Giải tích toán học tập 2

Tính chất hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi không thay đổi khita bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên của chuỗi đó.. Nếu chuỗi P∞ n=1 unbán hội tụ thì có thể thay đổi thứ tự các số hạng

PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH

NGUYỄN XUÂN HUY

gI¶I TÝCH TO¸N HäC

TËP 2

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Lời nói đầu 7

Chương 1 Lý thuyết chuỗi 9 1.1 Chuỗi số 9

1.1.1 Khái niệm chuỗi số 9

1.1.2 Phần dư của một chuỗi số 10

1.1.3 Các tính chất của chuỗi hội tụ 10

1.1.4 Tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ của chuỗi số 11

1.1.5 Chuỗi dương, các dấu hiệu hội tụ 12

1.1.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 17

1.1.7 Chuỗi đan dấu, dấu hiệu Leibnitz 17

1.1.8 Một số tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối 18

1.2 Dãy hàm 19

1.2.1 Sự hội tụ điểm và sự hội tụ đều của dãy hàm 19

1.2.2 Điều kiện hội tụ đều của một dãy hàm 20

1.2.3 Các tính chất của dãy hàm hội tụ đều 21

1.3 Chuỗi hàm 24

1.3.1 Miền hội tụ của chuỗi hàm 24

1.3.2 Điều kiện hội tụ đều của một chuỗi hàm 25

1.3.3 Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 26

1.4 Chuỗi lũy thừa 27

1.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa 27

1.4.2 Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa 27

1.4.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa 29

3

1.4.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 30

1.5 Chuỗi Fourier 32

1.5.1 Chuỗi lượng giác 32

1.5.2 Chuỗi Fourier 33

1.5.3 Biểu diễn hàm số thành chuỗi Fourier 34

1.6 Bài tập chương 1 38

Chương 2 Hàm số nhiều biến số 41 2.1 Hàm số nhiều biến số 41

2.1.1 Một số khái niệm cơ bản 41

2.1.2 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 43

2.1.3 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số 44

2.2 Đạo hàm của hàm số nhiều biến số 47

2.2.1 Định nghĩa đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến 47

2.2.2 Đạo hàm theo hướng 50

2.2.3 Đạo hàm hàm hợp 51

2.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 53

2.2.5 Cực trị của hàm nhiều biến 56

2.3 Bài tập chương 2 61

Chương 3 Tích phân bội 65 3.1 Tích phân hai lớp 65

3.1.1 Tích phân hai lớp trên hình chữ nhật đóng 65

3.1.2 Tích phân hai lớp trên một tập bị chặn 68

3.1.3 Các tính chất cơ bản của tích phân hai lớp 68

3.1.4 Cách tính tích phân hai lớp 69

3.1.5 Đổi biến trong tích phân hai lớp 75

3.2 Tích phân ba lớp 77

3.2.1 Định nghĩa tích phân ba lớp 77

3.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân ba lớp 78

3.2.3 Cách tính tích phân ba lớp 79

3.2.4 Đổi biến trong tích phân ba lớp 80

3.3 Các ứng dụng của tích phân bội 84

3.3.1 Tính thể tích vật thể 84

3.3.2 Tính diện tích hình phẳng 86

3.3.3 Tính diện tích mặt cong 86

3.4 Bài tập chương 3 88

Chương 4 Tích phân đường 91 4.1 Tích phân đường loại 1 91

4.1.1 Đường cong lớp C1 91

4.1.2 Tích phân đường loại 1 92

4.1.3 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại 1 92

4.2 Tích phân đường loại 2 94

4.2.1 Hướng đường cong và định nghĩa tích phân đường loại 2 94 4.2.2 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại hai 95

4.3 Công thức Green Định lý 4 mệnh đề tương đương 97

4.4 Bài tập chương 4 105

Chương 5 Tích phân mặt 109 5.1 Tích phân mặt loại 1 109

5.1.1 Mặt cong 109

5.1.2 Định nghĩa tích phân mặt loại 1 110

5.1.3 Sự tồn tại và cách tính tích phân mặt loại 1 110

5.1.4 Công thức Stokes và Ostrogradsky - Gauss 112

5.2 Bài tập chương 5 117

Bộ Giáo trình Giải tích Toán học nầy gồm 3 tập, được biên soạn bởi tậpthể tác giả: TS Phạm Quang Trình, Ths Nguyễn Xuân Huy, Ts NguyễnNgọc Anh, dựa theo chương trình khung môn Giải tích Toán học đã được hội

đồng bộ môn của bộ Giáo dục đào tạo thẩm định dùng cho các trường Đạihọc, nhằm đáp ứng yêu cầu đảm bảo chất lượng - hiệu quả đào tạo sinh viêncác trường công nghệ và kĩ thuật đại học

Bộ giáo trình này được biên soạn theo định hướng: Tinh giản, chọn lọcphù hợp với khung thời gian tương ứng dành cho môn học; phù hợp với đốitượng sinh viên ngành công nghệ - kĩ thuật; ưu tiên một cách rõ nét việc vậndụng các kết quả lý thuyết, đồng thời đảm bảo một cách tốt nhất tính khoahọc của hệ thống kiến thức trong chương trình

Tập 1 của bộ giáo trình cung cấp hệ thống kiến thức cơ bản của phép tính

vi phân và phép tính tích phân của hàm số một biến số được giới thiệu trong

Lý thuyết chuỗi

1.1 Chuỗi số

1.1.1 Khái niệm chuỗi số

Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy số thực {un}∞

gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số

Nếu dãy tổng riêng {Sn}∞

n=1 hội tụ và có giới hạn là S khi

của chuỗi, trong trường hợp này ta viết

Ngược lại nếu dãy {Sn}∞

n=1 không hội tụ thì chuỗi số P∞

n=0

un được gọi là chuỗi phân kỳ.

+ Dễ thấy với q = ±1 thì chuỗi trên phân kỳ.

Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi q < 1 Khi đó tổng của nó

c Tính chất hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi không thay đổi khi

ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên của chuỗi đó.

1.1.4 Tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ của chuỗi số

n→∞Sn Do đó lim

n→∞un = 0, định lý được chứng minh.

Chú ý Chiều ngược lại của định lý trên không đúng, xem ví dụ.

> 1

12n + ã ã ã +

12n

Chứng minh Theo định nghĩa, chuỗi P∞

n=1

unhội tụ khi và chỉ khi dãy {Sn}∞

n=1

hội tụ Từ tiêu chuẩn Cauchy đối với dãy số, {Sn}∞

n=1 hội tụ khi và chỉ khivới ∀ε > 0, tồn tại số N0 ∈ N sao cho khi p > q ≥ N0 thì

n=1cũng không bị chặn trên Từ đó chuỗi P∞

n=1

vn

un+1

un = l,ta cã

(Với l = 1, không có kết luận chung cho trường hợp tổng quát).

Chứng minh a Trường hợp l < 1 Giả sử q ∈ (l, 1) Do giả thiếtlim

Do q < 1 nên rõ ràng chuỗi trên hội tụ

b Trong trường hợp l > 1, hoàn toàn tương tự, chọn số q ∈ (1, l) Do giảthiết, tồn tại số nguyên N > 1 sao cho

nên chuỗi đã cho hội tụ.

un hội tụ khi α ≤ 1 và phân kỳ khi α > 1.

Định lí 1.1.8 (Quy tắc Cauchy) Cho chuỗi số dương P∞

n=1

un Giả sửlim

(Với l = 1, không có kết luận chung cho trường hợp tổng quát)

Chứng minh a Nếu l < 1 Chọn số q ∈ (l, 1) Theo giả thiết tồn tại sốnguyên N > 1 sao cho

Do q < 1 nên chuỗi trên hội tụ

Định lí 1.1.9 (Quy tắc so sánh với tích phân) Giả sử f(x) là hàm số liêntục dương, giảm trên [1, +∞) và lim

1

nα héi tô khi α > 1 vµ ph©n kú khi α ≤ 1.

1.1.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối

Định nghĩa 1.1.10 Giả sử chuỗi P∞

n=1

un có dấu bất kỳ Chuỗi trên được gọi

là hội tụ tuyệt đối nếu P∞

n=1

|un|hội tụ

Định lí 1.1.11 Nếu chuỗi P∞

n=1

un hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ

Chứng minh Giả sử chuỗi P∞

n=1

un hội tụ tuyệt đối Khi đó theo tiêu chuẩnCauchy, ∀ε > 0, ∃N0 > 0sao cho ∀p > q > N0 ta có

|uq+1| + |uq+2| + ã ã ã + |up|

Chú ý Chiều ngược lại của định lý trên không đúng.

Định nghĩa 1.1.12 Nếu chuỗi P∞

un được gọi là bán hội tụ

1.1.7 Chuỗi đan dấu, dấu hiệu Leibnitz

Định nghĩa 1.1.13 Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng

±(u1− u2+ u3− u4+ ã ã ã )

n=1 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉkhi dãy tổng riêng hội tụ.

S2m = u1− (u2− u3) − (u4− u5) − ã ã ã − u2m ≤ u1

Do đó tồn tại lim

m→+∞S2m= S ≤ u1.Xét dãy {S2m+1}m, ta có S2m+1 = S2m+ u2m+1 Chuyển qua giới hạn ta

b Nếu chuỗi P∞

n=1

unbán hội tụ thì có thể thay đổi thứ tự các số hạng của

nó để chuỗi nhận được là chuỗi số hội tụ có tổng là một số bất kỳ hoặc chuỗi

1.2 Dãy hàm

1.2.1 Sự hội tụ điểm và sự hội tụ đều của dãy hàm

Định nghĩa 1.2.1 Cho dãy hàm số f1, f2, ã ã ã , fn, ã ã ãxác định trên tập X ⊂

R Điểm x0 ∈ X gọi là điểm hội tụ của dãy hàm trên nếu dãy số {fn(x0)}nhội tụ

Tập tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm {fn}n gọi là tập hợp hội tụ của dãy hàm đó (miền hội tụ).

Định nghĩa 1.2.2 Dãy hàm {fn}n được gọi là hội tụ đến hàm f trên tập Xnếu với ∀x ∈ X, ∀ε > 0, tồn tại N0 = N0(x, ε) > 0sao cho với mọi n > N0

thì

|fn(x) − f (x)| < ε

Ký hiệu fn→ f ( lim

n→∞fn = f )

Định nghĩa 1.2.3 Dãy hàm {fn}nđược gọi là hội tụ đều đến hàm f trên tập

X nếu với ∀ε > 0, tồn tại N0 = N0(ε) > 0sao cho với mọi n > N0 thì

Vậy miền hội tụ của dãy hàm đã cho là (−1, 1].

Xét trên nửa đoạn [0, 1), fn → 0 nhưng sự hội tụ này là không

đều trên đoạn đó Thật vậy,

1.2.2 Điều kiện hội tụ đều của một dãy hàm

Định lí 1.2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của dãy hàm) Điều kiệncần và đủ để dãy hàm {fn}n xác định trên tập hợp X hội tụ đều trên X làvới ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N sao cho ∀m, n ≥ N0 ta có

|fm(x) − fn(x)| < ε, ∀x ∈ X

Chứng minh a Điều kiện cần.

Với giả thiết fn⇒ f , với ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N sao cho ∀n ≥ N0 thì

ta có

|fm(x) − fn(x)| < ε, ∀x ∈ X

Cho m → ∞ ta có |fn(x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ X,từ đó suy ra điều phải chứngminh

1.2.3 Các tính chất của dãy hàm hội tụ đều

Định lí 1.2.5 Cho dãy {fn}nliên tục trên khoảng I Nếu fn⇒ f thì f liêntục trên I

Chứng minh Lấy x0 ∈ I, ta chứng minh f liên tục tại x0

Theo định nghĩa liên tục ta cần chứng minh ∀ε > 0, ∃δ > 0, với ∀x thỏa mãn

|x − x0| < δ thì

|f (x) − f (x0)| < ε

+ fn liên tục trên I nên fn liên tục tại x0 Do đó, tồn tại δ > 0, với ∀xthỏa mãn |x − x0| < δ thì

Do đó f liên tục tại x0, định lý được chứng minh

Định lí 1.2.6 Cho dãy {fn}nliên tục trên [a, b] Nếu fn ⇒ f thì ∀x0 ∈ [a, b],

Để chứng minh khẳng định thứ hai ta lấy x0 = a, x = b.

Định lí 1.2.7 Giả sử dãy {fn}n có đạo hàm liên tục trên [a, b], và hội tụ tại

1 điểm x0 ∈ [a, b] Nếu dãy đạo hàm {f0

n}n hội tụ đều trên [a, b] đến hàm gthì dãy {fn}nhội tụ đều đến một hàm số f có đạo hàm liên tục trên [a, b] và

un hội tụ tại mọi x ∈ X thì chuỗi đó hội

tụ trên X hay X là miền hội tụ của chuỗi P∞

Lấy giới hạn hai vế khi n → ∞ ta được R(x) = 0, ∀x Do đó {Sn}n

hội tụ đều, hay chuỗi đã cho hội tụ đều.

1.3.2 Điều kiện hội tụ đều của một chuỗi hàm

Định lí 1.3.3 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm P∞

n=1

un hội tụ đều trên tập

X nếu và chỉ nếu ∀ε > 0, ∃N0 > 0sao cho với ∀m, n > N0, ta có

|Sm(x) − Sn(x)| < ε, ∀x ∈ X

Chứng minh Do sự hội tụ đều của chuỗi hàm tương đương với sự hội tụ đềucủa dãy tổng riêng nên định lý trên suy trực tiếp từ tiêu chuẩn Cauchy đốivới dãy hàm

Định lí 1.3.4 (Tiêu chuẩn Weierstrass) Nếu chuỗi hàm P∞

1.3.3 Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều

Các tính chất sau đây suy trực tiếp từ các tính chất tương ứng

đối với dãy hàm hội tụ đều.

Định lí 1.3.5 Cho chuỗi P∞

n=1

un, unliên tục trên [a, b], ∀n và chuỗi hàm hội

tụ đều đến S trên [a, b] thì S cũng liên tục trên [a, b]

Định lí 1.3.6 Cho chuỗi P∞

n=1

un, unliên tục trên [a, b], ∀n và chuỗi hàm hội

tụ đều đến S trên [a, b] thì

un hội tụ trên (a, b) đến S, un khả vi liên tục trên

(a, b) Khi đó nếu chuỗi P∞

1.4 Chuỗi lũy thừa

1.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

anxn hội tụ tại x0 thì nó hội tụ tuyệt

đối và đều tại mọi x thỏa mãn |x| < |x0|

Chứng minh Theo giả thiết, P∞

Ta có

|anxn0x

n

xn 0

| ≤ M qn(trong đó q = |xn

xn 0

1.4.2 Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa

Nhận xét

+ Với x = 0 thì chuỗi P∞

n=0

anxn hội tụ.

+ Luôn có một số R ∈ [0, +∞) sao cho chuỗi P∞

n=0

anxn hội tụ tuyệt đối trên (−R, R) và phân kỳ trong (−∞, −R) và (R, +∞) + Tại hai đầu mútR, −Rchuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ SốR

như thế gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Khoảng(−R, R)

gọi là khoảng hội tụ.

Định lí 1.4.3 (Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa) Nếulim

Nhận thấy

an+1xn+1

anxn

= l|x1| > 1nghĩa là chuỗi phân kỳ tại điểm x1 Điều này chứng tỏ bán kính hội tụ củachuỗi đã cho là R = 1

l.Nếu l = 0 thì với mọi x0 ∈ R ta có

lim

n→∞

an+1

an x0

= l|x0| = 0

nghĩa là chuỗi hội tụ tại x0 Điều này chứng tỏ bán kính hội tụ của chuỗi đãcho là R = +∞.

Nếu l = +∞ thì với mọi x0 6= 0ta có

lim

n→∞

an+1

an x0

= l|x0| = +∞

nghĩa là chuỗi phân kỳ tại mọi x0 6= 0 Tại x0 = 0 rõ ràng chuỗi hội tụ, do

đó bán kính hội tụ trong trường hợp này là R = 0

Do đó R = 1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối trên (−1, 1).

Dễ thấy với x = 1 chuỗi phân kỳ, với x = −1, chuỗi hội tụ.

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là [−1, 1).

2 Xét chuỗi lũy thừa

Chuỗi hội tụ trên R.

1.4.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa

Tính chất 1 Chuỗi P∞

n=0

anxn hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ của nó.

Các tính chất sau đây suy trực tiếp từ tính chất tương ứng đối với chuỗi hàm nói chung

Tính chất 2 Tổng của chuỗi P∞

cũng có khoảng hội tụ là(−R, R).

Tính chất 4 Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa trên khoảng hội tụ của nó

Chuỗi nhận được sau khi lấy đạo hàm cũng có cùng khoảng hội

tụ với chuỗi ban đầu Nếu tiếp tục áp dụng tính chất 4, ta có thể lấy đạo hàm vô số lần trong khoảng hội tụ của nó.

1.4.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa

Giả sử f (x) có đạo hàm mọi cấp trong (−R, R) Khi đó

n

gọi là khai triển Taylor của hàm f tại x0.

Nếu x0 = 0 thì khai triển trên gọi là khai triển Maclaurin.

k, Rn(x) = f

(n+1)(ξ)(n + 1)! (x − x0)

n+1, với ξ là một điểm nào đó nằm giữa x và x0 Ta có định lý sau

Định lí 1.4.4 Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm x0, hàm số f có

đạo hàm mọi cấp Nếu lim

n→∞Rn(x) = 0 thì có thể khai triển f thành chuỗiTaylor trong lân cận đó

Chứng minh Thật vậy, do lim

n.Trong trường hợp này hàm f được khai triển thành chuỗi Taylor

Chứng minh Thật vậy, ta có

|Rn(x)| = |f(n+1)(ξ)|

(n + 1)! .|x − x0|n+1≤ M

(n + 1)!.|x − x0|n+1

Do chuỗi +∞P

n=1

xnn! hội tụ với mọi x nên xn

(n + 1)!.|x − x0|n+1 → 0khi n → ∞ hay lim

n→∞Rn(x) = 0.Theo định lý 4.1.4 ta có điều phải chứng minh

Ví dụ Xét hàm f (x) = ex, x0 = 0 Dễ thấy f(n)(x) = ex, ∀n Xét trên lân cận (−A, A) bất kỳ của 0, ∀n, ∀x ∈ (−A, A) ta có

xnn! + ã ã ã

Khai triển trên đúng với mọi x ∈ R.

Một số khai triển Maclaurin của các hàm thường gặp.

Số hạng tổng quát un = ancos nx + bnsin nx là hàm tuần hoàn chu

P

n=0

(ancos nx + bnsin nx)

hội tụ tuyệt đối và đều.

Người ta cũng chứng minh được nếu hai dãy {an}, {bn} đơn điệu giảm tới 0 thì chuỗi lượng giác hội tụ tại mọi điểm x 6= k2π.

tồn tại song trong trường hợp này, nói chung f (x) 6= S(x) Ta sẽ tìm điều kiện để biểu thức trên xảy ra dấu bằng.

Định nghĩa 1.5.3 Hàm số f : [a, b] −→ R gọi là liên tục từng khúc trên

đoạn [a, b] nếu có thể chia đoạn [a, b] thành hữu hạn phần bởi các điểm chia

a = x0, x1, ã ã ã , xn= b sao cho

+ Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [xi−1, xi], ∀i = 1, 2, ã ã ã n

+ Hàm số f(x) có giới hạn trái tại xi và giới hạn phải tại xi−1.

Nếu hàm số đơn điệu trên mỗi đoạn[xi−1, xi], ∀i = 1, 2, ã ã ã nthì được gọi là đơn điệu từng khúc.

Định lí 1.5.4 Nếu hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả vi thì chuỗiFourier của nó hội tụ và có tổng bằng f(x)

Định lí 1.5.5 (Dirichlet) Nếu hàm số f : R −→ R tuần hoàn, có chu kỳ 2π

và thỏa mãn một trong hai điều kiện sau

+ Hàm số f(x) liên tục từng khúc và có đạo hàm f0(x)liên tục từng khúc.+ Hàm số f(x) đơn điệu từng khúc và bị chặn

Khi đó chuỗi Fourier của hàm f hội tụ tại mọi điểm và tổng S của nó bằng

f tại mọi điểm mà f liên tục Tại các điểm gián đoạn x0 của f,

S(x) = 1

2(f (x0+ 0) + f (x0− 0))

1.5.3 Biểu diễn hàm số thành chuỗi Fourier

a Chuỗi Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ

b Chuçi Fourier cña hµm tuÇn hoµn cã chu kú kh¸c 2π.

Gi¶ sö f lµ hµm tuÇn hoµn víi chu kú 2L, L 6= π §Æt t = πx

L , vµ xÐt

c Chuỗi Fourier của một hàm bất kỳ xác định trên [a, b].

Giả sử a = 0, ta có thể khai triển hàm f theo các cách sau.

Cách 1 Mở rộng hàm f xác định trên R và tuần hoàn với chu

kỳ b Khai triển Fourier của hàm mở rộng như phần b và hạn chế chuỗi nhận được trên đoạn [a, b] ta có khai triển cần tìm.

Cách 2 Mở rộng hàm f thành hàm chẵn f trên đoạn [−b, b], trong đó f (x) = f (−x), ∀ ∈ [−b, 0) Khai triển chuỗi Fourier của hàm f theo cách 1 và hạn chế chuỗi nhận được trên đoạn [0, b] ta

có chuỗi cần tìm.

Cách 3 Mở rộng hàmf thành hàm lẻ f trên đoạn[−b, b], trong

đó f (x) = −f (−x), ∀ ∈ [−b, 0) Khai triển chuỗi Fourier của hàm f

theo cách 1 và hạn chế chuỗi nhận được trên đoạn[0, b]ta có chuỗi cần tìm.

Ví dụ Khai triển Fourier hàm số f (x) = x2 xác định trên đoạn

1 .2 Dãy hàm

1 .2. 1 Sự hội tụ điểm hội tụ dãy hàm

Định nghĩa 1 .2. 1 Cho dãy hàm số f1, f2< /sub>, ã ã ã , fn, ã ã ãxác định tập X ⊂...

m→+∞S2m= S ≤ u1.Xét dãy {S2m+1}m, ta có S2m+1 = S2m+ u2m+1 Chuyển qua giới hạn ta

b Nếu chuỗi P∞... tụ.

S2m = u1− (u2< /sub>− u3) − (u4− u5) − ã ã ã − u2m ≤ u1

Do tồn lim

m→+∞S2m=