Cơ sở grõbner và định lý cơ sở hilbert

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh• Chương 3: Định lý cơ sở Hilbert và một số ứng dụng Do khuôn khổ về thời gian cũng như trình độ kiến thức của bản thâncòn hạn chế nên khóa

ab b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bc d

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ

HÀ NỘI, 05/2019

e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

fg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g gh

fg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g gh

Lời cảm ơn

Trong thời gian học tập tại khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, em đã tiếp thuđược nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới,bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô trongkhoa toán – những người đã dạy dỗ chúng em trưởng thành như ngàyhôm nay

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn thầy giáo Ths Đỗ Văn Kiên người đãtrực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và đóng góp nhiều ý kiến quý báutrong thời gian thực hiện khóa luận này

Với điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thânnên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong sự chỉ bảo, các ýkiến đóng góp của thầy cô cũng như các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Nguyễn Khánh Linh

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

Đỗ Văn Kiên cùng sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đãnêu trong mục Tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan các kết quả trong khóa luận là kết quả của bảnthân, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàntoàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 07 tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Khánh Linh

Lời mở đầu 1

1.1 Quan hệ thứ tự 3

1.2 Vành đa thức 5

1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn 5

1.2.2 Bậc của đa thức 7

2 Cơ sở Gr¨obner 10 2.1 Thứ tự đơn thức trong k [x1, x2, , xn] 10

2.1.1 Thứ tự đơn thức 10

2.1.2 Thứ tự từ điển 13

2.1.3 Thứ tự từ điển phân bậc 17

2.1.4 Thứ tự từ điển ngược phân bậc 18

2.2 Phép chia đa thức trong k [x1, x2, , xn] 22

2.3 Iđêan đơn thức và Bổ đề Dickson 28

2.3.1 Iđêan đơn thức 28

2.4 Cơ sở Gr¨obner 31

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

3.1 Vành Noether 373.2 Định lý cơ sở Hilbert 39

Ngày nay những tư tưởng, phương pháp và kết quả đại số đã thâmnhập vảo hầu hết các lĩnh vực của toán học Cơ sở Gr¨obner là một công

cụ rất mạnh và hữu hiệu trong Đại số máy tính, Hình học đại số và Đại

số giao hoán Định lý cơ sở Hilbert có nhiều ứng dụng trong Đại số hiệnđại Việc nghiên cứu đề tài “Cơ sở Gr¨obner và Định Lý cơ sở Hilbert”giúp người học phát triển tư duy và có tầm nhìn sâu rộng hơn về toánhọc

Thấy được tầm quan trọng của đề tài cùng với sự giúp đỡ tận tìnhcủa thầy Đỗ Văn Kiên em mạnh dạn thực hiện khóa luận tốt nghiệp với

đề tài “Cơ sở Gr¨obner và định lý cơ sở Hilbert”

Đề tài này nghiên cứu về thứ tự trên vành đơn thức, cơ sở Gr¨obner

và vành Noether Sử dụng cơ sở Gr¨obner để chứng minh định lý cơ sởHilbert và một số ứng dụng của chúng

Nội dung của khóa luận gồm có ba chương như sau:

• Chương 1: Kiến thức cơ sở

• Chương 2: Cơ sở Gr¨obner

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

• Chương 3: Định lý cơ sở Hilbert và một số ứng dụng

Do khuôn khổ về thời gian cũng như trình độ kiến thức của bản thâncòn hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mongnhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để

đè tài được hoàn thiện và phát triển hơn

Đặc biệt khi X = Y ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X.

Định nghĩa 1.1.2 (Quan hệ thứ tự) Giả sử X là một tập hợp, R làmột quan hệ hai ngôi trên X Khi đó R được gọi là một quan hệ thứ tựtrên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Phản xạ: Với ∀x ∈ X thì xRx

(ii) Phản đối xứng: Với ∀x, y ∈ X sao cho xRy và yRx thì x = y.(iii) Bắc cầu: Với xRy và yRz thì xRz

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

Ta nói X là một tập được sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệthứ tự nào đó

Kí hiệu: Cho ≥ là một quan hệ thứ tự trên X, hai phần tử x, y ∈ X

Ta ký hiệu x > y nếu x ≥ y và x 6= y

Ví dụ 1.1.3 (1) Quan hệ ≤ trên tập hợp các số tự nhiên N là một quan

hệ thứ tự

(2) Quan hệ chia hết trên N là một quan hệ thứ tự

(3) Quan hệ chia hết trên Z không là một quan hệ thứ tự vì nó không

có tính chất phản đối xứng Ví dụ như

Định nghĩa 1.1.4 (Quan hệ thứ toàn phần) Giả sử X là một tập hợp,

R là một quan hệ thứ tự trên X Ta nói R là một quan hệ thứ tự toànphần trên X nếu với hai phần tử bất kì x, y ∈ X một trong hai quan hệxRy hoặc yRx xảy ra

Ví dụ 1.1.5 Các quan hệ “≤” và “≥” thông thường trên tập số thực làmột quan hệ thứ tự toàn phần

Định nghĩa 1.1.6 (Quan hệ thứ tự tốt) Cho R là một quan hệ thứ tựtrên X Ta nói R là quan hệ thứ tự tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của

X đều có một phần tử bé nhất

Rõ ràng nếu R là một quan hệ thứ tự tốt thì mọi bộ phận của Xgồm hai phần tử đều có phần tử nhỏ nhất, do đó một quan hệ thứ tựtốt luôn là quan hệ thứ tự toàn phần

Ví dụ 1.1.7 Tập hợp các số tự nhiên N với thứ tự thông thường làmột tập hợp sắp thứ tự tốt Nhưng tập hợp các số nguyên Z với thứ tự

thông thường là một tập hợp sắp thứ tự toàn phần nhưng không là tậpsắp thứ tự tốt.

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự

i) Một phần tử a ∈ X được gọi là phần tử cực đại (hay cực tiểu) của

X nếu với ∀x ∈ X sao cho a ≤ x (hay x ≤ a) thì x = a

ii) Một phần tử b ∈ X được gọi là phần tử lớn nhất (hay nhỏ nhất)của X nếu với ∀x ∈ X ta có x ≤ b (hay b ≤ x)

Bổ đề 1.1.9 (Bổ đề Zorn) Cho X là một tập hợp được sắp thứ tự (bộphận) sao cho mọi tập con khác rỗng của X được sắp thứ tự toàn phầnđều bị chặn trên trong X Khi đó X có phần tử cực đại

1.2 Vành đa thức

1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1 và x1, x2, , xn là n biến sốvới n ∈ Z>0 Ta gọi một đa thức n ẩn (biến) trên vành A là một tổnghình thức có dạng

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

Phép cộng hai đa thức được định nghĩa như sau

b,c∈N n ,b+c=aλbµc Ta thấy γa 6= 0 khi và chỉ khi tồn tại

b, c thỏa mãn λb 6= 0 và µc 6= 0 sao cho a = b + c 6= 0 Do đó cũng chỉ

có một số hữu hạn hệ số γa khác không Vì vậy phép nhân hai đa thứctrên cũng cho ta một đa thức n ẩn

Với hai phép toán ở trên, tập tất cả các đa thức n ẩn với hệ số trên

R lập thành một vành giao hoán và có đơn vị (1; 0; ; 0)

Định nghĩa 1.2.1 Vành được xây dựng như ở trên được gọi là vành

đa thức n ẩn với hệ tử trên A Ký hiệu là A[x1, x2, , xn] hay A[x]

Chú ý 1.2.2

• Đồng cấu A → A[x1, x2, , xn] cho bởi 1 7→ x01x02 x0n là một đơn cấuvành Vì vậy ta có thể coi A là một vành con của A[x1, x2, , xn] bằngcách đồng nhất 1 = x01x02 x0n, tức là α = αx01x02 x0n với mọi α ∈ A

• Khi n = 1 ta có khái niệm vành đa thức một ẩn trên A

• Vành đa thức n ẩn có thể xem là vành đa thức một ẩn bởi A[x1, x2, , xn] =(A[x1, x2, , xn−1])[xn]

1.2.2 Bậc của đa thức

Định nghĩa 1.2.3 Bậc của đa thức f (x) = P

a∈N n λaxađược định nghĩalà

a1 + a2 + · · · + an được gọi là bậc của đơn thức này

Đối với đa thức 0 được qui ước bằng −∞

Mệnh đề 1.2.4 Nếu A là miền nguyên, thì A [x] cũng là miền nguyên.Chứng minh Bằng qui nạp theo n ta chỉ cần chỉ ra khẳng định đúngcho vành đa thức một biến A[x] Giả sử

(1) deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)}

(2) deg (f (x) deg g (x)) = deg f (x) + deg g (x)

Dấu "=" trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi deg f (x) 6=

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

deg g(x) hoặc tổng các thành phần thuần nhất bậc cao nhất của f và

g khác không

Chứng minh Bất đẳng thức trong (1) là hiển nhiên Ta sẽ chứng minh(2) Đặt m = deg f (x), k = deg g(x) và tách f (x), g(x) thành tổng cácthành phần thuần nhất như sau

deg f (x)g(x) = deg fm(x)gk(x) = m + k = deg f (x) + deg g(x)

Định nghĩa 1.2.6 Cho đa thức f (x) ∈ A[x], B là một vành chứa A.Một phần tử α ∈ B được gọi là một nghiệm của f (x) nếu f (α) = 0.Chúng ta nhắc lại một định lý quen thuộc trong vành đa thức một

ẩn đó là định lý phép chia có dư, định lý này là cơ sở của thuật toánEuclid để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức

Định lý 1.2.7 (Phép chia có dư) Cho f (x), g(x) ∈ A[x] là hai đa thứctrên một miền nguyên A, trong đó g(x) có hệ tử cao nhất khả nghịch

Khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) ∈ A[x] sao cho

f (x) = g(x)q(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x)

Ta gọi q(x) là thương và r(x) là dư của phép chia f (x) cho g(x)

Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ xét một mở rộng của Định lý1.2.7 trong vành đa thức nhiều ẩn Một hệ quả của định lý này cho bởi

Hệ quả 1.2.8 (Định lý Bezout) Cho đa thức f (x) trong vành đa thứcmột ẩn A[x] trên một miền nguyên A Phần tử α ∈ A là nghiệm của đathức f (x) nếu và chỉ nếu f (x) chia hết cho x − α trong vành A[x]

Hệ quả 1.2.9 Trên một trường một đa thức bậc n > 0 có không quá nnghiệm

Chương 2

Cơ sở Gr¨ obner

Chương này trình bày về cơ sở Gr¨obner Đây là một công cụ quan trọngtrong nhiều ngành đặc biệt là trong Đại số Nội dung chương này đượctrình bảy chủ yếu theo [1]

Trong toàn bộ chương này xét k là một trường

2.1 Thứ tự đơn thức trong k [x1, x2, , xn]

2.1.1 Thứ tự đơn thức

Định nghĩa 2.1.1 Một thứ tự đơn thức trên vành k [x1, x2, , xn] làmột quan hệ hai ngôi “≥” trên Nn (hoặc trên tập tất cả các đơn thức)thỏa mãn:

i) Quan hệ “≥” là một quan hệ thứ tự toàn phần trên Nn

ii) Với mọi α ≥ β (α, β ∈ Nn) và γ ∈ Nn thì α + γ ≥ β + γ

iii) Quan hệ “≥” là quan hệ thứ tự tốt trên Nn (nghĩa là mọi tập conkhác rỗng của Nn đều có phần tử nhỏ nhất theo quan hệ này)

Ví dụ 2.1.2 Trên tập N2 xét quan hệ (a, b) ≥ (c, d) nếu a > c hoặc

a = c và b ≥ d Khi đó “≥” là một thứ tự đơn thức

Thật vậy, trước hết ta chỉ ra “≥” là một quan hệ thứ tự

• Phản xạ: Rõ ràng với mọi (a, b) ∈ N2 ta luôn có (a, b) ≥ (a, b)

• Phản đối xứng: Với mọi (a, b) , (c, d) ∈ N2 sao cho (a, b) ≥ (c, d) và(c, d) ≥ (a, b) Suy ra

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

Do đó (a, b) ≥ (c, d) là một quan hệ thứ tự (1).Hơn nữa với mọi (a, b) , (c, d) , (m, n) ∈ N2 sao cho (a, b) ≥ (c, d), tacó

(a, b) + (m, n) ≥ (c, d) + (m, n) (2)

Bây giờ lấy tập ∅ 6= A ⊆ Nn , đặt

a = min {x ∈ N| (x, y) ∈ A ∀y ∈ N} ,

b = min {y ∈ N| (x, y) ∈ A ∀x ∈ N}

Khi đó với mọi x ∈ N ta luôn có x ≥ a, và với mọi y ∈ N ta luôn có

y ≥ b Do vậy (a, b) là phần tử nhỏ nhất của A

Từ đó quan hệ ≥ ở trên là một quan hệ thứ tự tốt trên N2 (3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra “≥” là một thứ tự đơn thức

Bổ đề sau cho ta tiêu chuẩn cần và đủ để kiểm tra một quan hệ thứ

tự có là tốt hay không

Bổ đề 2.1.3 Một quan hệ thứ tự “≥” trên Nn là quan hệ thứ tự tốt khi

và chỉ khi mọi dãy giảm α (1) ≥ α (2) ≥ α (3) ≥ trong Nn đều dừng.Chứng minh

[⇒] Giả sử “≥” là một quan hệ thứ tự tốt nhưng có một dãy trong Nngiảm thực sự, tức là dãy giảm không dừng, chẳng hạn là

α (1) > α (2) > α (3) >

Khi đó tập hợp A = {α(1), α(2), α(3), } là một tập con khác rỗng của

Nn mà không có phần tử nhỏ nhất Điều này mâu thuẫn với “≥” là mộtquan hệ thứ tự tốt Vậy điều giả sử là sai nên mọi dãy giảm trong Nnđều dừng

[⇐] Lấy bất kỳ tập con S ⊆ Nn, S 6= ∅ Giả sử S không có phần tử nhỏnhất theo quan hệ “≥” Vì S 6= ∅ nên tồn tại α (1) ∈ S Vì α (1) không làphần tử nhỏ nhất trong S nên có α (2) ∈ S để α (1) > α (2) Quá trìnhtiếp tục ta thu được một dãy giảm thực sự α (1) > α (2) > α (3) > · · ·trong S (mâu thuẫn với giả thiết) Do đó S có phần tử nhỏ nhất

Vậy “≥” là một quan hệ thứ tự tốt trên Nn

Trong các phần tiếp theo chúng ta sẽ đi xét một số thứ tự đơn thứcthường dùng

2.1.2 Thứ tự từ điển

Định nghĩa 2.1.4 Cho α = (α1, α2, , αn) , β = (β1, β2, , βn) ∈ Nn tanói α ≥lex β nếu α = β hoặc thành phần khác 0 đầu tiên bên trái của

α − β là dương

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

Chúng ta sẽ viết xα≥lexxβ nếu α ≥lex β, ở đó xα = x1α1xα2

α = (α1, α2, , αn) , β = (β1, β2, , βn) ∈ Nn Do α >lex β nên ta có thểviết

α − β = (0, , 0, αi− βi, αi+1 − βi+1, , αn − βn)với αi − βi > 0 (1 ≤ i ≤ n) là thành phần khác 0 đầu tiên bên trái của

α − β Khi đó ta có

β − α = (0, , 0, βi − αi, βi+1 − αi+1, , βn − αn)

Rõ ràng thành phần khác 0 đầu tiên bên trái của β − α là β − α < 0

Điều này mâu thuẫn với giả thiết β >lex α Vậy αi = βi Do đó “≥lex”

Vì vậy “≥lex” là một quan hệ thứ tự trên Nn

ii) Tiếp theo ta sẽ chỉ ra “≥lex” là một quan hệ thứ tự tốt trên Nn

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

Thật vậy, giả sử “≥lex” không là một quan hệ thứ tự tốt Khi đó theo

Bổ đề 2.1.3 ta có một dãy giảm thực sự

α (1) >lexα (2) >lexα (3) >lex

Gọi a1i là thành phần đầu tiên của α (i) , ∀i = 1, 2, Nếu a11 < a12 thì

α (1) − α (2) có thành phần khác 0 đầu tiên là a11 − a1

2 < 0 Điều nàymâu thuẫn với α (1) >lexα (2) Vậy a11 ≥ a1

2 Tương tự so sánh hai vị tríđầu tiên của α(2) và α(3) ta cũng có a12 ≥ a1

3 Quá trình tiếp tục ta thuđược một dãy giảm

α (k) >lexα (k + 1) >lex α(k + 2) >lex

Gọi a2k là thành phần thứ hai của α (k), a2k+1 là thành phần thứ hai của

α (k + 1) Vì a1k = a1k+1 = nên ta phải có a2k ≥ a2

k+1 ≥ trong N.Cũng như vậy dãy này phải dừng, nghĩa là tồn tại l ≥ k để

a2l = a2l+1 = · · ·

Quá trình tiếp tục vì mỗi phần tử α (i) ∈ N chỉ có n thành phần nên

sau n bước thì tồn tại vị trí s > 0 sao cho

α (s) = α (s + 1) =

Vậy “≥lex” là một quan hệ thứ tự tốt trên Nn

iii) Cuối cùng ta chứng minh điều kiện thứ hai trong định nghĩa thứ tựđơn thức Cho α, β, γ ∈ Nn sao cho α≥lexβ Nếu α = β thì α + γ = β + γ.Suy ra

α + γ≥lexβ + γ

Nếu α 6= β thì ta viết α − β = (0, , 0, αi − βi, , αn − βn), với αi− βi >

0 Mà (α + γ) − (β + γ) = α − β suy ra α + γ≥lexβ + γ

Vậy thứ tự từ điển là một thứ tự đơn thức

Chú ý 2.1.8 Chúng ta cũng có thể định nghĩa thứ tự từ điển ngược nhưsau: Cho α = (α1, α2, , αn) , β = (β1, β2, , βn) ∈ Nn Ta nói α≥invlexβnếu α = β hoặc thành phần đầu tiên bên phải của α − β là dương Vớithứ tự này ta có

xn >invlex xn−1 >invlex · · · >invlex x1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh

Mệnh đề 2.1.12 Thứ tự từ điển phân bậc là một thứ tự đơn thức

2.1.4 Thứ tự từ điển ngược phân bậc

Định nghĩa 2.1.13 Cho α = (α1, α2, , αn) , β = (β1, β2, , βn) ∈ N tanói α≥grevlexβ nếu |α| =

Nhận xét 2.1.15 1) Đối với thứ tự từ điển ngược phân bậc ta cũng có

x1>grevlexx2 >grevlex · · · >grevlexxn

(2) Thứ tự từ điển ngược phân bậc là một thứ tự đơn thức

Ví dụ 2.1.16 Sắp xếp các đơn thức trong f = 4xy2z+4z2−5x3+7x2z2 ∈

k [x, y, z] với bậc giảm dần theo quan hệ thứ tự từ điển, từ điển phânbậc và từ điển ngược phân bậc

(1) Theo thứ tự từ điển: f = −5x3 + 7x2z2 + 4xy2z + 4z2

(2) Theo thứ tự từ điển phân bậc: f = 7x2z2 + 4xy2z − 5x3 + 4z2.(3) Theo thứ tự từ điển ngược phân bậc: f = 4xy2z + 7x2z2− 5x3+ 4z2.Định nghĩa 2.1.17 Cho f = P aαxα là một đa thức khác 0 trong

k [x1, x2, , xn] Gọi “≤” là một thứ tự đơn thức trên k [x1, x2, , xn] Tađịnh nghĩa

• multideg (f ) = max {α ∈ Nn | aα 6= 0}, ở đó giá trị lớn nhất đượclấy theo quan hệ thứ tự “≤”

• Hệ số cao nhất của f là LC (f ) = amultideg(f )

• Đơn thức cao nhất của f là LM (f ) = xmultideg(f )

• Hạng tử cao nhất của f là LT (f ) = LC(f ).xmultideg(f )

Ví dụ 2.1.18 Xác định M ultideg (f ) , LC (f ) , LM (f ) , LT (f ) của đathức f = 3x3y4z − 5xyz6 + 2xy2z + 4y ∈ k[x, y, z] với thứ tự từ điển vàthứ tự từ điển ngược phân bậc