Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Rn, lp, Lp (p=1)

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỉ XX, hiện nay đã được xem như ngành toán trọng điểm..

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỉ XX, hiện nay đã được xem như ngành toán trọng điểm Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình vi phân

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được nội dung hết sức phong phú, gồm

- Lý thuyết không gian trừu tượng ( Không gian mêtric, không gian định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô )

- Lý thuyết toán tử tuyến tính

- Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng phương trình toán tử

- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên

Những phương pháp, kết quá mẫu mực và tông quát của giải tích hàm

đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ Ngoài ra nó còn ứng dụng trong vật lý

lý thuyết và trong một số lĩnh vực kĩ thuật

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài

“Dạng tổng quát của phiếễm hàm tuyễn tính liên tục trên không gian R`",

!,„L„ p>1,” Nghiên cứu đề tài này em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về các không gian hữu hạn và các không gian vô hạn chiều mà cụ thể là các không gian R",/,,L, p21 Tu do thém kiến thức về các vấn đề của giải tích, sự khác nhau của chúng trên không gian khác nhau, xét khía cạnh khác nhau

Nội dung khoá luận gồm 4 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian R"

Chương 3: Dạng tông quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian L, p>I1

Chương 4 Dạng tống quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L, p21

Do thời gian và năng lực có hạn, mặc dù em đã rất cố gang trong qua trinh

nghiên cứu nhưng đề tài không tránh khỏi những sai sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên giúp cho khoá luận của em

thêm hoàn thiện

Ngày 09 tháng 5 năm 2011

Sinh viên Nguyễn Thị Nhuệ

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 1 KIEN THUC CHUAN BỊ

1.1 CAC KHAI NIEM

Gia sử Z là một G -dai số những tập con của tập X

Hàm số H :Z—> [0,+© ) được gọi là độ đo trên Z nếu thoả mãn

3 Không gian độ đo

Bộ ba (X, Z /) trong đó Z7 là một ø - đại số, ¿là 1 độ đo trên Z X là

1 tập hợp gọi là không gian độ đo

4 Hàm số đo được

Giả sử ( X, Z) là không gian đo với Z7 là 1 ö - đại số các tập con của X,

Ae hàm: :X-> R R= j Ute gọi là đo được trên A đối với o - đại số

Z nếu Vae R:{xe A;fx)<a} € F

+ Nếu trên Z có độ đo ¿ thì ƒ đo đựơc trên A đối với ø - đại số Z hay

¿i - đo được

+ Nếu XeR*, Z ca", thì ta nói f(x) là đo được theo nghĩa Lebesgue

hay: đo được (L)

+Néu X = R‘ , ¥ =a‘, (6 - đại số Borel trong R*) thì ta nói f(x) do

duoc theo nghia Borel hay f(x) la 1 ham sé Borel

1.1.2 Không gian tuyến tính trên trường P

Giả sử P là trường số thực hoặc phức, tập X#@Ø cùng với 2 phép toán cộng và nhân vô hướng:

+ Phép cộng: XxX—>X

xy a x+y + Phép nhan: Px X > X

Axa ax gọi là không gian tuyến tính nếu thoả mãn các điều kiện sau:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

7 VẬ,ucP,VxeX:Â Mx = 1H x

§ d1eP,VxeX:x.l=x

1.1.3 Không gian định chuẩn

1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Ta gọi không gian định chuẩn, mọi không gian tuyến tính X trên trường

P cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu

Số ||x|| gọi là chuẩn của x Kí hiệu không gian định chuẩn là X

2 Hội tụ theo chuẩn

Day x, CX gọi là hội tụ tới phần tử x X nếu limlx, = x|= 0

Kíhiệu: limx, = x

3 Day co ban

Cho không gian định chuẩn X, dãy x, CX được gọi là dãy cơ bản

nếu lim nym |x, 7X m n =0

4 Không gian Banach

Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ

6 Toan tir tuyén tinh bi chan

Cho 2 không gian định chuẩn X va Y, toan tt tuyén tinh A:X > Y gọi

là bị chặn nếu 3 c>0, Vxe X:|A3|, < e|| vẻ 1.1

7 Chuẩn của toán tử

Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A là toán tử

tuyến tính bị chặn la: hằng số c nhỏ nhất thoả mãn 1.1 gọi là chuẩn

của toán tử A

Kí hiệu: |A|

8 Không gian liên hợp

Cho không gian định chuẩn X trên trường P, ta gọi không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp của không gian X

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

2 Không gian Hilbert

Ta gọi H#@Ø gồm các phần tử x,y,z, là không gian Hilbert nếu thoả

mãn các điều kiện sau:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P

2) H được trang bị một tích vô hướng

3) H là không gian Banach với chuẩn || = J ux VxeH

3 Toán tử liên hợp

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn, ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X được gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu Ax,y = x,By VxeX,yeY

Kí hiệu B=A'

1.2 CAC BO DE, DINH LY

1.2.1 Định lý Lebesgue về hội tụ bi chặn

Nếu ý, _ là một dãy hàm do được, hội tụ h.k.n đến một hàm ƒ đo được

trên A thì: ƒ khả tích trên A va lim | f,du= | fdu me

1.2.3 Định lý 4 mệnh đề tương đương về toán tử liên tục

Cho 2 không gian định chuẩn X và Y, toán tử tuyến tính A:X-> Y, bốn mệnh đề sau tương đương:

1) A liên tục

2) A liên tục tại 0

3) A liên tục tại x„eX

4_ A bị chặn

1.2.4 Nguyên lý thác triển Hahn - Banach

Mợi phiếm hàm tuyến tính liên tục ƒ xác định trên không gian tuyến tính con X,của không gian định chuẩn X X,#X đều có thé thác triển lên toàn bộ không gian X với chuẩn bắt kì tăng

Nghĩa là ton tai mot phiém hàm liên tục # xác định trên toàn bộ không gian

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Cho hai ham sé x t ,y t lag do duoc trén E va p= 1 sao cho:

flac’ du<+e, fly td <+to

Khi đó ta có bất đẳng thức tích phân sau:

[fh tt+yt Pan) (Jo t Pay) +{ fp t fan)’

CHƯƠNG 2

DANG TONG QUAT CUA PHIEM HAM TUYEN

TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN R' (w> 1)

2.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH R"

Cho tập hợp¡ "={x= (x, x, x,):*,€j¡ ,i= 1,2, ,n} ta dua vao hai phéptoán + cộng hai phần tửvà g nhân I phần tử với I số

lLxty= x+y, ,, Vx= x, = mel

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

=lx=x

( Tiên đề 8 thoả mãn )

Vay R" là một không gian tuyên tính thực với hai phép toán cộng và

nhân xác định trên

2.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN R"

Trên không gian R'" ta xét ánh xạ

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Áp dụng bất đắng thức Bunhiacovsky ta có

Says + Su

i=1 i=l i=l

© 3x +23 xởi +Š y) < Š yệ+2 Tỷ Sty i=l il el i=l i=l 1 i=l

eb axty’ (z+»]

i=l i=l

c© x x+y, "<< [ox + [xy

isl i=l i=l

Ta chi cần chỉ ra rằng một chuẩn bất kì p đều tương đương với chuẩn

Euclide là được Xét chuẩn

P:i i

x a px Giả sử é,, e, e, là cơ sở chính tắc của không gian tuyến tínhR"

2

Voi C= d\p ef =X pe i=l i=l

Gọi S= xe¡ “/|x|=1 Đặt z=inf p x

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vậy chuẩn p tương đương với chuẩn Euclide Do p là chuẩn bất kì nên mọi chuẩn trong R" đều tương đương với chuẩn Euclide Do đó hai chuẩn bất

ki trong R" luôn tương đương

2.3 KHÔNG GIAN BANACH R"

* Dinh lí 2.3.1

Không gian định chuẩn R" là không gian Banach

Ching minh

Do hai chuẩn bất kì trong R" đều tương đương nên ta chỉ cần chứng

minh R" là không gian Banach với chuẩn Euelide Từ đó ta kết luận R" là

không gian Banach với các chuẩn còn lại

Giả sử &, a là dãy co ban bất kì trong không gian R" với

ton tai k,, €¥" sao cho véi moi k>k,,: lx/ ~ x

Dat k, = max ky, Kopseskoy 013ˆ”023***9?2”0n 3 s€y = Xp sXyseees de on

—=limé, =é, km

Vậy ế, 7 hdi tu trong R" Do dé R" 14 khéng gian Banach

2.4 DANG TONG QUAT CUA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN R"

¡"=lš=Œ,,x, x,):*,€j ,Í= L2, m} nex' Giả sử trên không gian R" đã xác định một chuẩn | nào đó

Goi e,= ổ, ,i=1,2, n Với ổ, -Ă nee

>i fej" t i=l

Ngược lại với mỗi vectơ có định tuỳ ý ƒ= ƒ ”e R" tacé i isl

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 3

DANG TONG QUAT CUA PHIEM HAM TUYEN

TÍNH LIÊN TỤC TREN KHONG GIAN , (p> 1)

Với hai phan tir tuy y x= x, y= y, _€l,,@€; tuỳ ý ta định

nghĩa 2 phép toán cộng 2 phần tử và nhân 1 phần tử với một số như sau

|x,|+|y,|< 2max |x, y,| > Vn=1,2,

|x,|* |y,| ”<2" max |x, > y,| , <2’, |x, "+iyƑ Vn=1,2,

Dodd Vke N tacó

kx, + y, |’ <2"

n=1

n=1 x, |" + vị: =2(Šk n=1 k ; +I] VneN'

„=l

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vậy ï„ đóng đối với hai phép toán cộng và nhân xác định trên

© Ta kiểm tra 8 tiên đề của không gian tuyến tính

4.Vx= x, ° wil "ton tai phần tử —x=

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

3.1.3 Không gian định chuẩn TL,

* Bố đề 3.1.1 ( Bat dang thire Holder )

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vậy ánh xạ xác định bởi công thức trên là một chuẩn trên II

3.1.4 Không gian Banach / (1Sp < +0 )

Chứng minh

Giả sử é, n là dãy cơ bản bat ki trong I, trong do:¢,= x" el

Theo dinh nghia day co ban

= Tôn tại x, sao cho limx,” = x, no Vk =1,2

tir do ta thu được dãy x, © h

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

và |x-,j|< Vn>n,

Từ 3.9 va 3.10 chứng tỏ 7, là không gian Banach

Ve>0_ 3mcY`:Vm,n >n |, -ễ„|<£

hay sup|x," - x," I< é

=x," -x."|<suplx,” -x."|<e Vk=1,2 3.11

> x ‘ 1a day Cauchy trong j Vk=1,2,

= Tổn tại x, sao cho limy," = x, Vk=1,2, 3.12

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Từ đó ta thu được dãy x, 7 k=l

Với mỗi k cố định &= l1,2, ta có

ching to L, 14 khéng gian Banach

3.3 DANG TONG QUAT CUA PHIEM HAM TUYEN TINH LIEN TUC TREN KHONG GIAN ¡,

Với p > 1 không gian r ( gom tất cả các phiếm hàm liên tục trên không

gian /,) đẳng cấu với không gian 1, , trong do ot 1~ 1, 1< p<to,

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Thật vậy.Với mỗi w= u, °,€, thif, x =Du,x, Vx, “el, 3.15

n=l

la phiém ham tuyến tính liên tục trên /,

Thật vậy Chuỗi ở về phải của 3.15 hội tụ,Vx= x, ˆ,e1, n=l

Vx=x ` el, ,Vy= y, “€1,,Va,B ej ta có n n=l

f, axt+By = Yu, ax,+ By, = Yau,x, + > Buy,

n=l n=l ¡ml

=ưŠ`ux + ux,=øƒ, x+/ƒ, y

n=l n=1

> f, là phiém ham tuyến tính

Vx= x, _€1,, 4p dung bất đăng thức Holder n n=l

fx |= [Sma]= l= Dlmlbsis( Let (Sh!) <li ba,

=> f, bichin > f, 14 ham tuyến tính liên tục

Vay A la ánh xạ từ /„ vào Ï„

©_ Ta chứng minh A là đăng cấu tuyến tính

Va,pej ,Vx= x, el; Vu= u, “Wes Vv, n n=l el, Tacd

2 ® °

=> A là toán tử tuyến tinh

Khi đó Vx= x, „,€Í, có biêu diễn đuy nhất dạng x= Le,

Ta laicé f 1a phiém ham tuyến tính liên tục trên không gian /, suy ra

fx =s(Zae,}=s(timE n=l n=l xe, )=tim (Zee, ] n=l

=lim) xf ¢, =a ¢, n=l n=1

Datu= u, _,voiu,=f e, ,Vn=1,2,

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ta có ƒ, x =>) Hx,

Ta khảo sát tính chất của day u= u, na

Với mỗi NeX*

0 trong các trường hợp còn lại

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

* Định lí 3.3.2

Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian

1, khong gian J’ dang cau với không gian 1,

¢ Ta chimg minh rang A la anh xa tt /_ lên Ị

Với mỗi w= u, el, thi ƒ,x =ồwx, Vx, el, là phim

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

=> Au# Av => A là đơn cấu

Lay fell , Vn=1,2, Dat e= 6,”

J =l

L khi j=

Với ä.=| yen 7 |0 khi j#n Vn=1,2,

Khi đó Vx= +, nà el, có biếu diễn duy nhất dạng x= Ề`x„£,

Hay |A»|= || u= u n n=1 el,

Vậy A là đẳng cầu tuyến tính tir 1, vao I

Từ 3.22 va 3.23 =|/|=||,

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 4

DANG TONG QUAT CUA PHIEM HAM TUYEN

TINH LIEN TUC TREN KHONG GIAN L,

4.1 KHONG GIAN TUYEN TINH THUC L,

4.1.1 Dinh nghia

Cho không gian độ đo (E,Z ¿ ) Tập hợp L,(E,Z /) gồm tất cả các hàm số x £ đo được theo # trên E sao cho

faa’ du<+o,

4.1.2 Không gian tuyến tính thực L,

Dua và L„(E, ¿ ) hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử

với một số:

2 ax t =axt Vaej Vxt EL

với xf ,y t €L, duge coi la đồng nhất với nhau nếu x ? =y £ hầu khắp nơi (h.k.n) trên E

* Định lí 4.1.1

L„ cùng hai phép toán trên lập thành một không gian tuyến tính

4.2 Không gian định chuẩn L,

thành một không gian định chuẩn

( Tiên đê thứ nhât thoả mãn)

2.Vx t cL, E,u ,Vkej tacó

Ieal>| JIxx t an) = a t

( Tiên đề thứ hai thoả mãn)

'4,}Ÿ =|KIll

3.Vxt,yt eL, E,u

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

giast x= x f “ cL n n= ¡hy là dãy cơ ban

Theo định nghĩa dãy cơ bản

Ta nhận được thấy y, cL,y £>0,dãy y / không giảm do

đó tồn tại giới hạn đưới lim

Theo tinh chất bảo tồn thứ tự của tích phân “ Nếu ƒ khả tích trên A thì

ƒ hữu hạn h.k.n trên A”

>lim y,t ”<+œ h.kø trên E so

và

SX, =x, +) NT | s=1,2,

Z1

là dãy hội tụ tuyệt đối h.k.n trên E Do đó hội tụ h.k.n trên E

Gọi giới hạn của dãy đó là y / _, theo định nghĩa ta có

yt JJa¿=m[ x,.r [4¿<lim [[ y, ¢ |’ du<t0