Đạo hàm và ứng dụng Một số kiến thức cần nắm vững: Các quy tắc tính đạo hàm.. Bảng đạo hàm của các hàm số thờng gặp.. * Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số x để có điều cần chứng min
Trang 1ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn
Bài 6. Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:
Các quy tắc tính đạo hàm
Bảng đạo hàm của các hàm số thờng gặp
Đạo hàm cấp cao
1 Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3
+ Dự đoán công thức tổng quát;
+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận
* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:
( )
1
1 1 ( )
( )
( )
2
2
n n n
n
n
n n
n
a n
ax b n
n
Ví dụ 1 Cho hàm số y = 1
1 x . a) Tính y’, y’’, y’’’
b) Chứng minh rằng: ( ) ! 1
(1 )
n
n
n y
x
Ví dụ 2 Tính đạo hàm cấp n của hàm số:
a) y = 22
1
x
x ; b) y = 2
2008
x
x x .
2 ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức:
PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x (a; b) ta đặt
(x) = f(x) - g(x)
+ Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên (a; b)
+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x) > 0, x (a; b)
* Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số (x) để có điều cần chứng minh
Ví dụ Chứng minh rằng:
a) ln(1 + x) > x -
2 2
x
, x > 0
2
x
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +
2 2
x
với x > 0
Có
2 1
x
f(x) > f(0) = 0 với x > 0 đpcm
b) Đặt f(x) = sinx 2
x với (0; )
2
x
f x
x
Đặt g(x) = xcosx - sinx
g’(x) = -xsinx < 0 với (0; )
2
x g(x) là hàm NB trên (0; )
2
g(x) < g(0) với (0; )
2
x
f’(x) là hàm số NB trên (0; )
2
Trang 2ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn
f(x) > f(
2
) = 2
2
Bài tập luyện tập:
Chứng minh các BĐT:
a) ex > x + 1 với x > 0; b) x > ln(1 + x) với x > 0
c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) với x > 1;
d) cosx 1
-2 2
x
với x > 0; e) sinx x
-3 6
x
với x>0;
3 ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.
0
0
0 0
x x
f x f x
f x
x x
PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa đạo hàm tại một điểm ta làm theo các bớc:
+ Bớc 1: Đa giới hạn cần tính về đúng công thức:
0
0 0
lim
x x
f x f x
x x
+ Bớc 2: Xét hàm số y = f(x) Tính f(x0), f’(x) và f’(x0)
+ Bớc 3: Kết luận
0
0
0 0
x x
f x f x
f x
x x
Chú ý: Một số trờng hợp ta phải biến đổi về dạng:
0
0
0
'( ) lim
x x
f x f x
x x
Ví dụ Tính các giới hạn:
a)
3
0
lim
x
x
HD: Đặt f(x) = 3 x 1 1 x thì giới hạn có dạng: 0 ( ) (0)
lim
0
x
f x f x
3
0
x
f x
'( )
2 1
f x
x x
3 2 6 Vậy
3
0
lim
6
x
x
b)
3 4
7
lim
7
x
x
; ĐS: 5
96
c)
3 1
lim
1
x
x
; ĐS: 4 3 d)
3 3
0
lim
1 cos
x
; ĐS: 5
2.
HD:
3 3
x
e)
3 0
lim
x
x
2 1
lim
1
x
x
;
4 ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN
* Bài toán 1: GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu thì đó là GTNN
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm cực đại thì đó là GTLN
Trang 3ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn
* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x1, x2, x3, của f(x) trên đoạn [a; b]
+ Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(b)
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên rồi kết luận
M = max ( )[ ; ]
a b f x , m = min ( )[ ; ]
a b f x
* Bài toán 3: Xác định tham số để các phơng trình hoặc bất phơng trình có nghiệm
+ F(x) = m m [MaxF(X); minF(x)]
+ F(x) > m với mọi x <=> m < minF(x)
+ F(x) > m có nghiệm <=> m<MaxF(x)
Chú ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới có thể sử dụng phơng pháp miền giá trị
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1
1 2
x
x
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
x
x
yln2 trên đoạn [1;e3]
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x6 4 ( 1 x2 ) 3 trên đoạn [-1;1]
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]
) 3 5 2 ( )
3 ).(
2 1
HD Đặt t= ( 1 2x).( 3 x) Từ miền xác đinh của x suy ra
4
2 7
; 0
Biến đổi thành f(t) = t2 + t > m + 2
Tìm miền giá trị của VT m < -6
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]
2 2
a
HD Đặt t = x2 + x dùng miền giá trị suy ra a = -1
Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm
x x x x m
HD: m 2
Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x
Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên [-/2; /2]
2
) cos 1 ( 2 sin 2
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 2 sin 8 x cos 4 2x
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y2x2x (4x4 )x với 0 x 1
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4 x x
* PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá trị của hàm số
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a)
2
2
3 12
x
y
x x
1
x y
x x
x
y
x
y
Trang 4Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn