Luận văn sư phạm Định lý không thể có được của Abel

Bùi V Ng c N ng K30G 2 – Toán

L i c m n

Em xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n toƠn th các th y cô trong khoa Toán, các

th y cô trong t i s , nh ng ng i đã t n tình d y d , giúp đ em trong b n n m h c

v a qua c ng nh đã t o đi u ki n cho em trong quá trình hoƠn thƠnh khoá lu n

c bi t, em xin bƠy t lòng bi t n sơu s c đ n th y Nguy n Huy H ng, ng i đã

tr c ti p h ng d n, ch b o vƠ đóng góp nhi u ý ki n quí báu trong th i gian em th c

Bùi V Ng c N ng K30G 3 – Toán

L i cam đoan

K hoá lu n nƠy lƠ k t qu c a b n thơn em trong quá trình h c t p vƠ nghiên c u

Bên c nh đó, em đ c s quan tơm t o đi u ki n c a các th y cô giáo trong khoa

Toán, đ c bi t lƠ s h ng d n t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng

Trong quá trình nghiên c u hoƠn thƠnh b n khoá lu n, em có tham kh o m t s tƠi

li u đã ghi trong ph n Tài li u tham kh o

Em xin cam đoan k t qu c a đ tƠi “ nh lí không th có đ c c a Abel ”

không có s trùng l p c ng nh sao chép k t qu c a các đ tƠi khác

N u sai, em xin hoƠn toƠn ch u trách nhi m

Ng i cam đoan

Sinh viên

Bùi V Ng c N ng

Bùi V Ng c N ng K30G 4 – Toán

M c l c

Trang

L i nói đ u……… 1

Ch ng 1: Nh ng ki n th c b tr ……… .4

1.1 Nhóm- Vành- Mi n nguyên- Tr ng……… .4

1.2 a th c ………..6

1.3 Nhóm s ………..9

1.4 M t s khái ni m b tr khác……… 12

Ch ng 2: nh lí không th có đ c c a Abel……….14

2.1 M t s đ nh lí b tr ……… 14

2.1.1 B đ Abel……….14

2.1.2 nh lí Gauss……… 15

2.1.3 nh lí Schoenemann……… 17

2.1.4 nh lí Sturm……… 18

2.1.5 nh lí Waring………19

2.1.6 nh lí b t kh qui c a Abel……….19

2.1.7 nh lí 2.1.7……… 21

2.1.8 nh lí 2.1.8……… 23

2.2 nh lí b t kh qui c a Abel……… 25

2.2.1 B đ ……… 26

2.2.2 nh lí Kronecker……… 28

K t lu n……… 33

TƠi li u tham kh o……… 34

Bùi V Ng c N ng K30G 5 – Toán

L i nói đ u

B môn đ i s có m t v trí quan tr ng trong Toán h c Tr c đơy,

nói đ n đ i s lƠ nói đ n vi c gi i ph ng trình LoƠi ng i đã bi t gi i

ph ng trình b c m t t tr c Công nguyên vƠ đ n th i kì Ph c h ng,

kho ng th k 16 sau Công nguyên, cùng v i s ra đ i c a s ph c ng i

ta đã đ a ra đ c công th c nghi m c a các ph ng trình đ i s t ng quát

có b c không v t quá b n Các k t qu trên đã t o ra đ ng l c thôi thúc

các nhƠ toán h c c a nhi u th k đi tìm công th c nghi m t ng quát c a

các ph ng trình đ i s b c n m

Trong công cu c tìm ki m đó ph i k đ n nhƠ V t lý ng i ý Paolo

Ruffini (1765 – 1822) , ông đã nhìn nh n v n đ theo chi u h ng ng c

l i vƠ nh n ra r ng vi c đi tìm các công th c nghi m c a các ph ng

trình t ng quát có b c l n h n ho c b ng n m lƠ không th , theo ông: “

Nh ng ph ng trình cao h n b c b n nói chung không có phép gi i đ i

s ” Ruffini đã đ a ra đ nh lí nƠy l n đ u tiên trong cu n sách Teoria

generale delle equazioni c a mình, đ c xu t b n Bologna vƠo n m

1798 Tuy nhiên, ch ng minh c a ông không đ y đ

Ph i đ n n m 1826 ch ng minh đ y đ đ u tiên c a đ nh lí nƠy m i

đ c đ a ra trong t p m t c a cu n Crelle’s Journal fur Mathematik b i

nhƠ toán h c tr ng i Na Uy Niels Henrik Abel (1802 – 1829) Ch ng

minh ti p theo c a đ nh lí không th có đ c c a Abel d a trên m t đ nh

lí c a Kronecker đ c xu t b n vƠo n m 1856 trong cu n Monatsberichte

der Berliner Akademie

Sau này, d a trên k t qu đó, E.Galois (1811 – 1832) đã ch ra đi u

ki n đ đ i v i m t ph ng trình b t kì cho tr c, t n t i công th c tính

Bùi V Ng c N ng K30G 6 – Toán

nghi m c a nó C ng t đó tr đi, lý thuy t ph ng trình không còn đóng

vai trò ch đ o trong b môn i s n a mƠ đ i t ng c a phơn môn nƠy

lƠ nhóm, vƠnh, tr ng,

Có th nói, đ nh lí không th có đ c c a Abel lƠ m t đ nh lí quan

tr ng, đánh d u b c ngo t l n trong l ch s phát tri n i s

Tuy nhiên cho đ n nay, Vi t Nam, tƠi li u v đ nh lí trên ch a

nhi u, ch ng minh c a đ nh lí nƠy c ng m i ch lƠ b n d ch d ng “thô”,

ch a đ c trình bƠy m t cách rõ rƠng, h th ng hoá đ y đ vƠ ngôn ng

ch a th t trong sáng

V i nh ng lí do trên, em đã m nh d n l a ch n đ tƠi: “ nh lí

không th có đ c c a Abel ” nh m trình bƠy l i m t cách t ng minh vƠ

có h th ng, c s ch t ch n i dung ch ng minh c a đ nh lí quan tr ng

này

N i dung khoá lu n g m 2 ch ng l n:

Ch ng 1 : Nh ng ki n th c b tr

Ch ng 2 : nh lí không th có đ c c a Abel

Trong đó, Ch ng 1 dành cho vi c trình bƠy lý thuy t b tr liên

quan v lý thuy t tr ng, v đa th c, v nhóm s vƠ nh ng khái ni m

ph c v cho các ch ng minh phía sau,

Ch ng 2 dƠnh đ đ a ra các đ nh lí b tr lƠm ti n đ ,

c n c c s cho vi c ch ng minh đ nh lí Kronecker, đ nh lí Kronecker

đ c ch ng minh thì đ ng th i đ nh lí không th có đ c c a Abel c ng

đ c ch ng minh

Ph ng pháp nghiên c u c a đ tƠi lƠ đ c tƠi li u vƠ trao đ i kinh

nghi m

M t phép toán hai ngôi “ * ” trong m t t p h p X

đ c g i lƠ k t h p n u vƠ ch n u (x*y)*z = x*(y*z) ,  x, y, z  X; là

giao hoán n u vƠ ch n u ta có x*y = y*x ,  x, y X

M t b ph n A c a X g i lƠ n đ nh (đ i v i phép

toán “ * ” trong X ) n u vƠ ch n u x*y A, x, y A Khi đó, phép

toán “ ** ” xác đ nh trong b ph n n đ nh A b i quan h x**y = x*y,

 x, yA g i lƠ phép toán c m sinh trên A b i phép toán “ * ” c a X

Ng i ta th ng kí hi u phép toán c m sinh nh phép toán c a X

nh ngh a 1.1.2 Cho “ * ” lƠ m t phép toán hai ngôi trên t p h p

X M t ph n t e c a X g i lƠ m t đ n v trái c a phép toán “ * ” n u vƠ

ch n u e*x = x , xX; lƠ m t đ n v ph i c a phép toán “ * ” n u vƠ

nh ngh a 1.1.3 Cho X lƠ m t t p h p khác  , “ * ” lƠ phép toán hai

ngôi trên X ( X, *) đ c g i lƠ nhóm n u

i) x, y, z X : (x*y)*z = x*(y*z) ,

ii)  eX, xX: e*x = x*e = x ,

iii)x X, x’X: x*x’ = x’*x = e

Bùi V Ng c N ng K30G 9 – Toán

nh ngh a 1.1.4 Cho X lƠ m t t p h p khác  Trên X, ta xác đ nh

hai phép toán +,  X lƠ m t vƠnh n u

i) (X, +) lƠ m t nhóm giao hoán ,

ii) Phép  có tính ch t k t h p ,

iii) Phép  phơn ph i v i phép +

N u phép  có thêm tính ch t:x, yX, x  y = y  x thì (X, +,)

lƠ m t vƠnh giao hoán

N u phép  có thêm tính ch t : e X sao cho x X đ u có:

x e = e  x = x

thì ( X, +,) đ c g i lƠ vƠnh có đ n v

nh ngh a 1.1.5 Cho X lƠ m t vƠnh a  X\{0} đ c g i lƠ m t

c c a không n u bX\{0} sao cho ab = 0

M t vƠnh giao hoán có đ n v , không có c c a

không đ c g i lƠ m t mi n nguyên

nh ngh a 1.1.6 Cho X lƠ m t t p h p khác  (X, +, ) đ c g i

lƠ m t tr ng n u

i) (X, +) lƠ m t nhóm giao hoán,

ii) (X\{0}, ) là nhóm giao hoán ,

iii) Phép  phơn ph i v i phép +

Nói m t cách ng n g n: tr ng lƠ m t mi n nguyên mƠ trong đó

m i ph n t khác không đ u có ph n t kh ngh ch

Cho X lƠ m t tr ng, A lƠ m t b ph n c a X n

đ nh đ i v i hai phép toán trong X A lƠ m t tr ng con c a tr ng X n u

A cùng v i hai phép toán c m sinh trên A lƠ m t tr ng, vƠ khi đó X đ c

g i lƠ m t m r ng c a tr ng A Kí hi u X

A ho c X A M i tr ng đ u

có ít nh t m t tr ng con lƠ chính nó

Bùi V Ng c N ng K30G 10 – Toán

nh ngh a 1.1.7 M t tr ng không có tr ng con nƠo khác ngoƠi chính

nó đ c g i lƠ m t tr ng nguyên t

nh ngh a 1.1.8 Cho tr ng K b t kì v i ph n t đ n v lƠ e N u n là

s t nhiên bé nh t, n ≠ 0, sao cho b i ne b ng 0 thì n đ c g i lƠ đ c s c a

tr ng K, kí hi u lƠ Char(K) Trái l i, ta nói K có đ c s 0

h t, ch có m t s các thƠnh ph n h u h n không b ng 0} Trên A, ta xác đ nh

hai qui t c sau:

T p A cùng hai qui t c + vƠ  trên l p thƠnh m t vƠnh giao hoán có

đ n v , vƠ đ c g i lƠ vƠnh đa th c Các ph n t c a nó đ c g i lƠ các đa

th c.

(0,0,1,0, ,0, ) (0,0,0,1,0, ,0, )

x x

Ta g i x lƠ n n lƠ m t đa th c đ c bi t

nh ngh a 1.2.3: Cho vƠnh đa th c A.    A, gi s

1 Tích c a hai đa th c P(x) vƠ R(x) lƠ m t đa th c Q(x) vƠ

degQ(x)  degP(x) + degR(x)

2 T ng (hi u) c a hai đa th c P(x) vƠ R(x) lƠ m t đa th c Q(x)

và

degQ(x)  Max[degP(x); degR(x)]

nh ngh a 1.2.4 Gi s A lƠ vƠnh con c a vƠnh X vƠ P(x) A[x]

trong đó 0, 1, , n lƠ nh ng nghi m c a đa th c

nh lí 1.2.2 M i đa th c b c n (n฀ *) đ u có không quá n nghi m

f x a x a  x   a x a

(ai tr ng K, n ฀ ) a th c f(x) K[x] đ c g i lƠ đa th c kh qui

trong K[x] hay trên K n u t n t i hai đa th c g(x), h(x) K[x] sao cho:

i) 1 ≤ deg g(x), deg h(x) ≤ deg f(x)

ii) f(x) = g(x).h(x)

M t đa th c không kh qui đ c g i lƠ m t đa th c b t kh qui

Bùi V Ng c N ng K30G 13 – Toán

nh ngh a 1.2.6 : Cho P lƠ tr ng nguyên t , n฀ *, n không chia

h t cho Char(P) Ta g i lƠ c n đ n v , nghi m c a đa th c ( )f x xn 1

Hai nhóm đ c g i lƠ b ng nhau khi m i s c a

nhóm nƠy c ng thu c nhóm kia

Ví d 1.3.1 : Nhóm đ n gi n nh t bao g m t t c các s h u t ,

nhóm R các s h u t hay mi n h u t t nhiên

nh ngh a 1.3.2 : M t hàm f(x) hay m t ph ng trình f(x) = 0 trong

m t nhóm lƠ m t hƠm hay ph ng trình mƠ các h s c a nó lƠ các s

thu c nhóm đó M t đa th c trong R đ c hi u lƠ hƠm h u t nguyên

trong m t nhóm R đ c g i lƠ b t kh qui trong nhóm nƠy tùy theo F(x) có

chia h t cho m t tích c a các đa th c b c th p h n trong R hay không

Bùi V Ng c N ng K30G 14 – Toán

= ( x   5 3 2)( x   5 3 2)

nh ngh a 1.3.3 : Cho X lƠ m t t p h p khác  Ta g i lƠ m t phép

th trên t p X, m t song ánh trên t p X T p các phép th trên X đ c kí

11

th nƠy lƠ m t hƠm h u t c a  v i các h s t R vƠ có th đ c vi t

là  =( )/( ) , trong đó  và  lƠ các đa th c v i h s trong R

,…, sao cho ta có th vi t      ( ) / ( ) , trong đó  và  là các

đa th c trong R có b c không l n h n (n-1)

không lƠ lu th a a c a m t R _s , vƠ phép th  vào trong R ,

sao cho nhóm A =R () đ c t o ra;

2 Xác đ nh = b A là c n b c b c a m t A _s A, tuy nhiên đó

không lƠ lu th a b c a m t A _s , vƠ phép th  vào trong A ,

sao cho nhóm = A ( ) =R ( ,)đ c t o ra;

3 Xác đ nh  c B là c n b c c c a m t _s B, tuy nhiên đó

không lƠ lu th a c c a m t _s , vƠ phép th  vào trong,

sao cho nhóm M = ( ) =R ( , , ) đ c t o ra; v.v… cho

đ n khi các phép th liên ti p nƠy c a các c n th c    , , … cu i

cùng d n đ n m t nhóm mƠ w, là c n tìm đ c, thu c vƠo nhóm

đó vƠ trong đó f(x) tr thƠnh kh qui ( vì f(x) có c s (x-w))

Bùi V Ng c N ng K30G 16 – Toán

đơy gi đ nh r ng t t c các s m c n a,b,c… lƠ các s nguyên t

i u nƠy không th hi n s h n ch vì b t kì s khai c n nƠo v i

các s m lƠ h p s đ u có th đ c thu g n t i khai c n liên ti p

NhƠ toán h c ng i Pháp Charles Sturm (1803 - 1855) đã đ a ra

ph ng pháp gi i bƠi toán đ i s quan tr ng : “Tìm s nghi m th c c a

m t ph ng trình đ i s v i các h s th c trên m t kho ng đã cho” b ng

m t cách gi i đ n gi n đáng ng c nhiên, mƠ trong đó, có liên quan t i

khái ni m “Chu i Sturm”

Cho f(x) = 0 lƠ m t ph ng trình đ i s mƠ t t c các nghi m c a

nó lƠ đ n Khi đó, đ o hƠm f x '( ) c a f(x) không tri t tiêu t i các nghi m

nƠy vƠ c s chung l n nh t c a hƠm f(x) vƠ f x '( ) lƠ m t h ng s K

khác 0 Ta dùng thu t toán chia đ tìm c s chung l n nh t c a f(x) vƠ

 , không tri t tiêu t i b t c đi m nƠo trong kho ng đã cho vƠ b i v y

có cùng d u trên toƠn b kho ng đó

Khi đó, các hƠm f f f0, 1, 2, , fs t o thƠnh m t “chu i Sturm” vƠ đ c

g i lƠ các hàm Sturm

Các hƠm Sturm có ba thu c tính sau :

1 Hai hƠm c nh nhau không đ ng th i tri t tiêu t i m t đi m nƠo đó

thu c kho ng đang xét

2 T i m t đi m b ng không c a hƠm Sturm (t c lƠ t i đi m đó, hƠm

Sturm b tri t tiêu), hai hƠm bên c nh nó có d u khác nhau

3 Trong m t lơn c n đ nh c a đi m b ng không c a hƠm f x0( )thì

f x f x f x f x ta thu đ c m t chu i d u Sturm (Tuy nhiên,

đ thu đ c m t d u rõ rƠng, ta ph i gi đ nh r ng không m t trong (s +1

) giá tr hƠm nƠo đã kí hi u lƠ b ng không)

Chu i d u nƠy s ch a dãy d u ( + + vƠ - - ) cùng nh ng thay đ i d u

( + - và - +)

Ta s xem xét s Z(x) nh ng thay đ i d u trong chu i d u vƠ nh ng

thay đ i mƠ Z(x) tr i qua khi x ch y trên kho ng đang xét S thay đ i ch

x y ra khi x đi qua m t đi m b ng không c a f(x), vƠ khi đó chu i có

đúng m t s thay đ i d u

Bùi V Ng c N ng K30G 18 – Toán

Ch ng 2

đ nh lý không th có đ c c a abel

Ch ng minh c a đ nh lí không th có đ c c a Abel đ c đ a ra d a

trên khá nhi u các đ nh lí, b đ khác Do đó, đ thu n ti n, tr c tiên, ta

s dƠnh m t ph n đ trình bƠy m t s k t qu quan tr ng b tr cho vi c

Rõ rƠng K lƠ m t s thu c R _s MƠ theo gi thi t C không lƠ lu

th a p c a m t s thu c R _s i u nƠy d n t i mơu thu n

Mơu thu n nƠy ch ng t gi s sai hay ph ng trình p

c Z ,i1,N, N  ฀ * N u f(x) đ c phơn tích thƠnh tích hai đa th c:

Bùi V Ng c N ng K30G 21 – Toán

Do F     ( U  u V v ).(  )

 u v F U V uV U v     .

Vì v ph i lƠ m t đa th c mƠ t t c các h s c a nó đ u chia h t cho

p, trong khi v trái lƠ m t đa th c mƠ t t c các h s c a nó đ u không

chia h t cho p , nên đi u nƠy d n t i mơu thu n

Mơu thu n đó ch ng t a b0 0 không có c nguyên t nƠo, mƠ a b0, 0

Bùi V Ng c N ng K30G 22 – Toán

Theo đ nh lí Gauss, ,

i j

a b lƠ các s nguyên Nhơn các bi u th c  ( ) x và  ( ) x v i nhau, vƠ đ i chi u v i f(x) ta thu

“Cho ph ng trình f(x) = 0 , v i các h s th c, tho mãn đi u ki n:

các nghi m th c c a ph ng trình nƠy lƠ đ n trên kho ng [a,b] sao cho

f(a).f(b) ≠ 0 Khi đó s nghi m th c c a ph ng trình f(x) = 0 b ng hi u

s gi a s l ng nh ng thay đ i d u c a các chu i d u Sturm đã hình

thƠnh cho nh ng đ u mút c a kho ng đó.”

ng d ng: Xác đ nh s nghi m th c c a ph ng trình

Hi u s gi a s l ng nh ng thay đ i d u c a các chu i Sturm đã hình

thƠnh cho hai đ u mút  và  lƠ 3 , do đó ph ng tình nƠy có ba ngi m

th c, vƠ hai nghi m còn l i lƠ hai nghi m ph c ฀

2.1.5 nh lí Waring

Trong lý thuy t s , đ nh lí Waring đ c đ x ng vƠo n m 1770 b i

Edward Waring Ông đã ch ra r ng: v i m i s t nhiên k, luôn t n t i s

nguyên d ng s sao cho m i s t nhiên đ u lƠ t ng c a nhi u nh t s s

h ng lu th a k,

1

m k i i

x a



  ( m  s )

Bùi V Ng c N ng K30G 24 – Toán

Ví d , m i s t nhiên đ u lƠ t ng c a nhi u nh t 4 s bình ph ng,

ho c 9 s l p ph ng ho c 19 s h ng lu th a b n

nh lí nƠy đ c ch ng minh đ y đ b i Hilbert vƠo n m 1909, vƠ

sau nƠy đ c bi t đ n v i tên g i lƠ đ nh lí Hilbert- Waring

2.1.6 nh lí b t kh qui c a Abel

a th c kh qui vƠ b t kh qui khi đ t trong m i quan h gi a các đa

th c thì chúng đóng cùng m t vai trò gi ng nh các h p s vƠ các s nguyên

t đóng vai trò gi a các s nguyên Vì v y, m i đa th c kh qui có th đ c

phơn tích thƠnh tích c a h u h n các đa th c b t kh qui T t c các đ nh lí có

liên quan đ c trình bƠy đơy đ u d a trên đ nh lí b t kh qui c a Abel hay

còn g i lƠ đ nh lí c b n c a các hàm b t kh qui sau:

qui trongR N u m t nghi m c a ph ng trình b t kh qui (1) c ng lƠ m t

nghi m c a ph ng trình F(x) = 0 trong R thì t t c các nghi m c a ph ng

trình (1) c ng lƠ nghi m c a ph ng trình F(x) = 0 ng th i F(x) có th

chia h t cho f(x) không có hƠm d , t c lƠ: F x ( )  f x F x ( ) ( )1 (F x1( ) R

[x])

Ch ng minh:

Ta ch ng minh đ nh lí nƠy d a trên thu t toán clit _ thu t toán quen

thu c tìm c chung l n nh t c a hai đa th c Gi s g i g(x) lƠ c chung

l n nh t c a hai đa th c F(x) vƠ f(x) trong R :

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )