Định lý không điểm hilbert

Lời cảm ơnTrước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏlòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm HàNội 2, các thầy cô trong bộ môn tổ Đại số cũng n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

======

VĂN NGỌC ÁNH

ĐỊNH LÝ KHÔNG ĐIỂM HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI, 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

======

VĂN NGỌC ÁNH

ĐỊNH LÝ KHÔNG ĐIỂM HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học: ThS Đỗ Văn Kiên

HÀ NỘI, 2019

Lời cảm ơnTrước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏlòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm HàNội 2, các thầy cô trong bộ môn tổ Đại số cũng như các thầy cô giảngdạy đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiệnthuận lợi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầygiáo - ThS Đỗ Văn Kiên, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ vàchỉ bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian, năng lực của bản thân nên khóa luậncủa tôi không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng

hộ, động viên tinh thần để tôi hoàn thành khóa luận này!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Văn Ngọc Ánh

Khóa luận tốt nghiệp "Định lý không điểm Hilbert" là côngtrình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu cùngvới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên.Trong quá trình thực hiện đề tài sử dụng một số tài liệu tham khảođược ghi rõ trong danh mục "Tài liệu tham khảo" Vì vậy tôi xin camđoan kết quả trong khóa luận này là hoàn toàn trung thực và khôngtrùng với kết quả của tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Văn Ngọc Ánh

Lời mở đầu 1

1.1 Vành đa thức trên một trường 2

1.2 Iđêan 6

1.2.1 Iđêan, các phép toán trên iđêan 6

1.2.2 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại 9

2 Tập đại số 11 3 Định lý không điểm Hilbert 23 4 Bài tập và vận dụng 29 4.1 Bài tập áp dụng 29

4.2 Bài tập đề nghị 32

Lời mở đầuĐại số là một trong những môn học cơ bản của chương trình đàotạo cử nhân Sư phạm toán học Nó cung cấp kiến thức và phương thức

tư duy thiết yếu cho việc học tập các học phần khác

David Hilbert (23 tháng 1 năm 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng

2 năm 1943, Gottingen, Đức) là một nhà toán học người Đức, đượccông nhận như là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng rộnglớn nhất của thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20 Ông thiết lập tên tuổi như là mộtnhà toán học và nhà khoa học vĩ đại bằng cách phát minh hay pháttriển một loạt các ý tưởng khác nhau Một trong số những ý tưởng ấy

là định lý nổi tiếng mang tên ông: "Định lý không điểm Hilbert" Đócũng chính là tên đề tài mà em đã chọn để thực hiện khóa luận tốtnghiệp này

Do thời gian có hạn và bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận

sẽ không tránh khỏi sai sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý củathầy cô để khóa luận được hoàn thiện hơn

Vành đa thức trên một trường

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về vành đa thức trênmột trường và về iđêan của một vành

Định nghĩa 1.1 Một tập k cùng với hai phép toán cộng và nhânđược gọi là một trường nếu nó là một vành giao hoán có đơn vị, cónhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch

Ví dụ 1.1 1) Q, R, C là các trường với các phép toán cộng và nhânthông thường

3 | a, b ∈ Q} là một trường

q | a, b ∈ Q} là một trường nếu p là một sốnguyên tố

Định nghĩa 1.2 Cho k là một trường Đặt

Trên k[x] ta trang bị hai phép toán

phép toán ở trên lập thành một vành, giao hoán, có đơn vị Mỗi phần

tử của k[x] gọi là một đa thức ẩn x, và vành k[x] được gọi là vành đathức một ẩn với hệ tử trên k

gọi là bậc của f (x), kí hiệu là degf (x)

Quy ước: đa thức 0 có bậc là −∞

Từ định nghĩa dễ dàng nhận được bổ đề sau

Bổ đề 1.1 Cho hai đa thức khác không f (x), g(x) ∈ K[x] Nếu f (x)+g(x) khác không thì

deg(f (x) + g(x)) 6 max{degf (x), degg(x)},deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x)

Định lý phép chia có dư dưới đây là cơ sở của thuật toán Euclid.Định lý 1.1 Cho f (x), g(x) ∈ k[x] trong đó g(x) 6= 0 Khi đó tồn tạiduy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) ∈ k[x] sao cho

f (x) = g(x)q(x) + r(x) với r(x) = 0 hoặc degr(x) < degg(x)

Trong định lý trên, q(x) được gọi là thương và r(x) gọi là dư củaphép chia f (x) cho g(x) Nếu dư của phép chia f (x) cho g(x) là 0 thì

ta nói rằng f (x) chia hết cho g(x) hay g(x) là ước của f (x)

thì ta nói α là nghiệm của f (x)

Hệ quả 1.1 (Định lý Bezout) Phần tử a ∈ k là nghiệm của đa thức

f (x) ∈ k[x] nếu và chỉ nếu tồn tại đa thức g(x) ∈ k[x] sao cho f (x) =(x − a)g(x)

Chứng minh Theo Định lý 1.1, ta có thể viết f (x) = (x−a)g(x)+r(x),

ở đó r(x) = 0 hoặc degr(x) = 0 Chia f (x) cho (x − a) ta được

r ∈ k Thay x = a vào đẳng thức ta được r = f (a) = 0 Suy ra

f (x) = (x − a)g(x)

Ngược lại là hiển nhiên

Cho m > 0 là một số nguyên Một phần tử a ∈ k được gọi là một

nghiệm đơn Nếu m = 2 thì a được gọi là nghiệm kép Nếu m ≥ 2 thì

a được gọi là nghiệm bội

Hệ quả 1.2 Phần tử a ∈ k là nghiệm bội m của f (x) ∈ k[x] nếu và

Chứng minh Giả sử a là nghiệm bội m của f (x) Vì f (x) chia hết cho

theo Hệ quả 1.1 ta có g(x) = (x − a)h(x) với h(x) ∈ k[x] và do đó

quy trên C

Định lý 1.2 Nếu một đa thức f (x) ∈ Z[x] bậc n > 1 bất khả quy trên

Z thì nó cũng bất khả quy trên Q

Định lý 1.3 (Tiêu chuẩn Eisenstein)

quy trong Q[x]

Định lý 1.4 Cho k là một trường, f (x) là đa thức khác hằng trongk[x] Khi đó f (x) luôn biểu diễn được thành tích của các đa thức bấtkhả quy trên k[x] Sự phân tích này là duy nhất nếu không kể thứ tựcác nhân tử bất khả quy và các hệ tử khả nghịch

Ví dụ 1.4 Mọi đa thức bậc 1 đều bất khả quy trong k[x].

Định nghĩa 1.6 Cho α là phần tử đại số trên k Gọi p(x) là đa thứcbất khả quy trên k nhận α là nghiệm Nếu hệ tử cao nhất của p(x)bằng 1 thì p(x) gọi là đa thức tối tiểu của α trên k

Vành đa thức chúng ta nói trong Định nghĩa 1.2 là vành đa thứcmột biến (ẩn) trên k Chúng ta hoàn toàn có thể thay k bởi một vànhgiao hoán, có đơn vị và bằng cách xây dựng tương tự chúng ta sẽ địnhnghĩa vành đa thức nhiều ẩn bằng qui nạp như sau

Định nghĩa 1.8 Cho A là một vành Tập I trong A được goi là mộtiđêan nếu 0 ∈ I và I thỏa mãn các điều kiện sau:

• f + g ∈ I với mọi f, g ∈ I

• hf ∈ I với mọi h ∈ A, f ∈ I.

Như vậy iđêan là tập đóng với phép cộng và phép nhân với mộtphần tử của vành Có thể thấy ngay iđêan là nhóm abel với phépcộng Tập chỉ gồm phần tử 0 là iđêan của A Tập này được gọi làiđêan không, ký hiệu cũng là 0 Vành A cũng là iđêan của A Chú ýrằng 1 ∈ I khi và chỉ khi I = A Các iđêan khác A được gọi là iđêanthực sự

Có thể thấy khái niệm iđêan mở rộng tính chia hết trong số học.Thật vậy, tập các phần tử chia hết cho một phần tử f trong A là tập

(f ) := {hf |h ∈ A}

Rõ ràng (f ) là một iđêan Iđêan này được gọi là iđêan chính sinh bởi

f Tổng quát hơn, với mọi hệ phần tử S trong A ta có thể coi tập sauđây là tập các phần tử chia hết cho S:

Có thể thấy ngay (S) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S Ta gọi (S)

là iđêan sinh bởi S Nhiều khi, ta còn dùng ký hiệu SA thay cho (S)

Dễ thấy rằng giao của mọi hệ iđêan và hợp của mọi hệ iđêan lồngtrog nhau cũng là iđêan Bên cạnh đó ta còn có thể định nghĩa tổng

và tích các iđêan như sau

Định nghĩa 1.9 Cho I và J là hai iđêan tùy ý trong A

Iđêan sinh bởi các phần tử của I ∪ J được gọi là iđêan tổng của I

và J , ký hiệu là I + J

Iđêan sinh bởi các tích f g với f ∈ I và g ∈ J được gọi là iđêan tíchcủa J, J , ký hiệu là IJ Dễ thấy rằng

(IJ )K = I(J K)(I + J )K = IK + J K

với mọi iđêan trong A

Với mọi iđêan I và mọi số nguyên r ≥ 0 ta còn có thể định nghĩaiđêan mũ

I

Định nghĩa 1.10 (1) Một iđêan thực sự I của một vành A được gọi

là iđêan nguyên tố nếu với mọi x, y ∈ A sao cho xy ∈ I thì x ∈ Ihoặc y ∈ I

(2) Một iđêan thực sự I của vành A được gọi là iđêan cực đại nếuvới mọi iđêan J của A sao cho J % I thì J = A

Đặc trưng của iđêan nguyên tố và iđêan cực đại được cho bởi mệnh

đề sau mà việc chứng minh nó là sơ cấp

Mệnh đề 1.1 Cho A là một vành, I là iđêan của A Khi đó

(i) I là iđêan nguyên tố của vành A khi và chỉ khi A/I là miềnnguyên

(ii) I là iđêan cực đại của vành A khi và chỉ khi A/I là trường

Hệ quả là mọi idêan cực đại đều là iđêan nguyên tố

Sự tồn tại của iđêan nguyên tố và cực đại nhờ bổ đề Zorn sau

Bổ đề 1.2 (Bổ đề Zorn) Một tập sắp thứ tự A 6= ∅ nào đó có tínhchất mọi tập con sắp thứ tự toàn phần đều có cận trên thì tập A có ítnhất một phần tử tối đại

Định lý 1.5 Mọi vành A khác rỗng có ít nhất một iđêan cực đại.Chứng minh Gọi S là tập tất cả các iđêan khác h1i của A và trang

bị quan hệ thứ tự bằng quan hệ bao hàm quen thuộc Ta có S 6= ∅ vì

phần tử của I (nghĩa là các i đêan khác (1)) sắp thứ tự toàn phần

Theo bổ đề Zorn, S chứa một phần tử cực đại Nhưng các phần tửcực đại của S, theo định nghĩa chính là các iđêan cực đại của A

Tập đại số

Chương này trình bày về tập đại số hay đa tạp affine, các tính chấtcủa tập đại số Mối quan hệ giữa tập đại số với iđêan định nghĩa của

nó Nội dung được trình bày chủ yếu theo [4]

Trong toàn bộ chương này cho k là một trường vô hạn Ta địnhnghĩa tập hợp

và gọi nó là một không gian affine n-chiều trên k Khi trường k là đã

phẳng affine

Đối tượng nghiên cứu chính của môn Hình học đại số là tập nghiệmcủa các hệ phương trình đa thức Ta gọi các tập này là tập đại số afinhay ngắn gọn hơn là tập đại số Khái niệm tập đại số không phụ thuộc

xác định theo tọa độ mới (β1, , βn) bởi công thức:

thức S thì các điểm của V trong tọa độ mới là nghiệm của hệ đa thức

Ta có thể dùng biến đổi tọa độ để đưa hệ đa thức S về một dạngđơn giản hơn

con của vành đa thức n Ta gọi tập hợp

là tập nghiệm của S hay tập không điểm của S, tức là mỗi phần tử

Đặc biệt, nếu f là một đa thức khác hằng thì Z(f ) được gọi là một

tương ứng)

Định nghĩa 2.2 (Tập đại số) Một tập V ⊆ An được gọi là một tập

Z(S1) ∪ Z(S2) = Z(S), ở đó S = {f.g|f ∈ S1, g ∈ S2}.

i∈I



S

i∈I

, với mọi j ∈ I ta cần

i∈I

S

có điều phải chứng minh

vành k[x1, , xn] Khi đó Z(S) = Z(I).

Chứng minh • Vì S ⊆ I nên Z(I) ⊆ Z(S) (bởi Mệnh đề 2.2)

f ∈ I = (S) ta có thể viết

a ∈ Z(I) Từ đó Z(S) ⊆ Z(I) Vậy Z(S) = Z(I)

Mệnh đề 2.5 chỉ ra rằng mọi tập đại số đều là nghiệm của một

(1) Z(I) ∪ Z(J ) = Z(I ∩ J ) = Z(IJ )

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.1 Theo các Mệnh đề 2.3, 2.4 hợp của hữu hạn các tậpđại số là một tập đại số và giao của một họ tùy ý các tập đại số làmột tập đại số, nên bằng cách coi mỗi tập đại số là một tập đóng ta

Zariski Chú ý rằng với tôpô này ta đã thấy mỗi tập đóng đều là giaocủa các tập đóng có dạng Z(f ) (Mệnh đề 2.1), vì vậy mỗi tập mở

mà lập thành một cơ sở của tôpô này

Tôpô Zariski này là tôpô khá yếu theo nghĩa ta không thể dùng haitập mở rời nhau để tách hai điểm khác nhau (tức là mỗi một tập mởchứa một điểm) Điều đó được thể hiện trong mệnh đề sau

mở khác rỗng

Chứng minh Theo Nhận xét 2.1, ta chỉ cần chứng minh D(f )∩D(g) 6=

∅ với mọi D(f ) và D(g) khác rỗng Thật vậy, theo định nghĩa tập mở,

Chứng minh Nếu n = 1 thì khẳng định là hiển nhiên bởi vì một đathức một ẩn khác 0 chỉ có hữu hạn nghiệm

dưới dạng

Ta có

là một đa thức một ẩn khác 0 nên đa thức này chỉ có hữu hạn

nghiệm Điều này mâu thuẫn với giả thiết f (a1, a2, , an) = 0 với

viết

Bao hàm ngược lại là hiển nhiên

Chứng minh Thật vậy, ta có:

(f − g)(a) = f (a) − g(a) = 0 − 0 = 0

f (a) = 0, suy ra

(g.f )(a) = g(a)f (a) = g(a).0 = 0

sao cho Z(J ) ⊇ V Khi đó, với mọi f ∈ J và với mọi a ∈ V Ta có

a ∈ V ∩ W ⊆ V, W Ta có a ∈ V và a ∈ W nên f (a) = 0 và g(a) = 0

Nhận xét 2.2 Dấu đẳng thức trong khẳng định 3) nói chung không

Do đó

đại số chứa V Ta gọi V là bao đóng đại số của V

Nhận xét 2.3 • Vì giao của một họ tùy ý các tập đại số là một ập

Ngược lại, vì V là tập đại số nên tồn tại iđêan J sao cho V = Z(J )

Định nghĩa 2.5 Một tập đại số V 6= ∅ được gọi là bất khả quy nếu

đại số bất khả quy Thật vậy:

tập đại số

Định lý sau cho ta một đặc trưng của tập đại số bất khả quy

iđêan nguyên tố

Bây giờ vì V là một tập đại số nên Z(IV) = V Khi đó Z(I1∩ I2) =

Định lý không điểm Hilbert

Chương này được trình bày dựa trên [4], đề cập đến một số định lýquan trọng trong hình học đại số là định lý nghiệm yếu Hilbert, định

lý không điểm Hilbert và một số hệ quả của nó

Định nghĩa 3.1 Cho k là một trường Ta gọi k là trường đóng đại

số nếu mọi đa thức bậc dương trong k[x] đều có nghiệm trong k, tức

là mọi đa thức bậc dương đều viết được thành tích của các nhân tửtuyến tính trong k[x]

Bổ đề 3.1 Cho I 6= 0 là một iđêan của k[x] Khi đó I = (g) với mọi

trong Q ta có thể tìm thấy một lũy thừa cm sao cho

với v là đa thức có hệ số trong Q và deg v < deg g

Chứng minh Đặt r = deg f và s = deg g Nếu r < s thì ta có thểchọn m = 0, h = 0 và v = f Nếu r ≥ s thì ta xét đa thức

với v là đa thức có hệ số trong Q và deg v < s Từ đây suy ra

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Để chứng minh định lý nghiệm yếu Hilbert, ta nhắc lại Bổ đề Zariskitrong lý thuyết trường

Bổ đề 3.3 (Zariski) Cho F ⊇ k là một mở rộng của trường k saocho F là k-đại số hữu hạn sinh Khi đó F là một mở rộng bậc hữuhạn trên k

Hệ quả 3.1 Cho k là một trường, A là k-đại số hữu hạn sinh và m

là một iđêan cực đại của A Khi đó nếu k là trường đóng đại số thì

Zariski, A/m là mở rộng bậc hữu hạn và do đó là mở rộng đại số trên

k Nhưng k là trường đóng đại số, vì vậy k = A/m

Định lý 3.1 (Định lý nghiệm yếu của Hilbert) Nếu k là một trường

là Z(I) 6= ∅

sao cho I ⊆ m Từ đó Z(I) ⊇ Z(m) Do đó ta chỉ cần chỉ ra Z(m) 6= ∅

Vì m là iđêan cực đại và k là trường đóng đại số nên theo Bổ đề3.1 ta có

m

∼

= k,

tức là tồn tại đồng cấu

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Định lý 3.2 (Định lý không điểm Hilbert) Cho k là một trường đóng

I

nghiệm trong An+1 Gọi (α1, , αn+1) ∈ Z(J ) là một nghiệm trong J

cho ta có thể viết

với v ∈ (S) Vì vậy

Đây chính là Định lý nghiệm yếu của Hilbert

2) Nếu bỏ điều kiện k là đóng đại số thì kết quả vẫn có thể đúng(xem Bài tập 4.1)

Hệ quả 3.2 Các khẳng định sau là đúng

2) Nếu k là trường đóng đại số và I là iđêan nguyên tố thì IZ(I) = I

và Z(I) là tập đại số bất khả quy

3) Nếu k là trường đóng đại số thì tập tất cả các iđêan cực đại của

Bài tập và vận dụng

Trong toàn bộ chương này ta vẫn xét k là một trường vô hạn (cóthể không đóng đại số)

Bài tập 4.1 1) Cho k là một trường (có thể không đóng đại số), p

và q là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng

Vậy Z là một tập đại số

Bằng tính toán trực tiếp ta có

Đẳng thức cuối cùng là do đa thức xq − yp bất khả qui trên k nên

Trong mỗi trường hợp hãy tìm tập đại số Z(I)

Lời giải 1) Với mọi f, g ∈ k[x, y] sao cho f g ∈ I Bằng thuật toán

αβ ∈ I Do đó αβ = 0 Ta nhận được α = 0 hoặc β = 0, tương ứngvới f ∈ I hoặc g ∈ I Vậy I là nguyên tố

Ta có Z(I) = {(a, b)}

k[x, 1/x] Do k[x, 1/x] là một miền nguyên nên I là nguyên tố

Ta có Z(I) = {(a, 1/a) | a ∈ k}

nguyên tố Tập đại số Z(I) là đường tròn đơn vị

4) Với mọi f, g ∈ k[x, y, z] sao cho f g ∈ I Ta viết

Lời giải 1) Bằng định nghĩa dễ thấy rằng

Ta nhận được điều phải chứng minh.

Bài tập 4.4 Cho k là trường không đóng đại số Chứng minh rằng

là iđêan cực đại

Thật vậy, nếu I ⊆ J , J 6= R[x] Vì R[x] là vành chính nên J =

có một nghiệm trong R[x] suy ra mâu thuẫn

là bất khả qui nhưng tập đại số Z(f ) không là bất khả qui

Bài tập 4.7 Cho f và g là hai đa thức bậc dương trong k[x, y] saocho f, g không có ước chung Chứng minh rằng giao của hai đường