x y 2016? Nhân cả 2 vế củ đẳng thức đã cho với  2 

2015

x x  t được:

2015 y y 2015 2015 x x 2015

Nhân cả 2 vế củ đẳng thức đã cho với  2 

2015

y y  t được:

2015 x x 2015 2015 y y 2015

Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn t được: x + y = 0 0,75

) Chứng minh rằng: Nếu 3 3 3

cz by

z

1 y

1 x

1





3 3 3

3 ax2  by2 cz2  a  b  c

3 3

z

t y

t x

t cz by

z

1 y

1 x

c z b y a x

t z

1 y

1 x

1 t c b



















3

a

4 x 4x2 11 x 4 (1)

2 11

do x2 2x 2 (x1)2  1 0 với mọi x

Đặt

2 2

t



  (t > 0)

T được phương trình: 2

6t 11t 2 0

0,5

Giải (*) được t = 2 thỏ mãn yêu cầu

Nên

3

7 5 0

6 10 3

4 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2





















x x

x x x

x

x x t

0,5

b

Dễ thấy y 0, ta có:

2

2 2

( ) 2( 1) 7

1

4 1

x

x y y

x

x y

y



  





 





0,5

Đặt u x2 1,v x y

y



+) Với v 3,u 1t có hệ: 2 1 2 2 0 1, 2

2, 5

+) Với v  5,u 9ta có hệ:

KL: Vậy hệ đã cho có h i nghiệm: (1; 2) và ( 2;5)  0,5

4

4

H F

E

D

O

A

a

T m giác ABE vuông tại E nên co A = AE

Tam giác ACF vuông tại F nên co A = AF

Suy ra AE

AB= AF

AC  AEF ABC c g c( )

0,5

Từ AEF ABC suy ra 2

cos

AEF ABC

A

  

b

cos , CDE cos

BDF

S S

1 cos cos cos

S

0,5

1 cos cos cos

c

c) Chứng minh đượcOAEF OB; DF OC; ED

0,5

BC AD

R

0,5

0,5

0,5

Chu vi t m giác DEF ớn nhất khi v chỉ khi AD ớn nhất; AD ớn nhất

5

P

M

Với các ố dương x, y t cóx y 2

y  x   uôn đúng, dấu ằng xảy r khi v chỉ khi x = y

0,25

Áp dụng t có:

P

2+2+2 - 3 9

2  2

Dấu ằng xảy r khi v chỉ khi = = c

Kết uận :giá trị nhỏ nhất củ

P

2abc c ab a bc b ca

ằng 9

2 khi a = b = c

0,5

0,25

Đính chính :Câu 5: P≥