Giải tích toán học tập 3

Chương 1 Phương trình vi phân cấp 1 9 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Phương trình vi phân cấp 1 1.1.2 Nghiệm 1.1.3 Bài toán Cauchy 1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 1.2.1 Điều kiện Lipschitz 1.2.2 Dãy xấp xỉ Picar 1.2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Picar) 1.2.4 Sự thác triển nghiệm 1.2.5 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 1.3.1 Phương trình phân li biến số 1.3.2 Phương trình thuần nhất 1.3.3 Phương trình quy được về phương trình thuần nhất 1.3.4 Phương trình vi phân toàn phần. Thừa số tích phân 1.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Bernoulli và phương trình Ricati 1.4 Bài tập chương 1 Chương 2 Phương trình vi phân cấp cao 39 2.1 Các khái niệm cơ bản 2.1.1 Nghiệm 2.1.2 Bài toán Cauchy 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 2.2.1 Điều kiện Lipschitz 2.2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 2.2.3 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 2.4 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n 2.4.1 Một số tính chất của nghiệm phương trình 2.4.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ hàm 45 2.4.3 Định thức Vronski 2.4.4 Công thức Ostrogradski - Liuvil 2.4.5 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát 2.5 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n 2.5.1 Nghiệm 2.5.2 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 2.6.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng 2.6.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng 2.7 Bài tập chương 2 Chương 3 Hệ phương trình vi phân 71 3.1 Các khái niệm cơ bản 3.2 Bài toán Cauchy 3.2.1 Bài toán Cauchy 3.3 Phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân cấp một 72 3.3.1 Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một 3.3.2 Đưa hệ n phương trình vi phân cấp một về một phương trình vi phân cấp n 3.3.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 3.3.4 Sự thác triển nghiệm 3.3.5 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân 3.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 3.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 3.4.2 Các tính chất của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 3.4.3 Sự phụ thuộc tuyến và độc lập tuyến tính của hệ véctơ hàm 3.4.4 Hệ nghiệm cơ bản 3.4.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 3.4.6 Các tính chất nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 3.4.7 Nghiệm tổng quát 3.4.8 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 3.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 3.5.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 93 3.5.2 Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 3.5.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 3.6 Bài tập chương 3

NGUYỄN XUÂN HUY

gI¶I TÝCH TO¸N HäC

TËP 3

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGUYỄN XUÂN HUY

gI¶I TÝCH TO¸N HäC

TËP 3

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Mục lục 3

Lời nói đầu 7

Chương 1 Phương trình vi phân cấp 1 9 1.1 Các khái niệm cơ bản 9

1.1.1 Phương trình vi phân cấp 1 9

1.1.2 Nghiệm 9

1.1.3 Bài toán Cauchy 10

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 10

1.2.1 Điều kiện Lipschitz 10

1.2.2 Dãy xấp xỉ Picar 11

1.2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Picar) 12

1.2.4 Sự thác triển nghiệm 16

1.2.5 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 16

1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 17

1.3.1 Phương trình phân li biến số 17

1.3.2 Phương trình thuần nhất 19

1.3.3 Phương trình quy được về phương trình thuần nhất 21

1.3.4 Phương trình vi phân toàn phần Thừa số tích phân 24

1.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Bernoulli và phương trình Ricati 29

1.4 Bài tập chương 1 36

3

Chương 2 Phương trình vi phân cấp cao 39

2.1 Các khái niệm cơ bản 39

2.1.1 Nghiệm 40

2.1.2 Bài toán Cauchy 40

2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 40

2.2.1 Điều kiện Lipschitz 41

2.2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 41

2.2.3 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n 42

2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 43

2.4 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n 44

2.4.1 Một số tính chất của nghiệm phương trình 45

2.4.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ hàm 45 2.4.3 Định thức Vronski 47

2.4.4 Công thức Ostrogradski - Liuvil 50

2.4.5 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát 53

2.5 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n 56

2.5.1 Nghiệm 56

2.5.2 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 58

2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 59

2.6.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng 60

2.6.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng 62

2.7 Bài tập chương 2 69

Chương 3 Hệ phương trình vi phân 71 3.1 Các khái niệm cơ bản 71

3.2 Bài toán Cauchy 72

3.2.1 Bài toán Cauchy 72

3.3 Phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân cấp một 72 3.3.1 Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một 72

3.3.2 Đưa hệ n phương trình vi phân cấp một về một phương

trình vi phân cấp n 73

3.3.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 73

3.3.4 Sự thác triển nghiệm 80

3.3.5 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân 80

3.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 82

3.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 82

3.4.2 Các tính chất của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 83

3.4.3 Sự phụ thuộc tuyến và độc lập tuyến tính của hệ véctơ hàm 83

3.4.4 Hệ nghiệm cơ bản 86

3.4.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 88

3.4.6 Các tính chất nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 89

3.4.7 Nghiệm tổng quát 89

3.4.8 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 90

3.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 93

3.5.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 93 3.5.2 Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 94

3.5.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 99

3.6 Bài tập chương 3 102

Bộ Giáo trình Giải tích Toán học nầy gồm 3 tập, được biên soạn bởi tậpthể tác giả: TS Phạm Quang Trình, Ths Nguyễn Xuân Huy, Ts NguyễnNgọc Anh, dựa theo chương trình khung môn Giải tích Toán học đã được hội

đồng bộ môn của bộ Giáo dục đào tạo thẩm định dùng cho các trường Đạihọc, nhằm đáp ứng yêu cầu đảm bảo chất lượng - hiệu quả đào tạo sinh viêncác trường công nghệ và kĩ thuật đại học

Bộ giáo trình này được biên soạn theo định hướng: Tinh giản, chọn lọcphù hợp với khung thời gian tương ứng dành cho môn học; phù hợp với đốitượng sinh viên ngành công nghệ - kĩ thuật; ưu tiên một cách rõ nét việc vậndụng các kết quả lý thuyết, đồng thời đảm bảo một cách tốt nhất tính khoahọc của hệ thống kiến thức trong chương trình

Tập 3 của bộ giáo trình cung cấp hệ thống kiến thức cơ bản về phươngtrình vi phân và hệ phương trình vi phân, được giới thiệu trong 3 chươngChương 1 - Phương trình vi phân cấp 1

Trong đó hàm F xác định trong miền G ⊂ R3.

Nếu trong miền G, từ phương trình (1.1) ta có thể giải được y0

a) (x, ϕ(x), ϕ0(x)) ∈ G với mọi x ∈ I.

b) F (x, ϕ(x), ϕ0(x)) ≡ 0 trên I.

Ví dụ Xét phương trình dy

dx = 2y có thể kiểm tra trực tiếp y = ce2x

xác định trên khoảng (−∞, +∞) với c là hằng số tuỳ ý là nghiệm của phương trình vi phân đã cho.

1.1.3 Bài toán Cauchy

Qua ví dụ trên ta thấy Nghiệm của phương trình vi phân là vô

số (do hằng số c có thể lấy tuỳ ý) Trong thực tế ta thường quan tâm đến nghiệm của phương trình vi phân thoả mãn những điều kiện nào đó, chẳng hạn

Điều kiện trên được gọi là điều kiện ban đầu Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thoả mãn điều kiện ban đầu (1.3) gọi là bài toán Cauchy Ta sẽ tìm các điều kiện để bài toán Cauchy

có nghiệm duy nhất.

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét phương trình vi phân

trong đó f xác định trong miền G ⊂ R2 Ta sẽ chỉ ra các điều kiện của f để bài toán Cauchy ứng với phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất.

1.2.1 Điều kiện Lipschitz

Hàm f xác định trong miền G gọi là thoả mãn điều kiện chitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với hai điểm

Lips-(x, y), Lips-(x, y∗) ∈ G bất kỳ ta có bất đẳng thức

Chú ý Nếu hàm f có đạo hàm riêng theo y bị chặn trong miền

G thì thoả mãn điều kiện Lipschitz (Độc giả tự chứng minh, dùng

định lí Lagrange).

1.2.2 Dãy xấp xỉ Picar

Giả sử f (x, y) là hàm liên tục trên miền G, (x0, y0) là điểm trong của G Chọn các số dương a, bsao cho hình chữ nhật

∀n = 0, 1, 2, ã ã ã Thật vậy, điều này đúng với n = 0.

Giả sử ta có (x, yn−1(x)) ∈ Q khi x ∈ [x0− h, x0+ h] Khi đó ta có thể xây dựng

1.2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Picar)

Định lí 1.2.1 Giả sử hàm f thoả mãn các điều kiện sau

a) f liên tục trong miền G

b) f thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trong G

Khi đó ứng với mỗi điểm (x0, y0) ∈ Gtồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x)của phương trình (1.4) thoả mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Nghiệm nàyxác định trên một lân cận đóng [x0− h, x0 + h]của x0, trong đó h là hằng

số xác định phụ thuộc vào hàm f, điểm (x0, y0)và miền G

Vì (x, yn(x)) ∈ Q, ∀n và f liên tục nên các hàm yn(x) liên tục, khả

vi trên [x0 − h, x0 + h] Dễ thấy yn(x0) = y0, ∀n Bây giờ ta chứng minh yn(x)hội tụ đều trên [x0− h, x0+ h] Trên đoạn[x0− h, x0+ h]

ta cã

|y1(x) − y0(x)| =

|y2(x) − y1(x)| =

≤

≤ L ... miền G Khi tốn Cauchy với phương trình (1.4) giải hồn chỉnh miền G.

1.2.5 Các loại nghiệm phương trình vi phân cấp 1

với giá trị của C được... miền G nếu xác

định nghiệm tổng quát y = ϕ(x, C) của phương trình ban đầu.

Ví dụ Phương trình y0 = −x/y, (y 6= 0) có tích phân... trên.

Ví dụ Dễ dàng kiểm tra phương trình y0 = y có nghiệm tổng qt là y = Cex.

b Tích phân tổng quát Nhiều giải phương