Luận văn sư phạm Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[a.b]

TệCH PHÂN STIELJES .... Tích phân Rieman - Stieljes .... Tích Phân Lebesgue - Stieljes ..... Ch ng minh... Ch ng minh.

PHI M HÀM TUY N TÍNH LIÊN T C

VÀ TOÁN T TUY N TÍNH LIÊN T C

KHOÁ LU N T T NGHI P I H C

Chuyên ngành : Gi i tích

HÀ N I - 2010

PHI M HÀM TUY N TÍNH LIÊN T C

VÀ TOÁN T TUY N TÍNH LIÊN T C

TRÊN KHÔNG GIAN C[ , ]a b

L I C M N

Khóa lu n đ c hoàn thành v i s h ng d n ch b o nhi t tình và chu đáo c a TS Khu t V n Ninh Tôi xin đ c trân tr ng bày t lòng bi t n sâu s c t i th y TS Khu t V n Ninh

Nhân đây tôi xin trân tr ng c m n th y ph n bi n đã dành th i gian

đ c và đóng góp nhi u ý ki n quý báu cho tôi đ tôi có th hoàn thành t t khóa lu n này, đ ng th i tôi xin trân tr ng c m n s quan tâm, giúp đ c a các th y cô trong tr ng i h c S ph m Hà N i 2 đã t o đi u ki n giúp đ tôi hoàn thành khóa lu n này

Vì có nhi u h n ch v n ng l c và th i gian, khóa lu n này ch c ch n không th tránh kh i nhi u thi u sót Tôi hi v ng nh n đ c nhi u ý ki n đóng góp c a th y cô và các b n

Cu i cùng em chúc các th y cô m nh kho , công tác t t đ c ng hi n nhi u h n n a cho s nghi p giáo d c c a đ t n c và thành công h n n a trên con đ ng nghiên c u khoa h c c a mình

Hà N i, ngày 01 tháng 05 n m 2010 Sinh viên

MAI TH THANH XUÂN

Tài li u tham kh o

1 PGS.TS.Nguy n Ph Hy [2006], Gi i tích hàm, NXB Khoa H c và

K Thu t

2 Nguy n Xuân Liêm [2003], Bài t p gi i tích hàm, NXB Giáo D c

3 Nguy n Duy Ti n [2007], Bài gi ng gi i tích (t p 1), NXB i H c

Qu c Gia Hà N i

4 Hoàng T y [2005], Hàm th c và gi i tích hàm, NXB i H c Qu c Gia Hà N i

5 c Thái và Nguy n Ti n D ng [2009], Nh p môn hi n đ i xác

su t và th ng kê, Trung tâm toán tài chính và công ngh Hà N i

6 GS.TSKH.Nguy n V n Khuê và GS.TSKH.Lê M u H i [2001], C

s lý thuy t hàm và gi i tích hàm (t p 1), NXB Giáo D c

7 A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fomin [1971], C s lý thuy t hàm và gi i

tích hàm (t p 1), NXB Giáo D c

M C L C

L i nói đ u 8

Ch ng 1 TệCH PHÂN STIELJES 10

1.1 Hàm s có bi n phân b ch n 10

1.2 Tích phân Rieman - Stieljes 19

1.3 Tích Phân Lebesgue - Stieljes 27

Ch ng 2 D NG T NG QUÁT C A PHI M HÀM TUY N TÍNH

LIÊN T C TRÊN KHÔNG GIAN C [ , ] a b 29

2.1 Không gian C[ , ]a b 29

2.2 Không gian liên h p c a không gianC[ , ]a b 32

2.3.Không gian các hàm có bi n phân b ch n trên đo n [ , ] a b 34

2.4 Phi m hàm tuy n tính liên t c trong không gian C[ , ]a b 35

Ch ng 3 TOÁN T TUY N TÍNH LIÊN T C TRÊN KHÔNG GIAN [ , ] a b C 43

3.1 Không gian các toán t tuy n tính liên t c trên không gian C[ , ]a b 43

3.2 Toán t tuy n tính liên t c trên không gian C[ , ]a b 45

K t lu n 50

L i nói đ u

Gi i tích hàm là m t ngành c a gi i tích toán h c nghiên c u v các không gian vect đ c trang b thêm các c u trúc tôpô và các toán t tuy n tính liên t c gi a chúng Ra đ i t đ u th k 20, đ n nay gi i tích hàm đã đ t

đ c nh ng thành t u quan tr ng và tr thành chu n m c trong vi c nghiên

c u và trình b y các ki n th c toán h c Gi i tích hàm đã đ c đ a vào

ch ng trình đ i h c nh m t ph n b t bu c, tuy th v i l ng th i gian có

h n chúng ta khó có th nghiên c u sâu vào m t v n đ nào đó, bên c nh đó

n i dung c a gi i tích hàm r t phong phú nh : Không gian vect tôpô l i đ a

ph ng (không gian đ nh chu n, không gian Banach, không gian Hilbert,…), các toán t tuy n tính liên t c gi a các không gian,…

b c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c và tìm hi u sâu v

gi i tích hàm, em đã ch n đ tài: “ D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n

tính và toán t tuy n tính trên không gian C[ , ]a b ” Khóa lu n này nghiên c u

v m t v n đ quan tr ng c a gi i tích hàm đó là không gian các hàm liên t c trên đo n [ , ] a b và các toán t tuy n tính liên t c trên nó

N i dung c a khóa lu n bao g m:

Ch ng 1 Tích phân Stieljes: Ch ng này đ a ra các ki n th c ban

đ u v hàm có bi n phân b ch n và tích phân Stieljes (trong đó trình b y v tích phân Rieman - Stieljes và tích phân Lebesgue - Stieljes )

Ch ng 2 D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên

không gian C[ , ]a b : Ch ng này vi t v không gian Banach Céa b, ù

ê ú

ë û và d ng

t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian này

Ch ng 3 Toán t tuy n tính liên t c trên không gian C[ , ]a b

Do l n đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, th i gian có h n và trình đ còn non tr cho nên các v n đ đ c trình bày trong bài không tránh

kh i nh ng thi u sót nh t đ nh Vì v y em r t mong nh n đ c ý ki n đóng góp c a th y cô và b n đ c đ khóa lu n đ c hoàn thi n h n

Em xin chân thành c m n

Hà n i ngày 01 tháng 05 n m

2010 Sinh viên

Mai Th Thanh Xuân

i i

c)  

1

Õu x=03

F x V f là bi n phân c a hàm f trên đo n  a x Khi , đó hàm f liên

t c t i đi m x0 a b, thì hàmF c ng liên t c t i đi m x 0

Cho f là hàm s liên t c trên đo n [ , ] a b , khi đó f có bi n phân b ch n trên đo n [ , ] a b khi và ch khi f c ng có bi n phân b ch n trên đo n [ , ] a b ,

nÕu j lÎ

j j

Xet hàm f là hàm có bi n phân b ch n trên đo n [ , ] a b Ch n

Hàm s f có bi n phân b ch n khi và ch khi nó bi u di n đ c d i

d ng hi u c a hai hàm s đ n đi u không gi m

Ch ng minh

Ta bi u di n đ c f x      x  x trong đó

 x V a x       f , x x f x

     Hi n nhiên ta có  là hàm đ n đi u không gi m

N u hàm f có bi n phân b ch n trên đo n  0,1 ,    x là hàm liên

t c, t ng th c s trên đo n  ,  sao cho   0,   thì hàm 1

Gi s F có bi n phân không b ch n trên đo n  , , khi đó v i m i s

t nhiên M, ta có th tìm đ c m t phép phân ho ch P chia đo n  , 

thành n đo n b i các đi m chia  x0   x1 xn1xn  sao cho 

T phép phân ho ch P ta thi t l p phép phân ho ch P', phép phân ho ch này chia đo n  0,1 thành n đo n b i các đi m chia 0     v i t0 t1 tn 1

1.2 Tích phân Rieman - Stieljes

nh ngh a 1.2.1 (Tích phân Rieman - Stieljes)

Cho hàm s f và g xác đ nh trên đo n [ , ]a b Ta phân ho ch đo n [ , ]a b

b i các đi m chia a   x0 x1 xn  b và l p t ng

( ) ( ) ( )

1

1 0

nh lý 1.2.2 ( i u ki n t n t i tích phân Rieman - Stieljes)

N u hàm f Î C[ , ]a b và g là hàm có bi n phân b ch n trên đo n [ , ]a b thì

t n t i tích phân Rieman - Stieljes: ( ) b ( ) ( )

Ta l y hai phép phân ho ch P P1, 2 chia đo n [ , ]a b thành nh ng đo n có

đ dài không v t quá d, trên chúng ta l y nh ng đi m tùy ý và l p t ng tích phân S S1, 2 t ng ng Ta s ch ng minh S1- S2 < e

Gi s phép phân ho ch P1 có các đi m chia: a= x0< x1< < xn= b thì

N u l y t t c các đi m chia c a hai phép phân ho ch ta có phép phân

ho ch đo n [ , ]a b th ba, ta kí hi u là P , phép phân ho ch này 3 “t t h n” phép phân ho ch P v P1 à 2 G i các đi m chia c a cách phân ho ch này là:

Vì trong phép phân ho ch P P P các 1, 2, 3 đo n chia đ u có đ dài không

v t quá d nên v i i j b t kì ta luôn có: , ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

0 0

i

m n

12

i

m n

m t s sn t ng ng sao cho v i e= e sn; = sn đi u ki n c a đ nh lý 1.2.2

đ c th a mãn Ta có s đ c ch n ph thu c vào e , ta gi s dãy ( )sn l p thành dãy s gi m

V i m i n ta đ u có phép phân ho ch Pn chia đo n éêëa b, ùúû thành các đo n

v i đ dài không quá sn và t ng tích phân Sn t ng ng

Ta ch ng minh ( )Sn là dãy c b n

N u mn thì t t c các đo n chia c a phép phân ho ch P Pn, m đ u có đ dài nh h n sn (sn> sm), do đó Sn- Sm < e, v y dãy ( )Sn là dãy c b n, nên lim n

n ³ N sao cho e £ e S là t ng tích phân t ng

ng v i phép phân ho ch Pn0_phép phân ho ch [ , ]a b thành các đo n có đ dài nh h n

n

b a

Ch ng minh

+) Gi s g x c c ฀ tr h u h n đi m 

 thì g là hàm h ng t i m i đi m liên t c c a

nó

Ch ng minh

Gi s t n t i hai đi m x x1, 2 x1x2 mà t i đó hàm g liên t c nh ng



nhau kh p n i tr ra m t s đi m h u h n hay đ m đ c c a  a b thì: ,

1.3 Tích Phân Lebesgue - Stieljes

nh ngh a 1.3.1 ( đo Lebesgue - Stieljes)

Cho hàm s g : ¡ ® ¡ là hàm đ n đi u không gi m Hàm g xác đ nh

m t hàm G trên các gian nh sau:

Theo đ nh lý khuy ch c a đ đo thì  là m t đ đo trên m t _g  đ i

s Lg F C( ) B đo này g i là đ đo Lebesgue - Stieljes (L.S) c m sinh

b i hàm g

Chú ý r ng theo công th c tính G  thì giá tr c a hàm g t i nh ng đi m gián đo n là không quan tr ng nên khi xác đ nh đ đo c m sinh b i m t hàm

s g bao gi c ng có th coi g x là liên t c ph i (ho c liên t c trái) Ngoài  

ra, n u g và 1 g là hai hàm không gi m có giá tr b ng nhau t i m2 i đi m ch

tr nh ng đi m gián đo n thì

hàm g đ n đi u không gi m và liên t c ph i

đo Lebesgue - Stieljes c m sinh b i hàm g là  đ c xác đ nh nh gsau:

nh ngh a 1.3.2 (Tích phân Lebesgue - Stieljes)

Cho  là đ đo L.S c m sinh b i m t hàm s không gi m g g, f là m t

hàm  đo đ c trên m t t p g A N u tích phân b ( ) g

N u hàm f x liên t c trên   đo n [ , ] a b , hàm g x có bi n phân b ch n  

và liên t c ph i trên đo n [ , ]a b thì các tích phân (L.S) và (R.S) là t n t i và

Ta l i có fm( )x  f x( ) (m ) V y theo đ nh lý v s h i t ch n ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 0

( )[ ( ) ( )]- ( ) '( )

b n

Vì g x   tuy t đ i liên t c nên ( 1) ( ) 1 '( )

i i

x

i i

ng d ng tích phân Stieljes trong lý thuy t xác su t th ng kê

Tích phân Rieman - Stieljes đ c ng d ng nhi u trong lý thuy t xác su t

th ng kê, đ n gi n nh tính hàm phân ph i c a bi n ng u nhiên, tìm các giá

Ta có hàm phân ph i c a bnn X có hàm m t đ   2 2

1 2

12

1

35000

400 2400

1602

Ch ng 2 D NG T NG QUÁT C A PHI M HÀM TUY N TÍNH LIÊN T C TRÊN

KHÔNG GIAN [ , ] C a b

2.1 Không gian C[ , ]a b

nh ngh a 2.1.1 ( Không gian tuy n tính C a b, )

T p t t c các hàm s giá tr th c xác đ nh liên t c trên m t đoan [ , ]a b (- ¥ < < < + ¥a b ) nào đó cùng hai phép toán c ng các hàm s và nhân hàm s v i s th c l p thành m t không gian tuy n tính, kí hi u Céa b, ù

ê ú

ë û ,

nh ngh a 2.1.2 (Không gian đ nh chu n)

Không gian đ nh chu n là không gian tuy n tính X trong đó m i ph n t

x฀ ta có m t s x đ c g i là chu n c a nó sao cho các đi u ki n sau

ë û cùng v i chu n trên l p thành không gian đ nh chu n

nh ngh a 2.1.4 (Không gian Banach)

Không gian Banach là không gian đ nh chu n sao cho m i dãy c b n trong không gian này đ u h i t t i m t đi m trong nó

Không gian Banach là không gian đ nh chu n đ

Không gian đ nh chu n Céa b, ù

Cho t thay đ i trên [ , ] a b ta nhân đ c hàm s x t xác   đ nh trên [ , ] a b

Ta có h th c (1) không ph thu c vào giá tr c a t a b, nên cho qua

2.2 Không gian liên h p c a không gian C[ , ] a b

T p t t c các phi m hàm tuy n tính liên t c xác đ nh trên m t không gian tôpô tuy n tính X cùng hai phép toán: c ng các phi m hàm và nhân phi m hàm v i s th c l p thành m t không gian liên h p c a không gian X, kí hi u

C là không gian đ nh chu n, ta s

ch ng minh C[ , ]*a b là không gian đ nh chu n đ

Cho  f n là dãy hàm c b n trong không gian *

[ , ]a b

C , khi đó v i m i 0

Cho p  thì s h ng th nh t c a b t đ ng th c trên ti n d n đ n không, v y v i p đ l n ta có f n p  f  Hay  f n  f n   

V y không gian C[ , ]*a b là không gian Banach

2.3.Không gian các hàm có bi n phân b ch n trên đo n [ , ] a b

T p t t c các hàm có bi n phân b ch n trên [ , ]a b cùng hai phép toán

c ng các hàm s và nhân hàm s v i s th c, l p thành m t không gian tuy n tính, kí hi u là V  a b ,

Trong V  a b , đ a vào khái niêm chu n   nh sau:

Chuy n qua gi i h n ta có:

er   a b : g 0

m t không gian tuy n tính, kí hi u là M  a b ,

Trên M  a b , ta đ nh ngh a chu n nh sau:

V i hàm FC *a b , theo đ nh lý Hahn - Banach ta có th khu ch hàm Fthành m t phi m hàm tuy n tính liên t c trên toàn không gian M  a b , , mà v n

Ta ch ng minh g là hàm có bi n phân b ch n trên đo n [ , ] a b

Xét phép phân ho ch P chia đo n [ , ] a b thành n đo n b i các đi m chia:

n

n i

  tích phân Rieman - Stieljes

Theo đ nh lý v giá tr trung bình c a tích phân Rieman - Stieljes ta có:

x C và sint là hàm liên t c trên  0,1 nên có bi n phân b ch n, v y ta

có f là phi m hàm tuy n tính liên t c trên Céa b, ù

ê ú

ë û

Ta tính đ c f  1 cos1

Ch ng 3 TOÁN T TUY N TÍNH LIÊN T C

TRÊN KHÔNG GIAN C[ , ]a b

3.1 Không gian các toán t tuy n tính liên t c trên không gian C[ , ]a b

nh ngh a 3.1.1 (Không gian các toán t tuy n liên t c trong C[ , ]a b )

T p t t c các toán t tuy n tính liên t c A C:  a b, C a b, cùng v i các phép toán c ng các hàm s , nhân hàm s v i s , l p thành m t không gian tuy n tính Kí hi u là LL C    a b, ,C a b, 

V y đi u ki n 3 (b t đ ng th c tam giác) đ c th a mãn

V y LL C  a b, ,C a b,  là không gian đ nh chu n

+) Tính đ c a không gian LL C  a b, ,C a b, 

3.2 Toán t tuy n tính liên t c trên không gian C[ , ]a b

M t s toán t tuy n tính liên t c trong không gian Céa b, ù

là m t toán t tuy n tính liên t c trong Céa b, ù

ê ú

ë û Toán t đ c nh c đ n trong đ nh lý trên đ c g i là toán t tích phân, trong đó K t s g i là h ch  ,

liên t c theo bi n t trên [ , ] a b V y A C:  a b, C a b,

D dàng ch ng minh đ c A là toán t tuy n tính

V y A b ch n nên A liên t c

liên t c theo bi n s trên [ , ] a b và  ,

K t lu n

Trong bài em đã trình bày v không gian Céa b, ù

ê ú

ë û, phi m hàm tuy n tính liên

t c và toán t tuy n tính liên t c trên không gian Céa b, ù

ta th y đ c vai trò quan tr ng c a gi i tích hàm trong toán h c

Tuy nhiên vì th i gian có h n, trình đ còn non tr nên các v n đ đ c trình bày trong bài không tránh kh i nh ng thi u sót nh t đ nh Vì v y em r t mong nh n đ c ý ki n đóng góp c a th y cô và b n đ c đ khóa lu n đ c hoàn thi n h n