Một số đặc trưng của các bán vi phân féchet của hàm liên tục trên không gian n¡

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BÁN VI PHÂN FRÉCHET CỦA Trần Văn Bằng 1 , Phan Trọng Tiến 2 Tóm tắt: Bài viết này cung cấp những đặc trưng của dưới trên vi phân Fréchet của hàm liên tục n biế

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BÁN VI PHÂN FRÉCHET CỦA

Trần Văn Bằng 1 , Phan Trọng Tiến 2

Tóm tắt: Bài viết này cung cấp những đặc trưng của dưới (trên) vi phân Fréchet của hàm

liên tục n biến và một số ví dụ cụ thể về tính trên (dưới) vi phân

Từ khóa: Dưới vi phân, Dưới vi phân Fréchet, Giải tích không trơn

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Dưới (trên) vi phân là các công cụ quan trọng của Giải tích không trơn, chúng có vai trò tương tự như đạo hàm (vi phân) trong Giải tích toán học Cho đến nay, đã có rất nhiều các kết quả, công trình về các tính chất định tính của các khái niệm này (xem [1,2,5],[8]-[10]) Vai trò quan trọng của các khái niệm này còn được khẳng định qua các ứng dụng ý nghĩa của chúng đối với lí thuyết tối ưu, lí thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng (xem [3]-[5],[8]-[10] và các tài liệu trích dẫn trong đó)

Tuy nhiên đối với nhiều sinh viên đại học, học viên cao học chuyên ngành Toán, các khái niệm này vẫn còn là những khái niệm trừu tượng, thậm chí là xa lạ, ngay cả việc tính toán các dưới vi phân trong các trường hợp cụ thể Vì vậy bài viết này nhằm mục đích giới thiệu các công cụ quan trọng này của Giải tích không trơn

Trong bài viết này, chúng tôi đề cập tới khái niệm dưới (trên) vi phân Fréchet-một trong những khái niệm bán vi phân đơn giản nhất của hàm liên tục n biến, tập hợp những tính chất, đặc trưng cơ bản nhất để giúp cho người đọc hiểu sâu sắc về chúng và để vận dụng trong việc tính toán cụ thể Các phép toán về dưới vi phân Fréchet cũng như những liên hệ của dưới vi phân Fréchet với các loại dưới vi phân khác có thể tìm thấy trong [2,8-10]

2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1 Bán vi phân của hàm liên tục

Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu thông dụng sau đây: ¡ n là không gian Euclide n chiều, với tích vô hướng và chuẩn thông thường

1

n

i i i

x y x y



 , 2

1

| |

n i i



  ,  x ( , ,x1 x n),y( , ,y1 y n)¡ n;

Ω¡ n là một tập mở, e là véc tơ đơn vị của trục i x i,1 i n B x r; ( , ) là hình cầu mở tâm x bán kính r0 và B x r( , ) là hình cầu đóng tâm x bán kính r 0 Nếu u khả vi

1

TS, Trường ĐHSP Hà Nội 2

2

ThS, Trường Đại học Quảng Bình

(Fréchet) tại xΩ thì đạo hàm của u tại x được kí hiệu là 1 1

lượt là tập hợp tất cả các hàm liên tục, khả vi liên tục, khả vi liên tục và có giá compact trong

Ω

Định nghĩa 2.1: ([3], trang 28) Cho uC(Ω) Ta gọi các tập hợp

y x

u y u x p y x

D u x

y x







y x

u y u x p y x

D u x

y x







¡

lần lượt là trên vi phân và dưới vi phân của u tại xvà gọi dưới vi phân hoặc trên vi phân

là bán vi phân Nếu D u x ( )  (D u x ( ) )thì ta nói hàm u dưới khả vi (tương ứng, trên

khả vi) tại x

Ví dụ 2.1: Tính D u (0) với :u ¡ ¡ xác định bởi

1

( )

nÕu nÕu

x



 



Theo định nghĩa ta có pD u (0) khi và chỉ khi

      

nên D u (0) 

(0)

pD u khi và chỉ khi

        

do đó D u (0){0}

Nhận xét 2.1: Theo định nghĩa, để tìm bán vi phân, chúng ta cần tìm các giới hạn trên và

giới hạn dưới của các biểu thức tương ứng Tuy nhiên vấn đề này thường không đơn giản, nhất là đối với hàm nhiều biến số Vì thế chúng ta cần phải chỉ ra các đặc trưng cụ thể hơn

2.2 Một số tính chất, đặc trưng cơ bản của bán vi phân

Đầu tiên chúng ta quan tâm tới mối liên hệ giữa các bán vi phân và tính khả vi của u Kết quả này được chỉ ra trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 3.1: ([2], Lemma 1.8) Cho : Ωu ¡ là một hàm liên tục trên ¡ n Khi đó i) Nếu u khả vi tại x thì D u x ( )D u x ( ){Du x( )}

ii) Nếu D u x ( ) và D u x ( ) là các tập khác rỗng thì u khả vi tại x

Ví dụ 3.2: Tính dưới vi phân của hàm ( ) | |, u x  x x¡

Do u khả vi tại mọi x0,Du x( )1 nếu x0 và Du x  1 nếu x0 nên

D u x  nếu x0 và D u x ( ) { 1} nếu x0

Tại x0, tính trực tiếp bằng định nghĩa ta có D u (0) [ 1,1]

Ví dụ 3.2: Tính D u x ( ), biết u x( ) | | x 2x12 L x22

Do u khả vi trên ¡ n và

1

n

Du x  u L u  x nên D u x ( )D u x ( ){2 }.x Một trong những đặc trưng quan trọng của hàm khả vi tại một điểm là ta có thể xấp xỉ (địa phương) hàm đó với một đa thức bậc nhất Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta đặc trưng tương tự của tính dưới (trên) khả vi Kết quả này được sử dụng khá phổ biến trong các ứng dụng (xem [8]), nhưng chúng tôi chưa thấy phát biểu cụ thể trong tài liệu nào Chứng minh dưới đây là của chúng tôi, bằng cách sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 3.1: ([7], Lemma 1.4) Cho φC(Ω) và φ khả vi tại x0Ω Khi đó tồn tại các hàm ψ và ψ sao cho ψC1(Ω), Dψ ( ) x0 Dφ( ),x0 ψ ( ) φ( ) x0  x0 và ψ φ, ψ φ trên B x r( , ) \ { }0 x với 0 r0 nào đó

Mệnh đề 3.2 Cho u là một hàm liên tục trên Ω Khi đó

i) pD u x ( ) khi và chỉ khi tồn tại δ 0 sao cho

u y u x p y x o yx  y B x

ii) pD u x ( ) khi và chỉ khi tồn tại δ 0 sao cho

u y u x p y x o yx  y B x

Chứng minh Giả sử pD u x ( ) Đặt η( )y ( ( )u y u x( )p y.( x)) , trong đó : max{ , 0}

f  f là phần dương của Theo giả thiết, ηC(Ω) và η khả vi tại y x và η( ) 0

1

ψC (Ω) sao cho ψ ( ) x η( ), ψ ( ) 0x D  x  và ψ η trên ( , ) \ { }B x r x với r0 nào đó Khi đó η ψ  đạt cực đại địa phương chặt tại x, (η ψ )( )  x 0 và

{ ( ) [ ( )u y  u x  p y.( x)]} ψ ( )  y   0, y B x r( , ) \{ }.x

Giả sử ( )u y u x( )p y(  x) o y(| x|), y B x( , δ) Khi đó ta có

nên

hay pD u x ( )

ii) Chứng minh tương tự i)

Tiếp theo là một đặc trưng khác của bán vi phân, kết quả này là cầu nối giữa lí thuyết bán

vi phân và lí thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng (xem [3])

Mệnh đề 3.3: ([3], Lemma 1.7]) Cho uC(Ω) Khi đó,

i) pD u x ( ) nếu và chỉ nếu tồn tại φC1(Ω) sao cho Dφ( )x  p và uφ đạt cực đại địa phương tại x;

ii) pD u x ( ) nếu và chỉ nếu tồn tại φC1(Ω) sao cho Dφ( )x  p và uφ đạt cực tiểu địa phương tại x

Định nghĩa 3.1: Cho n

X ¡ là một tập lồi, hàm u X: ¡ được gọi là một hàm lồi nếu:

u tx t y tu x  t u y x yX  t

Đối với các hàm lồi thì dưới vi phân Fréchet trùng với dưới vi phân theo nghĩa Giải tích lồi Kết quả này đã được nêu dưới dạng bài tập trong [3] (Exercise 1.3) Chứng minh dưới đây là của chúng tôi

Mệnh đề 3.4: Cho n

X ¡ là một tập lồi Nếu u là một hàm lồi trên X thì

Du x  p¡ u y u x p yx  y X

Chứng minh Đặt

  ¡     

Theo định nghĩa u x( ) và Mệnh đề 3.2 ta có u x( )Du x( )

Ngược lại, nếu pDu( ),x theo định nghĩa ta có

( ,δ)

δ 0

lim

Mặt khác, u là hàm lồi nên tồn tại δ 0 sao cho

( ,δ)

y B x

u y u x p y x

y x



ra ( )u y u x( )p y.( x)0,  y B x( , δ) hay

u y u x  p yx  y B x

t

y x

 

   



  thì (1t x ty)  B x( , δ). Vì u là một

hàm lồi nên

(1t u x) ( )tu y( )u((1t x ty)  )u x( )tp y( x),

và do đó

(1t u x) ( )tu y( )u x( )tp y( x) u y( )u x( )p y( x)

Ví dụ 3.3: Cho hàm u:¡ n ¡ xác định bởi u x( ) | x1||x2| |  x n|, với

1

x x x ¡ Tính Du(0) và Du x( )0 với x0 (0, 0,1, ,1){ n



Vì u là một hàm lồi nên theo Mệnh đề 3.4,

1 1

n

Lấy x(1, 0, , 0)¡ trong (3.1) ta cón 1 p1, lấy x ( 1, 0, , 0)¡ trong (3.1) ta n

có 1 p1, do đó  1 p11 Tương tự ta chỉ ra được  1 p i 1 với i1 n Vậy

1

nên (3.1) đúng với mọi x¡ n Vậy

1

Tiếp theo ta tính Du x( ).0 Lại theo Mệnh đề 3.4,

1 1 2 2

n



Lấy x(1, 0,1, ,1)¡ trong (3.2) ta có n n   1 n 2 p1, suy ra p11 Lấy

( 1, 0,1, ,1) n

x  ¡ trong (3.2) ta có n   1 n 2 p1, suy ra p1 1 Vậy  1 p11

x¡ lần lượt là (0,1, ,1) và (0, 1,1, ,1) ta có  1 p21

Lấy x(0, 0, 2,1, ,1)¡ trong (3.2) ta có n n   1 n 2 p3, suy ra p3 1 Lấy

(0, 0, 0,1, ,1)

x trong (3.2) ta có n   3 n 2 p3, suy ra p3 1 Vậyp3 1

Tương tự ta cũng chỉ được p i 1,i3, n Như vậy,

D u x  p p p ¡ p   i p  i n

Ngược lại, với p(p1, ,p n)¡ n,p i [ 1,1],i1, 2,p i 1,i3 n ta có (3.2) trở thành

         

(3.3) đúng Vậy:

D u x  p p p ¡ p   i p  i n

Tính Du( )x

Dễ thấy, u là một hàm lồi trên ¡ n Cố định n, 0

x¡ x

Đặt I {i u x: ( ) | x i|}{1, ,n} ta có I   và giả sử iI bất kì Ta có x k x i, k I

Theo Mệnh đề 3.4,

1 2

n

p D u x u y u x p y x y



      

¡

j I



i I



jI và y k x k t.sgn(x k) x i t.sgn( ),x i nếu kI.Với y này thì (3.4) cho ta

I k

k I



k

k I



k

k I



k I

k



t

yx t e    Nếu x i 0 thì: với t0, (3.4) sẽ cho ta p i 1; với t0, (3.4) sẽ cho ta p i1 nếu | | 1I  và p i 0 nếu | | 1I  (trong đó | |I là số phần tử

của tập I ) Nếu x i 0 thì: với t0, (3.4) sẽ cho ta p i  1; với t0, (3.4) sẽ cho ta

1

i

p   nếu | | 1I  và p i 0 nếu | | 1I 

Với chỉ số j I ta chọn y y với y k x k nếu k  j và y j x jt với t ( δ, δ) Khi

đó (3.4) trở thành |x i | | x i|t p j  0 t p j nên p j 0

Vậy ta có

( )

n

i I

D u x









Ngược lại, với p thuộc tập bên phải của (3.6) ta kiểm tra

I k i

k



h¡ sao cho | | δh  ta có (u xh)u x( h) trong đó h k h k nếu kI, h k 0

nếukI Khi đó (3.7) trở thành

k

I k

k



Ta có, do |x i| |x i| p ksgn(x k) p ksgn(x k) |x k| p k x k

0 0

        

Mà

I

k I



Vậy (3.8) đúng khi | | δh  Khi h bất kì thuộc ¡ n, h0, với mọi 0 min δ ,1 ,

| |

t

h

 

   

 

do tính lồi của hàm u và áp dụng (3.8) với h là th ta có

(1t u x) ( )tu x( h)u((1t x t x)  ( h))u x( )tp h

Do đó

tu xh tu x tp hu xh u x p h do t 

Vậy, (3.8) đúng với mọi h¡ n, do đó tại x0 ta có

( )

n

i I

D u x









¡

Giả sử x0 Theo Mệnh đề 3.4,

1 2

1

n

n

n

i





¡

¡

Dễ thấy p0 thỏa mãn bất đẳng thức trên Nếu p0 thì chọn y¡ xác định bởi n

1

n i i

p





1

n

n

i i



n

Vậy

1

n n i i



 ¡   Tiếp theo, chúng chỉ ra mối liên hệ giữa bán vi phân và các bán vi phân theo từng biến Kết quả này được nêu trong [3], Exercise 2.8 (a) Bài tập đó khẳng định hai chiều, tuy nhiên chúng tôi nhận thấy rằng phần đảo là không đúng (xem Ví dụ 3.5 dưới đây)

Mệnh đề 3.5: Cho uC(Ω) và e là véc tơ đơn vị thứ i của i ¡ n Các tập

| |

i i

t

D u x

t





0

|

i

|

i

D u x

t





gọi là trên vi phân và dưới vi phân của u theo biến x tại i x Khi đó, nếu

1

p p L p D u x thì p iD u x i i ( ), 1, ,n và nếu p(p1, ,p n)D u x ( ) thì

( ), 1, ,

p D u x i  n

Chứng minh Giả sử p(p1, ,p n)D u x ( ), theo định nghĩa ta có:

im

y x

u y u x p y x

y x





i

i i

u x te u x p t



nên

δ 0 ( ,δ) δ 0 | | δ

i

i

u x te u x p t

u y u x p y x

hay

0

| |

i

i

u x te u x p t

u y u x p y x





suy ra

0

| | im

i

i t

u x te u x p t

t



hay p iD u x i ( ) Phần còn lại của mệnh đề được chứng minh tương tự

:

1 2

u x  x x x với x( ,x x1 2)¡ 2 Do hàm u lồi nên pD u (0) | |x p x , x ¡ n. Chọn xp ta suy ra |p| 1.

Mặt khác, với mọi p(p p1, 2) sao cho | p| 1 , với mọi 2

1 2

x x x ¡ ta đều có | | | | | | | |

p x p x  p x  x Do đó D u (0)B(0,1)

Tương tự Ví dụ 3.1 ta có kết quả D u1 (0) [ 1,1] và D u2 (0) [ 1,1]

Do đó [ 1,1] [ 1,1]   B(0,1) Chứng tỏ chiều ngược lại của Mệnh đề 3.5 không đúng Hai mệnh đề sau đây cho chúng ta quy tắc tính bán vi phân của hàm trơn từng mảnh tại các điểm không trơn Đây là kết quả mà chúng tôi tách ra từ các kết quả về nghiệm nhớt trong [3], Proposition 2.9

Mệnh đề 3.6: (Dưới vi phân của hàm một biến trơn từng khúc)

Giả sử u liên tục trên khoảng (ah a, h), khả vi trên các tập (ah a, ], [ ,a ah)

nhưng không khả vi tạia Khi đó ta có:

D u a  u a  u a  và D u a ( )[ (u a ), (u a )],

trong đó ( )u a  và u a( ) là đạo hàm trái và đạo hàm phải của u tạia

Chứng minh Vì u có đạo hàm trái và phải tại a nên

( )

u y







     

  

    



nÕu

Do đó, nếu pD u a ( ) thì ta có ( )u y u a( )p y(  a) o y(| a|)

Suy ra khi ya ta có

u a u a y a o y a u a p y a o y a

u a p y a o y a







        



    

nên u a( ) p o y a(| |) u a( ) p

y a

Khi ya ta có

u a u a y a o y a u a p y a o y a

u a p y a o y a







        



    

nên u a( ) p o y a(| |) u a( ) p

y a

 

 Ngược lại, giả sử p[ (u a ), (u a )] từ (3.9) ta có với ya thì

y a



Với y a thì

y a



Do đó với mọi y (a h a, h) thì ( )u y u a( ) p y(  a) o y(| a|) hay pD u a ( )

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có D u a ( )[ (u a ), (u a )]

2

1 2 ( )

1

2

nÕu nÕu

u x



 



2

u



   (1 ) 1

2

u



2

2

D u  

Để mở rộng Mệnh đề 3.6 cho trường hợp nhiều chiều ta kí hiệu: Ω Ω 1Ω2Γ, trong

đó Ω (i 1, 2)

i là các tập con mở của Ω và Γ là một mặt cong trơn Gọi ( )T x , xΓ là siêu

phẳng tiếp xúc với Γ tại x và ( )n x là véc tơ pháp tuyến đơn vị của Γ hướng vào tập Ω1

Kí hiệu P P lần lượt là phép chiếu vuông góc trong T, N ¡ n lên ( )T x và lên không gian véc tơ

sinh bởi ( )n x

Mệnh đề 3.7: (Dưới vi phân của hàm trơn từng mảnh)

Cho uC(Ω) và hạn chế u trên i ΩiΓ nằm trong 1(Ωi Γ), 1, 2

T

i D u x P Du x  n x  Du x n x Du x n x x

T

ii D u x P Du x  n x  Du x n x Du x n x x

Chứng minh Việc chứng minh i) và ii) là tương tự Sau đây ta chứng minh ii)

(u u )( ( ))x t 0 với mọi t[0,1], trong đó (.)x là tham số hóa của đường cong trơn bất kì nằm trong Γ sao cho (0)x x

D u u x t x t   t

Đặc biệt, khi t0 ta có D u( 1u2)( ).τx   0, τ T x( ) Do đó

P Du x P Du x x

Tại xΓ, vì u u là các hàm khả vi trên 1, 2 Γ nên

u y u x  P Du x P Du x y x o yx  y B x  i

Do đó pD u x ( ) khi và chỉ khi

(P Du x T i( )P Du x N i( )).(y x) (P p T P p N ).(y x) o y(| x|), y B x( , δ). (3.10)

Lấy y x tτ với τT x( ) trong (3.10) ta nhận được

i

P Du x t P p o t   t

o t

P Du x P p

t

P Du x P p 

o t

P Du x P p

t

P Du x P p  Chứng tỏ ( i( ) ).τ 0

P Du x P p  với mọi τT x( ) hay

P pP Du x P Du x

Mặt khác, khiyΩ1, y x tn x( ) với t0 thì (3.10) cho ta

1

P Du x n x P p n x o t t

y y x tn x với t0 thì (3.10) cho ta

P p n x P Du x n x o t t

Mà P q n x N ( )q n x ( ) nên

T

D u x  q ¡ qP Du x  n x  Du x n x Du x n x  x

Ngược lại, giả sử

T

p q ¡ qP Du x  n x  Du x n x Du x n x

Khi đó (3.10) trở thành

N

P Du x  n x y x o yx

(3.11)

Rõ ràng (3.11) đúng khiy x tτ, τT x( ) Khi yΩ1, y x tn x( ) với t0 thì ta có

1

N

Du x n x



Khi yΩ2, y x tn x( ) với t0 thì ta có

2

N

Du x n x



nên (3.11) đúng

Ví dụ 3.7: Tính D u (0,1) và D u (0,1) biết u x( )(x2|x1|) , x( ,x x1 2)¡ 2 Ta có

2 1 2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 1

2 1 2 1 1

2 1

0 0

nÕu nÕu

nÕu

    







    



Điểm (0,1) nằm trên đường không trơn x10,x2 0 của u Ta đặt

2 1

¡

2 1

u x x x 2

2 1

u x x x Ta cóDu x1( ) ( 1,1), Du x2( )(1,1) nên

P Du x  P Du x và Du x n x1( ) ( ) 1, 2

( ) ( ) 1

Du x n x 

Do đó

Du     

      

và Du(0,1) 

3 KẾT LUẬN

Bài viết đề cập tới một số tính chất, đặc trưng cơ bản của các bán vi phân của hàm liên tục n biến, đặc biệt là các ví dụ cụ thể về tính các bán vi phân, giúp cho người đọc có thể tiếp