Chương 1 giải tích toán học tập hợp và số thực

Trong lý thuyết số vô tỉ người ta chứng minh được rằng với hai số thực bất kì α β, trong đó α < β luôn luôn tìm được một số thực và đặc biệt một số hữu tỉ r nằm giữa hai số đó và thành t

Giải tích toán học Tập 1 NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả Mục lục

Chương 1 Tập hợp và số thực 2

1.1 Khái niệm về tập hợp 2

1.2 Số thực 4

1.3 Ánh xạ 9

1.4 Bài tập chương 1 11

Chương 1 Tập hợp và số thực

Lê Văn Trực

Chương 1

Tập hợp và số thực

1.1 Khái niệm về tập hợp

1.1.1 Tập hợp

Cho tập hợp M, để chỉ x là phần tử của tập M ta viết x M∈ (đọc là x thuộc M), để chỉ x

không phải là phần tử của tập M ta viết x M∉ (đọc là x không thuộc M)

Tập hợp M chỉ có một phần tử a, kí hiệu là { } a

Tập hợp M không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅

Cho hai tập A và B Nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B ta nói rằng A là tập con

của B và ta viết A⊆B

Nếu A là tập con của B và A B ta nói rằng A là tập hợp con thực sự của tập hợp B và ≠ viết là A⊂B Trong trường hợp này tồn tại ít nhất một phần tử trong B mà không phải là

phần tử của A Ví dụ như tập hợp các số nguyên ] là tập con của tập hợp các số hữu tỷ _

Cho A, B, C là ba tập hợp Khi đó có tính chất sau:

a) ∅ ∈A (1.1.1) )

)

b c

A B B C A C

1.1.2 Một số tập hợp thường gặp

Trong các giáo trình đại số ở trường phổ thông trung học ta đã làm quen với tập hợp các

số tự nhiên `

Để xét nghiệm của phương trình x+n = 0 trong đó n∈ ` ta đưa thêm tập các số nguyên ] :

{0, 1, 2, , , }

Để xét nghiệm của phương trình mx + n = 0 trong đó , m n ] ta đưa thêm tập các số hữu ∈

tỷ _

| , 0,

m

n

Ta đã biết bốn phép toán cơ sở (cộng, trừ, nhân, chia) của số hữu tỷ và cách sắp xếp

chúng theo độ lớn (nếu a, b là hai số hữu tỷ, thì một trong chúng bé hơn số thứ hai) Tổng

a+b, hiệu a - b, tích a.b, thương a (b 0)

b ≠ của hai số hữu tỷ a,b lại là số hữu tỷ, nhưng với

các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, ta thấy những điều nêu trên không còn

đúng nữa Ví dụ phép lấy căn là phép toán như vậy Ta hãy tìm căn bậc hai của số 2, tức là

tìm một số x mà bình phương của nó bằng 2 Ta khẳng định rằng không có số hữu tỷ nào mà

bình phương của nó bằng 2 Giả sử rằng số hữu tỷ x như vậy tồn tại, ta có thể viết dưới dạng

phân số tối giản p

q , trong đó p và q chỉ có ước số chung là 1± Khi đó 2 2 2

2 =2; 2=

p

nên p2 là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p = 2m, trong đó m là số nguyên, do đó

4m 2 =2q 2 , 2m 2 =q 2 cho nên q 2 là số chẵn và vì thế q là số chẵn Như vậy p,q là các số chẵn,

điều này mâu thuẫn với giả thiết là p,q chỉ có ước chung là 1± Mâu thuẫn nhận được chứng

minh khẳng định trên

Từ nguyên nhân này, trong toán học ta đưa thêm vào những số mới, đó là các số vô tỷ Ví

dụ vể số vô tỷ là 2, 3, lg3, π , sin20o…

Tập các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập các số thực và kí hiệu là \ Như vậy ta

có bao hàm thức:

⊂ ⊂ ⊂

1.1.3 Các phép toán trên tập hợp

a) Hợp A B ∪ của tập hợp A và tập hợp B, đọc là “A hợp B” là tập hợp được định nghĩa

bởi:

A B x x A hoÆc x B (1.1.9)

b) Giao A B ∩ của hai tập hợp A và B, đọc là “A giao B” là tập hợp định nghĩa bởi:

A B∩ = x x A∈ vµ x∈B (1.1.10) c) Hiệu A B| ={ |x x∈A vµ x∉B} (1.1.11)

Ta nói rằng các tập A và B là rời nhau nếu A B∩ = Φ

d) Bổ sung C A B của B trong A ( B⊆ A) là tập hợp định nghĩa bởi

={ | ∈ vµ ∉ }

A

C B x x A x B (1.1.12) Phép giao, hợp và bổ sung có các tính chất sau:

iii) (A∩B) ∪ =C (A∪C) ∩ (B∪C) (1.1.15) iv) (A∩B) ∪ =C (A∩C) ∪ (B∩C) (1.1.16)

vi) C A(B1∪B2) =C B A 1∩C B A 2 (1.1.18)

vii) C A(B1∩B2) =C B A 1∪C B A 2 (1.1.19)

1.1.4 Tích Đề các

Cho hai tập hợp A,B không rỗng Tích Đề các của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A×B là tập hợp các cặp (x,y) trong đó x∈A y, ∈ , đồng thời (x,y)= (a,b) khi và chỉ khi x = a, y = B

b

Như vậy

A ×B ={(x,y)| x∈A y, ∈ } B (1.1.20)

Thay cho A×A ta viết là A2

Ví dụ: {1,2}×{2,3,4} = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)}

Ngoài ra {1,2}2 ={(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)}

1.1.5 Các kí hiệu lôgic

Bây giờ giả sử M là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phần tử của tập M

Nếu phần tử x∈M có tính chất t ta viết t(x) Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần tử của tập

M có tính chất t:

c (t) ={ x∈M |x có tính chất t} (1.1.21) hay

c (t) ={ x∈M |t(x)} (1.1.22) khi đó nếu

c (t) = M thì mọi phần tử của M đều có tính chất t, ta nói rằng “với mọi x∈M , x có tính chất t” và ta

viết ∀ ∈x M : t(x) hay ( )

x M t x

∈

Ký hiệu ∀ gọi là ký hiệu phổ biến

Nếu ( )c t ≠∅ , thì có ít nhất một phần tử x∈M , x có tính chất t” và viết

: ( ) hay ( )

x M

∈

Ký hiệu ∃ gọi là ký hiệu tồn tại

1.2 Số thực

1.2.1 Phép cộng và nhân các số thực

Xét tập hợp các số thực \ Ta có thể xác định phép cộng và nhân hai số thực bất kì a và

b Phép toán cộng cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được ký hiệu là a+b, phép nhân cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được kí hiệu là a.b sao cho thoả mãn các tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c

a) a+b = b+a (tính chất giao hoán),

b) a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp),

c) a.b = b.a (tính chất giao hoán ),

d) a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp),

e) (a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối),

f) Tồn tại duy nhất số 0 sao cho a+0 = a ∀ ∈ \a ,

g) Với mọi a, tồn tại số – a sao cho a + (− a) = 0,

h) Tồn tại duy nhất số 1 0≠ sao cho a.1 = a ∀ ∈ \a ,

i) Với mọi số a≠0, tồn tại số a-1 sao cho a.a-1= 1, số a-1 còn được kí hiệu là 1

a

Chú ý: Số ( − a) và số a-1 nói trong tính chất g) và i) là duy nhất Thật vậy, ví dụ như nếu tồn tại

số b≠− a thoả mãn điều kiện a+b =0, thì a+b+ (− a)= − a, từ đây a+ (− a)+b=− a hay 0+b = −

a và b= − a, mâu thuẫn

1.2.2 So sánh hai số thực a và b

Cho hai số thực bất kì a và b Khi đó chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:

a = b (a bằng b), a > b (a lớn hơn b) hay b > a (b lớn hơn a)

Mệnh đề “=” có tính chất: nếu a=b và b=c thì a=c

Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c

a) Nếu a > b và b > c thì a > c

b) Nếu a > b thì a+c > b+c

c) Nếu a > 0, b > 0 thì ab > 0

Mệnh đề a ≥ b nghĩa là hoặc a=b, hoặc a>b

Các mệnh đề a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b được gọi là các bất đẳng thức Các bất đẳng thức

a < b, a > b được gọi là các bất đẳng thức thực sự

Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a>0 được gọi là số dương

Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a<0 được gọi là số âm

1.2.3 Tính liên tục của tập hợp số thực

Định lí 1.2.1 Giả sử X và Y là hai tập hợp các số thực thoả mãn điều kiện sau:

x ≤ y ∀ ∈x X,∀ ∈ y Y (1.2.1)

Khi đó tồn tại một số c sao cho

≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

x c y x X, y Y (1.2.2) Chú ý rằng chỉ có tập hợp các số thực mới có tính chất này Ví dụ như, giả sử

X = {x hữu tỉ | x < 2} và

Y = {y hữu tỉ | y > 2}

Khi đó đối với mọi x∈X với mọi y Y ∈ thoả mãn x ≤ y, nhưng không tồn tại số hữu tỉ c nào sao cho x c y≤ ≤ Thật vậy, số như vậy chỉ có thể là 2, nhưng 2 không phải là số hữu tỉ

Trong lý thuyết số vô tỉ người ta chứng minh được rằng với hai số thực bất kì α β, trong

đó α < β luôn luôn tìm được một số thực và đặc biệt một số hữu tỉ r nằm giữa hai số đó (và thành thử có một tập vô số các số vô tỉ như vậy nằm giữa α và β)

1.2.4 Cận của tập hợp số

Giả sử M là tập hợp số (tức là tập hợp mà các phần tử của nó là những số thực) Tập hợp

M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực k sao cho

x≤k ∀ ∈x M (1.2.3)

Số k bất kì có tính chất như vậy được gọi là cận trên của tập M Do đó tập hợp M là bị chặn trên nếu có ít nhất một cận trên Nếu tập M có một cận trên thì nó có vô hạn cận trên, bởi

vì nếu số k là cận trên thì bất kì số l nào lớn hơn k là cận trên Một câu hỏi được đặt ra là liệu

có tồn tại số nhỏ nhất trong các cận trên của tập M Số nhỏ nhất như vậy gọi là cận trên đúng của tập M và kí hiệu là sup M

Cận trên đúng của tập M có tính chất sau:

∀ >ε 0, ∃ ∈x M xsao cho > supM -ε

Thật vậy, nếu số x như vậy không tồn tại thì số supM −ε cũng là cận trên và khi đó số

supM không phải là cận trên đúng của tập M Nói một cách khác, tính chất này nói lên supM

là số nhỏ nhất trong số các cận trên của M

Ví dụ 1: Tìm cận trên đúng của tập

{1, , , , , }

2 3

M

n

=

Giải: Ta thấy < 1 ≤ ∀ ∈ `*

0 1 n

n , vì thế tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số 1 là cận trên Ta hãy chứng minh số 1 là cận trên đúng của M Thật vậy ∀ >ε 0, ta phải tìm được số

tự nhiên n sao cho 1 1

n > − Số n này, ví dụ là n = 1 ε

Ví dụ 2: sup(0,1) = sup[0,1] = 1

Bây giờ ta có thể định nghĩa cận trên đúng của tập M một cách khác như sau:

Số supM được gọi là cận trên đúng của tập M bị chặn trên nếu

a) x≤ supM ∀ ∈x M (1.2.4) b) ∀ >ε 0, ∃ ∈x M sao chox >supM -ε (1.2.5)

Tập hợp số M được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số g sao cho

x≥ g ∀ ∈x M (1.2.6)

Mọi số g có tính chất này gọi là cận dưới của tập hợp M Do đó tập M bị chặn dưới, nếu

nó có ít nhất một cận dưới

Số lớn nhất trong các cận dưới của tập M gọi là cận dưới đúng của M và được kí hiệu là inf M

Ví dụ 3: Xét tập M=(a,b)

Hiển nhiên số a và số bất kì bé hơn a là cận dưới của M Hiển nhiên số a là cận dưới đúng của tập M, tức là a= inf M

Tương tự như đối với cận trên đúng, cận dưới đúng có tính chất sau:

∀ ∃ ∈ε, x M sao cho x < inf M +ε (1.2.7)

Ví dụ 4: Xét tập {1, , , ,1 1 1, }

2 3

M

n

=

Ta chứng minh rằng số 0 là cận dưới đúng của tập M

Thật vậy, ∀ >ε 0, ta phải tìm được số tự nhiên n sao cho

< +ε

1

n hay < ⇒ >ε

ε

n

Điều này nghĩa là số 0 là cận dưới đúng của tập M, tức là inf M = 0

Ví dụ 5: inf(0,1) = inf[0,1] = 0

Trong các ví dụ trên, ta thấy sup M, inf M có thể thuộc M, cũng có thể không thuộc M

Định lí 1.2.2 Tập hợp số không rỗng bất kì bị chặn trên (dưới) có cận trên (dưới) đúng

Chứng minh: Giả sử X là tập hợp số không rỗng bị chặn trên Khi đó tập hợp Y các số là cận trên của tập X không rỗng Theo định nghĩa của cận trên suy ra rằng đối với bất kì x∈X

và bất kì y∈Y ta có bất đẳng thức

x≤ y

Dựa vào tính chất liên tục của tập hợp các số thực, tồn tại một số c sao cho

≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

Từ bất đẳng thức thứ nhất trong (1.2.8) suy ra số c chặn trên tập hợp X, từ bất đẳng thức thứ hai trong (1.2.8) suy ra c là số bé nhất trong các cận trên của X, tức là cận trên đúng của tập X

Ví dụ 6: Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên

X= {…,−3, −2, −1,0,1,2,3,…}

không bị chặn trên, cũng không bị chặn dưới, tức là

supX= + ∞ và inf X= − ∞

Thật vậy, giả sử ngược lại, tập hợp X bị chặn trên Khi đó theo định lí trên, nó có cận trên đúng

c = sup X

Theo tính chất của cận trên đúng, đối với ε =1, ta tìm được một số nguyên x∈X sao cho

x > c – 1

nhưng khi đó x+1> c Bởi vì x+ ∈1 X , điều này có nghĩa là c không phải là cận trên đúng của tập hợp X, mâu thuẫn với điều nói ở trên

Ví dụ 7: Giả sử X và Y là hai tập hợp số Hãy chứng minh rằng nếu Y ⊂ X thì supX ≥ supY Giải: Giả sử supX = A, supY = B Ta phải chứng minh B ≤ A Giả sử ngược lại B > A Khi

đó dựa vào tính chất cận trên đúng, ∀ > ∃ ∈ε 0, y Y sao cho > y B−ε

Bởi vì: B− A >0, nên ta có thể lấy ε = B−A Ta nhận được y >B −ε = B –B +A, tức là y

> A

Nhưng y Y ∈ và Y ⊂ X nên y∈X , theo định nghĩa sup suy ra y≤ Mâu thuẫn nhận A

đựơc chứng tỏ rằng B≤ A

Ta có thể chứng minh khẳng định trên bằng cách khác như sau:

Bởi vì Y ⊂ X nên ∀ ∈x X và y Y∀ ∈ ta có

≤sup , ≤sup

x X y X và y≤ supY

Nhưng supY là số thực nhỏ nhất trong các cận trên của Y và supX là một trong số cận trên của Y nên

sup Y ≤ sup X

Nếu tập M đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là tập bị chặn

Cuối cùng nếu tập M không bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của tập đó là + ∞ , sup M = + ∞ Tương tự nếu tập M không bị chặn dưới, ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là

− ∞ , inf M=− ∞

Ví dụ như sup(0,+ ∞ ) = + ∞ , inf(− ∞ ,0)= − ∞

Giả sử M là tập hợp các số thực, nếu tồn tại một phần tử lớn nhất trong các phần tử của tập M, thì ta kí hiệu phân tử đó là maxM Tương tự ta kí hiệu phân tử nhỏ nhất của tập M là minM

Ví dụ như max{2, –3, –5,0} = 2, min{2,–3, –5,0}=–5,

|x|=max {(–x,x)} ∀x

1.2.5 Trục số thực

Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực

Ta lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm 0 nào đó làm gốc Ta chon một độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0 sang trái và sang phải sao cho trải khắp đường thẳng Ví dụ như số 2 được biểu diễn bằng “điểm 2”, tức là điểm

ở bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 đơn vị

Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng thực hay trục số Bất kỳ một số thực nào cũng được ứng với một điểm trên đường thẳng thực và ngược lại, bất kì một điểm nào trên

đường thẳng thực cũng được ứng với một số thực Số thực a ứng với điểm M trên trục số được

gọi là toạ độ của điểm M Thông thường người ta không phân biệt “điểm a” nằm trên đường

thẳng thực và số thưc a (là toạ độ của điểm đó)

Tập hợp \ không có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực x bất

kì luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho y< x< z (ví dụ y = x −1, z = x+1) Vì thế ta hãy bổ

sung vào tập \ hai phần tử mới mà ta ký hiệu là +∞ , − ∞ và ta gọi chung là các điểm vô tận của trục thực Ta ký hiệu tập mới xuất hiện như vật là \* Như vậy là

Tập hợp R* ta sẽ gọi là trục thực mở rộng Cuối cùng ta chú ý thêm là

− ∞ < a < + ∞ , ∀ ∈ \a (1.4.3)

1.3 Ánh xạ

Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một vài khái niệm về ánh xạ mà nó rất có ích cho việc nghiên cứu lý thuyết hàm số sau này

1.3.1 Định nghĩa

Cho hai tập hợp A và B Ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B là một quy luật f cho tương

ứng mỗi phần tử x∈A với một và chỉ một phần tử y B∈

Ví dụ 1: Cho A = B =\

Qui luật y = x3 cho tương ứng mỗi x∈ \ với một và chỉ một y∈ \, nên qui luật trên là một ánh xạ từ \ tới \

Ví dụ 2: Cho A = B = {x | x∈ \, x≥0}

Qui luật y= x cho tương ứng mỗi x∈A với một và chỉ một y∈B, nên là một ánh xạ

từ A tới B

Để diễn tả f là ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B ta viết f: A→B hay ⎯⎯→f

A B và gọi

A là tập xác định của ánh xạ f

Phần tử y B∈ tương ứng với x∈A bởi qui luật f gọi là ảnh của x và x được gọi là nghịch ảnh của y và ta viết:

( ) hay ( )

Ta gọi tập

( )={ | = ( ), ∈ }

hay

( )={ | ∃ ∈ , = ( )}

là ánh xạ của tập A qua ánh xạ f

Chú ý rằng ta luôn có f A( )⊆ B Nếu f(A)=B, ta nói rằng f là ánh xạ từ tập hợp A lên tập hợp B hay ánh xạ f : A→B là một toàn ánh

Ví dụ 3: Ánh xạ cho bởi qui luật f x( )=sin , x x∈ \ là ánh xạ tập \ tới tập \ và đồng thời ánh xạ tập \ lên tập hợp tất cả các số thực y sao cho 1− ≤ ≤ y 1

Nếu như M ⊂` ⊂ A thì f M( )⊆ f( )` (1.3.3)

1.3.2 Đơn ánh, song ánh

Ánh xạ :f A→ gọi là ánh xạ đơn ánh nếu B

f x = f x ⇒ x = x (1.3.4)

ví dụ như ánh xạ được cho bởi sinx là đơn ánh từ tập hợp { | 0 }

2

∈\ < <

lên tập hợp {y∈\| 0< <y 1}

Ví dụ 4: Xét ánh xạ cho bởi qui luật 2

y= x Vì phương trình = 2 ∈ \

,

y x y có hai nghiệm

khác nhau x1 và x2 nếu y > 0, có nghĩa là f(x1) = f(x2) nhưng x1 ≠ x2, vậy ánh xạ này không phải là đơn ánh

Ánh xạ :f A→ gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh B

Ví dụ 5: Ánh xạ :f \→\ cho bởi qui luật 3

y= x là một song ánh

Ví dụ 6: Ánh xạ :f \→\+ cho bởi qui luật 2

y=x không phải là song ánh, nhưng ánh xạ :\+ →\+

y=x là một song ánh

Ví dụ 7: Cho x∈ \, [x] ký hiệu phần nguyên của x (nghĩa là [x] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x chẳng hạn [−4,5] = −4; [2] = 2; [2,5] = 2; [2,7] = 2) Ta có [x] ≤ x ≤ [x]+1

Ánh xạ f :\→] cho bởi qui luật y=[x] không phải là song ánh

1.3.3 Ánh xạ ngược

Giả sử f là một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B Khi đó ứng với mỗi phần tử có một và chỉ

một x∈A sao cho y= f x( ) Ánh xạ cho tương ứng phần tử y B∈ với phần tử x∈A sao

cho y= f x( ) gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f kí hiệu là f− 1

Như vậy f 1 B A

:

f−1( )y = ⇔x f x( )= (vớiy x∈A , y B∈ ) (1.3.5)