PHÒNG GD VÀ ĐTHUYỆN THIỆU HÓA (Đề thi gồm có 01 trang)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2015 2016Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015 Hết PHÒNG GD VÀ ĐTHUYỆN THIỆU HÓA HƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2015 2016Môn: Toán.CâuNội dungĐiểmCâu 14,0 đa. (2,0đ)ĐKXĐ 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,0đ)Với A = 8 (thỏa mãn đk)Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8.0,25 đ0,25 đ0,5 đc.(1,0đ)Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn điều kiện)Vậy GTNN của A = 4 khi x = 4.0,5 đ0,5 đCâu 23,0 đa.(1,5đ)Vì đường thẳng (d): y = (a 3)x + b song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên: a 3 = 2 và b 1 => a = 1; b 1Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x 3 là M(2;5)Vì (d): y = 2x + b đi qua M(2;5) => b = 9 (thỏa mãn)Vậy a = 1; b = 9.0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,5đ)+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm.+ Trường hợp xyz 0: = + Vậy các cặp số (x; y; z) cần tìm là (x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = ( )0,5 đ0,75 đ0,25 đCâu 34,0 đa.(2,0đ) Ta có: Tương tự: 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(2,0đ)+ Trước hết, chứng minh (x + 1) và (x + 1) nguyên tố cùng nhau: Gọi d = ƯCLN (x + 1, x + 1) => d phải là số lẻ (vì 2y + 1 lẻ) 2 mà d lẻ nên d = 1.+ Nên muốn (x + 1)(x + 1) là số chính phương Thì (x + 1) và (x + 1) đều phải là số chính phương Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc + Với x = 0 thì (2y + 1) = 1 y = 0 hoặc y = 1 (Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) 0,25 đ0,25 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 45,0 đ a.(2,0đ)Gọi Q là giao điểm của AB với OM.Ta có AMCE (cùng vuông góc với AC) (so le trong) Mà ; và (Dễ chứng minh).Suy ra = (cùng phụ với hai góc bằng nhau) tan BCE = tan OMB (1)Lại có (cùng phụ với góc ABO)Nên ( cùng = 900 + ) (2) Từ (1) và (2) suy ra (c.g.c).0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,5đ)Từ Gọi I và N lần lượt là giao điểm của OE với BC và MC. (g.g) Mà => . Vậy CM OE0,5 đ0,5 đ0,5 đc.(1,5đ)Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. P là giao điểm của AB với OH Ta có (.g.g) => QO. OM = OP. OH = OA2 = R2 Mà O và d cố định => OH không đổi => OP không đổi Lại có : AB = 2AQ = 2 mà OQ OP (K.đổi)Dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của AB = 0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 52,0 đ(2,0đ) Vẽ tam giác đều CMNTa có: BC = AC; CN = CM; BCN = ACM (Vì đều có tổng với MCB bằng 600)Do đó BCN = ACM (c.g.c) Suy ra BN = BM Theo giả thiết: vuông tại M (Định lý Pitago). 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 62,0 đTừ x + y + z = 1 (x + y + z)3 = 1Mà: x3 + y3 + z3 = 1 (x + y + z)3 x3 y3 z3 = 0 Nếu Nếu Nếu 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đLưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết PHÒNG GDĐT THÀNH PHỐ THANH HÓAĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015 2016MÔN: TOÁN LỚP 9Thời gian làm bài: 150 phútBài 1: (4,0 điểm) Cho P = + 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 12. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhấtBài 2: (4,0 điểm)1. Giải phương trình = 42. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 3: (4,0 điểm)1. Cho a = x + ; b = y + , c = xy + Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 ) < 2(x3 )Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC.Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = .Hãy tìm GTNN của P = + PHÒNG GD VÀ ĐTHUYỆN THIỆU HÓA (Đề thi gồm có 01 trang)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2015 2016Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015 Hết PHÒNG GD VÀ ĐTHUYỆN THIỆU HÓA HƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2015 2016Môn: Toán.CâuNội dungĐiểmCâu 14,0 đa. (2,0đ)ĐKXĐ 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,0đ)Với A = 8 (thỏa mãn đk)Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8.0,25 đ0,25 đ0,5 đc.(1,0đ)Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn điều kiện)Vậy GTNN của A = 4 khi x = 4.0,5 đ0,5 đCâu 23,0 đa.(1,5đ)Vì đường thẳng (d): y = (a 3)x + b song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên: a 3 = 2 và b 1 => a = 1; b 1Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x 3 là M(2;5)Vì (d): y = 2x + b đi qua M(2;5) => b = 9 (thỏa mãn)Vậy a = 1; b = 9.0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,5đ)+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm.+ Trường hợp xyz 0: = + Vậy các cặp số (x; y; z) cần tìm là (x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = ( )0,5 đ0,75 đ0,25 đCâu 34,0 đa.(2,0đ) Ta có: Tương tự: 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(2,0đ)+ Trước hết, chứng minh (x + 1) và (x + 1) nguyên tố cùng nhau: Gọi d = ƯCLN (x + 1, x + 1) => d phải là số lẻ (vì 2y + 1 lẻ) 2 mà d lẻ nên d = 1.+ Nên muốn (x + 1)(x + 1) là số chính phương Thì (x + 1) và (x + 1) đều phải là số chính phương Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc + Với x = 0 thì (2y + 1) = 1 y = 0 hoặc y = 1 (Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) 0,25 đ0,25 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 45,0 đ a.(2,0đ)Gọi Q là giao điểm của AB với OM.Ta có AMCE (cùng vuông góc với AC) (so le trong) Mà ; và (Dễ chứng minh).Suy ra = (cùng phụ với hai góc bằng nhau) tan BCE = tan OMB (1)Lại có (cùng phụ với góc ABO)Nên ( cùng = 900 + ) (2) Từ (1) và (2) suy ra (c.g.c).0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,5đ)Từ Gọi I và N lần lượt là giao điểm của OE với BC và MC. (g.g) Mà => . Vậy CM OE0,5 đ0,5 đ0,5 đc.(1,5đ)Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. P là giao điểm của AB với OH Ta có (.g.g) => QO. OM = OP. OH = OA2 = R2 Mà O và d cố định => OH không đổi => OP không đổi Lại có : AB = 2AQ = 2 mà OQ OP (K.đổi)Dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của AB = 0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 52,0 đ(2,0đ) Vẽ tam giác đều CMNTa có: BC = AC; CN = CM; BCN = ACM (Vì đều có tổng với MCB bằng 600)Do đó BCN = ACM (c.g.c) Suy ra BN = BM Theo giả thiết: vuông tại M (Định lý Pitago). 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 62,0 đTừ x + y + z = 1 (x + y + z)3 = 1Mà: x3 + y3 + z3 = 1 (x + y + z)3 x3 y3 z3 = 0 Nếu Nếu Nếu 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đLưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết PHÒNG GDĐT THÀNH PHỐ THANH HÓAĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015 2016MÔN: TOÁN LỚP 9Thời gian làm bài: 150 phútBài 1: (4,0 điểm) Cho P = + 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 12. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhấtBài 2: (4,0 điểm)1. Giải phương trình = 42. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 3: (4,0 điểm)1. Cho a = x + ; b = y + , c = xy + Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 ) < 2(x3 )Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC.Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = .Hãy tìm GTNN của P = +
Trang 1PHÒNG GD VÀ ĐT
HUYỆN THIỆU HÓA
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015
A
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x biết A = 8;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Câu 2: (3,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của a, b sao cho đồ thị hàm số y = (a – 3)x + b song song với đường thẳng y = –2x + 1 đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = 5x + 5 và
y = x – 3
b) Tìm ; ;x y z thỏa mãn
xz z
x
yz z
y
xy y
x
5 ) ( 4
4 ) ( 3
3 ) ( 2
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc Tính 4 giá trị của biểu thức: A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + 1)(x2+ 1) = (2y + 1)2
Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung
với đường tròn Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt
AB tại E
a) Chứng minh BCM đồng dạng với BEO ;
b) Chứng minh CM vuông góc với OE;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài dây AB
Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho
AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC
Câu 6 (2,0 điểm) Cho: x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 Tính A = x2015 + y2015 + z2015
- Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HUYỆN THIỆU HÓA
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
.
a
(2,0đ)
ĐKXĐ x 0 ,x 9
3
3 1
) 3 ( 2 ) 3 )(
1 (
3
x
x x
x x
x
x x A
) 1 )(
3 (
) 1 )(
3 ( ) 3 ( 2
x x
x x
x x
x A
) 1 )(
3 (
3 4 18
12 2 3
x x
x x x
x x
x A
1
8 )
1 )(
3 (
) 3 )(
8 ( ) 1 )(
3 (
24 8
3
x
x x
x
x x
x x
x x x x A
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,0đ)
Với x 0 ,x 9
A = 8 8
1
8
x
x
x 8 8 x 8 x 8 x 0
0 ) 8 (
8 0
x x
64
x x
(thỏa mãn đk) Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8
0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ
c.
(1,0đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
4 1
) 1 ( 4 1
4 4 1
4 4 1
8
x
x x
x x
x x
x A
Dấu “=” xảy ra x 4 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy GTNN của A = 4 khi x = 4
0,5 đ 0,5 đ
a.
(1,5đ)
Vì đường thẳng (d): y = (a 3)x + b song song với đường thẳng y = -2x + 1 nên:
a - 3 = -2 và b 1 => a = 1; b 1 Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x - 3 là M(-2;-5)
Vì (d): y = -2x + b đi qua M(-2;-5) => b = -9 (thỏa mãn) Vậy a = 1; b = -9
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,5đ)
+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai
số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm
+ Trường hợp xyz 0:
0,5 đ
Trang 3
xz z
x
yz z
y
xy y
x
5 )
( 4
4 )
( 3
3 )
( 2
4 1
1
3 1
1
2
x z
z y
y x
z y x
1 1 1
= 2449
2 4 13 1
2 4 1
2 4 17 1
z y x
13
2 4 19
1 7
z y x
+ Vậy các cặp số (x; y; z) cần tìm là
(x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = ( ;1324
19
24
; 17
24
)
0,75 đ
0,25 đ
a.
(2,0đ) A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc
Ta có:
(4 )(4 ) (16 4 4 )
2
a a bc a a bc a abc
Tương tự:
(4 )(4 ) 2 , (4 )(4 ) 2
A a b c abc abc a b c abc
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
b.
(2,0đ) + Trước hết, chứng minh (x + 1) và (x2+ 1) nguyên tố cùng nhau:
Gọi d = ƯCLN (x + 1, x2+ 1) => d phải là số lẻ (vì 2y + 1 lẻ)
2 1
1
2
1
x x d
1
2 d mà d lẻ nên d = 1
+ Nên muốn (x + 1)(x2+ 1) là số chính phương
Thì (x + 1) và (x2+ 1) đều phải là số chính phương
Đặt:
2
1 1
x k
x t
(k + x)(k – x) = 1 1
0
k x
hoặc k x01
+ Với x = 0 thì (2y + 1)2= 1 y = 0 hoặc y = - 1 (Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) (0; 0); (0; 1)
0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Trang 4d
N
H
P
I
E
C
B M
O A
a.
(2,0đ)
Gọi Q là giao điểm của AB với OM
Ta có AM//CE (cùng vuông góc với AC) BEC MAB (so le
trong)
Mà ABC 90 0; AQM 90 0 và AMO OMB(Dễ chứng minh)
Suy ra AMO OMB=BCE (cùng phụ với hai góc bằng nhau)
tan BCE = tan OMB
MB
OB BC
BE
BE
OB BC
MB
(1) Lại có MBA OBC (cùng phụ với góc ABO)
Nên MBC OBE( cùng = 900 + OBC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MBC OBE (c.g.c)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,5đ) Từ
MBC
OBE BCM BEO
Gọi I và N lần lượt là giao điểm của OE với BC và MC
BIE
NIC (g.g) IBE INC
Mà IBE 90 0 => INC 90 0 Vậy CM OE
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
c.
(1,5đ)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d P là giao điểm của AB
với OH
Ta có OQP OHM (.g.g) =>OQ OP
OH OM
QO OM = OP OH = OA2 = R2
2
R OP
OH
Mà O và d cố định => OH không đổi => OP không đổi
Lại có : AB = 2AQ = 2 0A2 OQ2 mà OQ OP
4
2
Dấu “=” xảy ra Q P M H
Vậy GTNN của AB = 2R OH2 R2
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Trang 5(2,0đ) * Vẽ tam giác đều CMN
Ta có: BC = AC;
CN = CM;
BCN = ACM (Vì đều có tổng với MCB bằng 600)
Do đó BCN = ACM (c.g.c) Suy ra BN = BM
* Theo giả thiết: AM2 BM2 CM2 BN2 BM2MN2
BMN
vuông tại M (Định lý Pitago)
90 0 60 0 150 0
BMC BMN NMC
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Từ x + y + z = 1 (x + y + z)3 = 1
Mà: x3 + y3 + z3 = 1 (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 0
0
0
x y x 2 y2 z2 2xy 2yz 2xz+xz yz z2 z2 x2 xy y2 0
2
0 0 0
x y y z x z
* Nếu x y z 1 A x 2015 y2015z2015 1
* Nếu y z x 1 A x 2015 y2015z2015 1
* Nếu x z y 1 A x 2015 y2015z2015 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Hết
Trang 6-PHÒNG GD&ĐT
THÀNH PHỐ THANH HÓA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho P =
2 3
2 2
x x x
x x x x
+
2 3
2 2
x x x
x x x x
1 Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P > 1
2 Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
Bài 2: (4,0 điểm)
1 Giải phương trình x5 33x3x2x1 = 4
2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 3: (4,0 điểm)
1 Cho a = x +
x
1 ; b = y + 1y , c = xy + xy1 Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc
2 Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có 3(x2 - 2
1
x ) < 2(x3 - 3
1
x )
Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD Gọi I, Q, H, P lần lượt là
trung điểm của AB, AC, CD, BD
1 Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau
2 Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng
Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao
AH dài 36cm Tính độ dài BD, DC
Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = 49
Hãy tìm GTNN của P = 1 a 4 + 1 b 4
Trang 7
-Hết -PHÒNG GD&ĐT
THÀNH PHỐ THANH HÓA
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài Câ
u
1
1
Điều kiện x > 0; x 1; 4
P = ( 2 )( 1 ) 2
) 1 )(
1 )(
2 (
x x
x x
x
+ ( 2 )( 1 ) 2
) 1 )(
1 )(
2 (
x x
x x
x
=
1
1
x
x
+
1
1
x x
= 2( 11)
x x
P > 1
1
) 1 ( 2
x
x
> 1
1
) 1 ( 2
x
x
- 1 > 0
1
1 2
2
x
x x
> 0
1
3
x
x > 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
x – 1 > 0 x > 1 Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4 Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
2 P =
1
) 1 ( 2
x
x
= 2 + 41
x Với x > 0; x 1; 4
P nguyên x – 1 là ước của 4
P đạt giá trị nguyên lớn nhất x – 1 = 1 x = 2 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2
0,5 0,5 0,5
2
1
Điều kiện x – 3 + 3 2x 0 Phương trình tương đương
5
3x - x 1 - 4 2x 3 - 4x + 12 = 0 (*) Xét x < - 23 Thì (*) - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x +
12 = 0
2x = -28
x = - 14 (Thỏa mãn đk)
0,25 0,5
0,25
Trang 8Xét -23 ≤ x < 1 Thì (*)
- 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
x = 72 (Thỏa mãn đk)
Xét 1 ≤ x < 35 Thì (*)
- 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
x = 83 (loại)
Xét x ≥ 35 Thì (*) 3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 =
0
x = -52 (Loại)
Vậy phương trình có nghiệm x
7
2
; 14
0,25
0,25
0,25 0,25
2
Ta có x2 + xy + y2 = x2y2
(x + y)2 = xy(xy + 1)
+ Nếu x + y = 0 xy(xy + 1) = 0
1
0
xy xy
Với xy = 0 Kết hợp với x + y = 0 x = y = 0
Với xy = -1 Kết hợp với x + y = 0
1 1
y x
hoặc
1 1
y
x
+ Nếu x + y 0 (x + y)2 là số chính phương
xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng
nguyên tố cùng nhau Do đó không thể cùng là số chính
phương
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1;
-1); (-1; 1)
0,5 0,5 0,5
0,5
1
a2 = x2 + 2
1
x + 2
b2 = y2 + 2
1
y + 2
c2 = x2y2 + 2 2
1
y
x + 2
0,5
Trang 9ab = (x + 1x )(y + 1y ) = xy + xy1 + y x + x y = c + x y + x y
abc = (c + x y + x y ).c
= c2 + c( x y +
x
y
)
= c2 + (xy + xy1 )( y x + x y )
= c2 + x2 + y2 + 2
1
y + 12
x
= a2 – 2 + b2 – 2 + c2
A = a2 + b2 + c2 – abc = 4
0,5 0,5 0,5
2
3(x2 - 2
1
x ) < 2(x3 - 3
1
x )
3(x - 1x )(x + 1x ) < 2(x - 1x )(x2 + 2
1
x + 1)
3(x + 1x ) < 2(x2 + 12
x + 1) (1) ( Vì x > 1 nên x - 1x > 0)
Đặt x + 1x = t thì x2 + 2
1
x = t2 – 2
Ta có (1) 2t2 – 3t – 2 > 0
(t – 2)(2t + 1) > 0 (2)
Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0 x2 + 1 > 2x x + 1x > 2 hay t >
2
(2) đúng Suy ra điều phải chứng minh
0,5
1,0 0,5
4
1
Q P
H I
D
C B
A
Trang 10IP = HQ; IP//HQ (Tính chất đường trung bình) và AD = BC
(GT)
IPHQ là h.b.h
Có IP = IQ = 21 AD = 21 BC nên IPHQ là hình thoi
Gọi P1; Q1 là giao điểm của PQ với AD và BC
Nhận thấy ∆ HPQ cân đỉnh H
HPQ = HQP (Góc ở đáy tam giác cân) (1)
Mà PH // BC BQ1P = HPQ (So le trong) (2)
QH // AD AP1P = HQP (So le trong) (3)
Từ (1); (2); (3) Suy ra AP1P = BQ1P ( đpcm)
0,5 0,5
0,5 0,5
2
Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của EF, DF, CE
Từ giả thiết ∆ ADE = ∆ BCF và dựa vào tính chất của đường
trung bình trong tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c)
Suy ra MHP = NHQ MHQ = NHP MHN và PHQ có
cùng tia phân giác
Mặt khác dễ có IPHQ và KMHN là các hình thoi
Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của MHN và PHQ
Suy ra H, I, K thẳng hàng
0,5
0,5 0,5 0,5
k
n m
F E
Q P
H I
D
C B
A
Trang 11Đặt BD = x, DC = y Giả sử x < y Pitago trong tam giác
vuông AHD ta tính được HD = 27cm Vẽ tia phân giác của
góc ngoài tại A, cắt BC ở E Ta có AE AD nên AD2 =
DE.DH Suy ra
DE =
DH
AD2
= 27
45 2
= 75cm Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác
DC
DB
= EC EB y x = 7575 x y (1) Mặt khác x + y = 40 (2)
Thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn được
x2 – 115x + 1500 = 0 (x – 15)(x – 100) = 0
Do x < 40 nên x = 15, từ đó y = 25
Vậy DB = 15cm, DC = 25cm
0,5
0,5
0,5 0,5
6
Áp dụng Bunhiacopski cho hai dãy a2; 1 và 1; 4 ta có
(12 + 42)(a4 + 1) ≥ (a2 + 4)2
1 a 4 ≥
17
4
2
a
(1)
Dấu “=” xảy ra a =
2 1
Áp dụng Bunhiacopski cho b2; 1 và 1; 4 ta có
17(b4 + 1) ≥ (b2 + 4)2 4 1
b ≥
17
4
2
b
(2) Dấu “=” xảy ra b = 21
Từ (1) và (2) P ≥
17
8
2 2
b a
()
0,5
0,5
Trang 12Mặt khác theo giả thiết (1 + a)(1 + b) = 94 a + b + ab =
4 5
Áp dụng Côsi ta có:
a a2 + 41
b b2 + 14
ab
2
2
a
Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được
) (
2
3 2 2
b
a + 21 ≥ a + b + ab = 45
a2 + b2 ≥ ( 45 - 21 ): 23 = 21 Thay vào ()
P ≥
17
8 2
1
= 2 17
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
2
17 khi a = b = 21
0,5
0,5
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương
- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm
Trang 13PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BÙ ĐĂNG
KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2015 - 2016 Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1(5,0 điểm):
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A;
b) Tính giá trị của A, biết
2 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình:
Bài 2(5,0 điểm):
1 Giải hệ phương trình:
2 Cho phương trình
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm
Bài 3(5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H (
1 Chứng minh tứ giác ; nội tiếp
2 Chứng minh
3 Chứng minh KA là phân giác của góc
4 Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE Chứng minh: OA//MN
Bài 4(2,0 điểm):
Cho tứ giác lồi có và không song song với nhau Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh và Chứng minh rằng:
Bài 5(3,0 điểm):
1 Cho a, b, c các số nguyên dương Chứng minh chia hết cho 6
2 Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hết
Trang 14-PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
VĨNH YÊN
ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn Toán
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
-Câu 1: (3,5 điểm)
tính giá trị của biểu thức khi
b Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm Hãy vẽ các điểm
và tính diện tích tam giác
Câu 2: (1,5 điểm)
a Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn
b Cho các số nguyên tố và số nguyên dương thỏa mãn phương trình
Tìm tất cả các bộ số
Câu 3: (1,0 điểm) Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
a b
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hai đường tròn và ( ) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đã cho (
và ) Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm
a Chứng minh rằng tam giác là tam giác vuông
b Tính độ dài đoạn thẳng theo
c Đường tròn tiếp xúc ngoài với và lần lượt tại Chứng minh rằng thẳng hàng
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: