093 đề HSG toán 9 vĩnh phúc 2015 2016

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm H H không trùng với C a Chứng minh rằng ADC  EBC và ba điểm A, H, E thẳng hàng b Xác định vị t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức A x 4 1 : 1 2 x 5

      

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình :      2

x 1 x 2 x 6 x 3      45x b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn :  2  y

x x    x 1 4  1

Câu 3 (1,0 điểm)

Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x 2y   1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

H  x  y  xy    x y 2

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn AB sao cho

3

0 AC AB;

4

  tia Cx vuông góc với AB tại C Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân

biệt sao cho CE CA 3

CB  CD  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm H (H không trùng với C)

a) Chứng minh rằng ADC  EBC và ba điểm A, H, E thẳng hàng

b) Xác định vị trí của C để HC  AD

c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một

điểm cố định

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x    y z 2. Chứng minh rằng

x 2y z    2 x 2 y 2 z   

Câu 6

Trên mặt phẳng cho 5 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng

hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn Chứng minh rằng tồn

tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có

đúng một điểm nằm bên trong đường tròn

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 VĨNH PHÚC NĂM 2015-2016 Câu 1

a) Điều kiện



 



Ta có: 2 x 3  x 3 2

b) Để x, A thì 2  x là ước của 2 Suy ra 2  x nhận các giá trị   1; 2

Câu 2

a) Phương trình tương đương: 2 2 2

(x  7x 6).(x   5x 6)   45x Nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình

Phương trình đã cho tương đương với x 6 5 x 6 7 45

      

Đặt t x 6 1,

x

   ta được 2

t  81 0     t 9

Với t = 9 , ta có 6 2

x 8 0 x 8x 6 0 x 4 10 x

          Với t = - 9 ta có 6 2

x 10 0 x 10x 6 0 x 5 19 x

           Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x   4 10;x    5 19

b)  2  y    2  y

x x    x 1 4   1 x 1 x    1 4

Do x, y   x, y  0

Nếu x= 0 thì y=0 suy ra (0;0) là nghiệm của phương trình đã cho

Nếu x > 0     y 0 x 1 chẵn , đặt x  2k 1, k   0

Khi đó    2  y 1

k 1 2k   2k 1   4 

Do 2

2k  2k 1  là số lẻ, suy ra k = 0 nên x= 1; y=1

Suy ra (1;1) là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm (x;y) là (0;0) và (1;1)

Câu 3

Do x, y  và 3x + 2y = 1 suy ra x, y trái dấu

Khi đó 2

H     t 3t t 1

Nếu  2

t     0 H t 1    2 2, dấu “=” xảy ra khi t = 1

Nếu t <0 2

H t 4t 1 1 2

       

Vậy GTNN của H là – 2 khi t 1 x 1

 



Câu 4

I

H

D

E

a) Từ giả thiết, có: CE > CD; CE CA 0

3 ;DCA BCE 90

CB  CD    Suy ra hai tam giác Adc, EBC đồng dạng , suy ra ADC  EBC (1)

Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy ra AHC  ADC (2)

Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra 0

EBC CHE 180 (3)  

Từ (1) (2) (3) suy ra 0

tan ADC 3 ADC 60 EBC 60

CD

AD  HC  ACH  ADC  60

Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra 0

Suy ra  ABE đều nên C là trung điểm AB

c) Do 0

AHB  90 nên H thuộc đường tròn đường kính AB cố định

Kéo dài HC cắt đường tròn đường kính AB tai điểm thứ hai I (I khác H) Suy ra 0

AHI  60 nên I cố định Vậy HC luôn đi qua I cố định khi C thay đổi trên đoạn AB

Câu 5

Đặt x   y 2a ;y z   2b; z   x 2c  a, b,c  0;a    b c 2

Bất đẳng thức trở thành a   b 4abc

Ta có: 2     a b c 2 a  b c Dấu “=” xảy ra khi a+b=c

1 a b c a b a b c 4abc

Dấu “=” xảy ra





Vậy x 2y z    2 x 2 y 2 z    

Dấu “=” xảy ra

   



 









   



Câu 6

Từ 5 điểm có 4+3+2+1=10 đoạn thẳng tạo thành Do đó có ít nhất một đoạn thẳng

có độ dài nhỏ nhất Giả sử 5 điểm A, B, C, D, E và hai điểm A, B có độ dài AB nhỏ nhất Khi đó 3 điểm C, D, E còn lại có hai khả năng sau:

TH1: cả ba điểm này nằm cùng phía trong nửa mặt phẳng bờ AB

Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C, D, E nhìn AB với các góc nhọn khác nhau Giả sử ACB  ADB  AEB khi đó đường tròn đi qua 3 điểm A,

B, D chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài

TH2: có một điểm khác phía hai điểm kac sở hai nửa mặt phẳng bờ AB Giả sử E khác phía hai điểm C, D

D

C

E

A

C

E B

D

Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C, D nhìn AB với các góc nhọn khác nhau Giả sử ACB  ADB, khi đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, D chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài

Vậy luôn có một đường tròn thỏa mãn điều kiện