Luận văn sư phạm Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp và C[a,b]

Vì v y không gian C a ,b là không gian Banach.

D ng t ng quát c a phi m hƠm tuy n tính

liên t c trên không gian Lpvà C[ a,b]

Khoá lu n t t nghi p đ i h c

Chuyên ngành: Gi i tích

hƠ n i – 2007

l i c m n

Em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y PGS.TS.GVCC Nguy n

Ph Hy, ng i đã t n tình h ng d n và giúp đ em hoàn thành khoá lu n này

Em xin chân thành c m n ban ch nhi m, các th y cô giáo trong t

Gi i tích, khoa Toán tr ng HSP Hà N i 2 đã t o đi u ki n thu n l i cho

em trong su t quá trình em th c hi n đ tài

Em xin chân thành c m n

Xuân hòa, ngày 30/04/2007

Sinh viên

Ph m Th Th ng

L i cam đoan

Tôi xin cam đoan khoá lu n t t nghi p v i đ tài “D ng t ng quát c a

phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian L và p C [ a,b] ” là công trình

nghiên c u c a riêng tôi Tuy đ tài này không ph i là hoàn toàn m i nh ng

k t qu nghiên c u c a đ tài không trùng v i k t qu c a m t s tác gi khác

N u sai tôi xin ch u hoàn toàn trách nhi m

Xuân hoà, ngày 30/04/2007

Sinh viên

Ph m Th Th ng

M c l c

L i c m n 1

L i cam đoan 2

Ch ng 1 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên

không gian C [ a,b] 6 1.1 Tích phân Stieljes 6

1.2 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên

không gian C [ a,b] 10

Ch ng 2 Không gian L (p p1) 19

2.1 hàm s lu th a p kh tích (p1) 19 2.2 Không gian tuy n tính th c L 19 p2.3 Không gian đ nh chu n L 22 p

Ch ng 3 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên

không gian L (p p1) 27

3.1 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian Lp (p > 1) 27 3.2 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên

không gian L 33

3.3 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên L 40 1

K t lu n 44 Tài li u tham kh o 45

Gi i tích hàm là m t ngành toán h c đ c xây d ng vào kho ng n a

đ u th k XX nh ng hi n nay h u nh đ c xem nh là m t ngành toán h c

c đi n N i dung c a nó là s h p nh t c a nh ng lý thuy t t ng quát xu t phát t vi c m r ng m t s khái ni m và k t qu c a gi i tích, đ i s ,

ph ng trình vi phân,…

Trong quá trình phát tri n t đó đ n nay, gi i tích hàm đã tích lu đ c

m t n i dung h t s c phong phú Nh ng ph ng pháp và k t qu r t m u m c

c a gi i tích hàm đã xâm nh p vào t t c các ngành toán h c có liên quan và

có s d ng đ n nh ng công c c a gi i tích và không gian véct Ngoài ra, nó còn có nh ng ng d ng trong v t lý lý thuy t và trong m t s l nh v c k thu t

S xâm nh p y m t m t m ra nh ng chân tr i r ng l n cho các ngành toán h c nói trên, m t khác nó còn đ ra cho ngành gi i tích hàm ph i đúc k t

nh ng k t qu c a nh ng ngành toán h c riêng r đ trong ch ng m c nào đó

đ ra nh ng m u toán h c t ng quát và tr u t ng

V i mong mu n đ c nghiên c u và tìm hi u sâu h n v b môn gi i tích hàm, em đã ch n đ tài: “D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên

t c trên không gian L và p C a ,b ” Nghiên c u đ tài này, chúng ta có c h i

tìm hi u sâu thêm v không gian L ( E, )p  và không gian C a ,b T đó ta có thêm nh ng ki n th c v các v n đ c a phi m hàm, s khác nhau gi a chúng khi ta xét trên các không gian khác nhau

N i dung c a khoá lu n bao g m ba ch ng:

Ch ng 1 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian C a ,b

Em xin c m n

Xuân hoà, ngày 28/04/2007 Sinh viên

Ph m Th Th ng

Ch ng 1 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian C a ,b

1.1 Tích phân Stieljes

1.1.1 nh ngh a

nh ngh a 1.1.1

Cho hai hàm s f x và   g x xác   đ nh trên  a ,b

Ta chia đo n  a ,b b ng các đi m chia a     x0 x1 xn b ( nN )

trong đó i là m t đi m b t k trên đo n x ,xi i 1 , io,n 1 N u khi

max(xi 1 x )i  , t ng S d n 0 đ n m t gi i h n h u h n không ph thu c

vào cách chia đo n  a ,b và cách ch n đi m i thì gi i h n đó g i là tích

phân Stieljes (hay Rieman-Stieljes) c a f x theo   g x trên   đo n  a ,b và

có th gi s dãy:  n l p thành dãy đ n đi u gi m n 1  n

V i m i n ta đ u có th l y phép phân ho ch nào đó đo n [a,b] ra t ng

ph n đ dài nh h n n, thành l p t ng tích phân t ng ng S n

Ta ch ng minh dãy S là dãy c b n trong n 1

R

Th t v y,

N u m>n thì đ dài c a t t c các đo n c a phép phân ho ch th m và

n đ u nh h n n, do đó theo ch ng minh trên Sn Sm  

V y dãy  S là dãy c b n trong n 1

2



  L y m t t ng tích phân S b t kì đ c thành l p nh m t phép phân ho ch đo n [a,b] ra các đo n có đ dài nh h n

0

n

 Vì r ng t ng

0 n

S đ c thành l p nh phép phân ho ch tho mãn đi u ki n

đ dài m i đo n nh h n n0 nên theo ch ng minh trên ta có:

a ,b a

f x dg x max f x V g



Ch ng minh

1.2.2 Không gian đ nh chu nC a ,b

Ta đ a vào không gian C a ,b hai phép toán

T p h p C a ,b tr thành không gian tuy n tính th c

xác đ nh m t chu n trên C a ,b

Th t v y, x t C a ,b nên x t liên t c trên   đo n [a,b] do đó x t   đ t giá tr

l n nh t trên đo n [a,b]

Ta ki m tra s tho mãn các tiên đ v chu n:

Vì các b t đ ng th c (1.2.1) không ph thu c vào t a ,b nên cho qua gi i

h n trong các b t đ ng th c này khi m  ta đ c

   

n

x t x t  ,    , n n0  t  a;b (1.2.2) Các b t đ ng th c (1.2.2) ch ng t dãy hàm x tn  n 1 h i t đ u t i hàm

 

x t trên  a ,b nên x t liên t c trên    a ,b ngh a là x C  a ,b

Do s h i t trong không gian C a ,b t ng đ ng v i s h i t đ u c a dãy hàm liên t c trong không gian C a ,b nên dãy ( x t )n  n 1 h i t t i x t  

trong không gian C a ,b

Vì v y không gian C a ,b là không gian Banach

V i các phép toán thông th ng và v i chu n nh trên thì M a ,b m t không

gian đ nh chu n và C a ,b là m t không gian con đóng c a M a ,b

Gi s * 

a ,b

FC , theo đ nh lý Hahn-Banach ta có th thác tri n F và

gi nguyên chu n lên toàn b không gian M a ,b

Ti p theo ta ch ng minh g là hàm có bi n phân b ch n trên đo n  a ,b

L y m t phép phân ho ch đo n  a ,b ra n ph n b i các đi m chia

a     ( n Ns s s b  ) và thành l p hàm b c thang

trong đó di sign g s    i g si 1  , i=1,2, n

T đ nh ngh a c a x t ta th y x   trong không gian 1 M a ,b , do đó

Mà đ dài m i ph n đ u nh h n  thì

   

f t'  f t''  , v i  t',t'' là hai đi m b t kì c a đo n s ,si 1 i

Ta l y trong m i đo n s ,si 1 i m t đi m tu ý t và l p hàm bi c nh y

v i t a ,b thì g t  f t i v i i nào đó mà t và t cùng n m trong i đo n

s ,si 1 i nên g t  ph thu c vào hai cách chia đo n  a ,b và

F V g  g

Ta kí hi u L ( E, )p  là t p t t c các hàm x( t ) đo đ c theo đ đo  trên t p

E sao cho tích phân sau h i t

p E

x( t ) d

 v i p1+ Hai hàm s x(t), y(t) thu c L ( E, )p  đ c coi là đ ng nh t v i nhau

V y L E,p  đóng kín v i 2 phép toán c ng và nhân trên

* Ta đi ch ng minh hai phép toán này tho mãn h tiên đ tuy n tính

Tiên đ 2) đ c tho mãn

3 x t , y t   L E,p ,  R ta có:

x y   t x y t x t    y t 

Tiên đ 3) đ c tho mãn

4  ,  R, x t L E,p ,ta có:

     x t      x t x t x t 

( x x ) t  h.k.n trên E   xxx

   x x 

Tiên đ 8) đ c tho mãn

V y L E,p  là không gian tuy n tính trên tr ng s th c R

2.3 Không gian đ nh chu n L p

Tiên đ 1) đ c tho mãn

2 V i x t L E,p ,  R ta có:

1 p p E

   

k 1 p j

V y dãy x tn  n 1 h i t t i y t trong không gian   L E ,p 

Do đó không gian L E ,p  là không gian Banach

nh lý đ c ch ng minh฀

Ch ng 3 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên

t c trên không gian Lp (p1) 3.1 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian L p

M i phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian L E,p p1

L E, cùng v i tích vô h ng (3.1.4) là m t không gian Hilbert

Gi s f là m t phi m hàm tuy n tính liên t c b t k trên không gian

Vì y t không t  ng đ ng v i 0 trên E, nên y t c ng không tn  ng

đ ng v i 0 trên E (n=1,2, ) Chia c hai v c a b t đ ng th c (3.1.5) cho tích phân trong v ph i ta đ c

 

1 q q n E

Tr ng h p p2 đ c ch ng minh hoàn toàn t ng t nh trên

3.2 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian L

3.2.1 Không gian tuy n tính th c L

1 nh ngh a 3.2.1

Cho không gian đ đo E,F ,   , E  

Kí hi u L là t p h p t t c các hàm s đo đ c theo ngh a Lebesgue trên

 Lđóng kín v i hai phép toán c ng và nhân trên

* Ta đi ch ng minh hai phép toán này tho mãn h tiên đ tuy n tính

1 x t , y t    ta có: L

x y t     x t y t  y t    x t  yx t h k n trên E

   x y y x

Tiên đ 8) đ c tho mãn

V y L là không gian tuy n tính trên tr ng s th c R

3.2.2 Không gian đ nh chu n th c L

Gi s x tn   là m t dãy c b n b t k trong không gian L, ngh a là

* 0

Vì x tn x tm   xn xm , v i t E \ X, nên t (3.2.1) ta suy ra:

   

x t x t  v i t E\ X   (3.2.2)

và v i m i  n n ,m n0  V y v i m i t E\ X0  , x tn   là m t dãy s Côsi, do đó dãy x tn   h i t trên t p E \ X

L , nên theo nguyên lý Hahn-Banach, có th thác tri n phi m hàm f thành

phi m hàm F t L lên L sao cho 1 F x = f x    x t L và

3.3 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên L 1

3.3.1 nh ngh a 3.3.1

Cho không gian đ đo E,F ,   , E  

3.3.2 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên L 1

Gi s y(t) đo đ c, b ch n h.k.n trên E ngh a là  

s E

s r s

Theo ch ng minh ph n đ u, đ i v i hàm đo đ c b ch n h.k.n trên E ta

nh n đ c phi m hàm tuy n tính liên t c trên L1, xác đ nh b i h th c:

r ng nh ng v n đ quan tr ng c a Gi i tích toán h c vào không gian đó

đ tài này, em đã trình bày các v n đ t d đ n khó, b t đ u t vi c tìm hi u v đ nh ngh a và tính ch t c a các không gian C a ,b và L E ,p , sau

đó m r ng sang d ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên hai không gian này

Do th i gian và n ng l c còn h n ch nên khoá lu n này m i ch đ t

đ c m t s k t qu nh t đ nh Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n

c a các th y cô giáo trong khoa và các b n đ c đ b n khoá lu n này đ y đ

h n

Tr c s b ng và g p nhi u khó kh n khi b c đ u ti p c n v i công

vi c nghiên c u khoa h c, em đã nh n đ c s giúp đ c a các th y cô giáo trong khoa toán, đ c bi t là th y PGS.TS.GVCC Nguy n Ph Hy- ng i đã

t n tình ch b o giúp em hoàn thành khóa lu n này Em xin chân thành c m

n th y Nguy n Ph Hy cùng các th y cô giáo trong khoa Toán

Em xin chân thành c m n

Xuân hoà, ngày 30/04/2007

Sinh viên

Ph m Th Th ng

Tài li u tham kh o

1 PGS.TS Nguy n Ph Hy (2006), Gi i tích hàm , NXB Khoa h c và k thu t

2 Phan c Chính (1978), Gi i tích hàm t p 1, NXB i h c và trung h c chuyên nghi p

3 PGS.TS Nguy n Ph Hy (1992), Giáo trình Gi i tích hàm, HSP Hà N i

II

4 Nguy n Xuân Liêm (1995), Gi i tích hàm, NXB Giáo d c

5 Nguy n Xuân Liêm (2000), Bài t p Gi i tích hàm, NXB Giáo d c,

6 Hoàng T y (1979), Gi i tích hi n đ i, NXB Giáo d c