Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến

Trong bối cảnh đó, chúngtôi chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình Nevan-và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến".. Nhiềutiêu chuẩn chuẩn tắc ch

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1925, R Nevanlinna công bố bài báo về sự phân bố giá trị của hàmphân hình trên mặt phẳng phức Sau đó, nó nhanh chóng được mở rộng sangtrường hợp hàm phân hình nhiều biến phức và ánh xạ chỉnh hình vào khônggian xạ ảnh phức, lập nên lý thuyết mà sau này mang tên Nevanlinna (hay cònđược gọi là Lý thuyết phân bố giá trị) Nhiều ứng dụng đẹp đẽ của lý thuyếtnày đã được chỉ ra trong việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình, phân hình như:Bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán về tínhHyperbolic của đa tạp đại số xạ ảnh; Bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnhhình, phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình

Phát triển lý thuyết cũng như nghiên cứu ứng dụng của Lý thuyết linna trong những lĩnh vực khác nhau đã liên tục thu hút được sự quan tâmcủa nhiều nhà toán học trong suốt gần 100 năm qua Trong bối cảnh đó, chúngtôi chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình

Nevan-và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến"

đó, ta sẽ xuất hiện câu hỏi tự nhiên là: Liệu Định lý bốn điểm có được mởrộng đến trường hợp không tính bội hay bội được ngắt bởi một mức nào đóhay không? Vấn đề này thu hút sự quan tâm của H Cartan, G Gundersen,

N Steinmetz, H Fujimoto, M Shirosaki, Trần Văn Tấn và nhiều tác giả khác.Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề sau: Mở rộng Định

lý bốn điểm nói trên tới trường hợp bội được ngắt với mức thấp và bốn điểmđược thay bởi bốn hàm phân hình nhỏ (so với các hàm f, g đang xét)

2 Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết Nevanlinna là nócho ta các tiêu chuẩn về tính suy biến hay chặt hơn là tính hằng của các đườngcong (chỉnh hình, phân hình) Trong khi đó, theo nguyên lý Bloch, mỗi định

lý dạng Picard bé (về tiêu chuẩn đường cong hằng) đều tương ứng với mộttiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình Đó chính là cầu nối giữa lýthuyết Nevanlinna và lý thuyết về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình Nhiềutiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ chỉnh hình, phân hình dưới điều kiện

về ảnh ngược của các siêu phẳng, siêu mặt đã được chỉ ra bởi L Zalcman,

H Fujimoto, W Bergweiler, Z Tu, Phạm Ngọc Mai - Đỗ Đức Thái - PhạmNguyễn Thu Trang, Sĩ Đức Quang - Trần Văn Tấn, Y Zhang và nhiều tác giảkhác Vấn đề nghiên cứu thứ hai của luận án là: Tính chuẩn tắc cho họ cácánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian

xạ ảnh phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêumặt di động

3 Định lý Picard lớn cổ điển chỉ ra rằng: Mỗi hàm chỉnh hình trên một đĩathủng nếu tránh 2 giá trị phân biệt thì có thể thác triển chỉnh hình qua điểmthủng Kết quả trên đã được mở rộng sang các trường hợp ánh xạ chỉnh hìnhvào không gian xạ ảnh phức dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng(cố định hay di động) và của các siêu mặt cố định bởi H Fujimoto, Z Tu, Z

Tu - P Li và nhiều tác giả khác Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôixem xét vấn đề sau: Thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vàophần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức n chiều

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là Lý thuyết Nevanlinna; Lý thuyết họchuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán xác định duy nhất ánh

xạ phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình

4 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng cácphương pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Giải tích phức, Hìnhhọc phức; kế thừa và phát triển các kỹ thuật của các tác giả đi trước về cácchủ đề liên quan

5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

Đề tài đã thu được các nhóm kết quả sau:

- Định lý về mối quan hệ giữa hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức cócùng ảnh ngược (với bội được ngắt bởi 1 và bởi 2) của bốn hàm phân hìnhnhỏ Kết quả này tổng quát mạnh mẽ các Định lý bốn điểm của R Nevanlinna

và của G Gundersen

- Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ phân hình từ một miền trongkhông gian affine vào không gian xạ ảnh với điều kiện là có cùng ảnh ngược(không tính bội) của các siêu phẳng hay siêu mặt di động Đây là kết quả đầutiên về tiêu chuẩn họ chuẩn tắc dưới điều kiện có cùng ảnh ngược (không tínhbội) của các siêu phẳng hay siêu mặt (thay vì điều kiện ánh xạ vào phần bùcủa các siêu phẳng hay siêu mặt như các kết quả đã có)

- Định lý dạng Picard lớn cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bùcủa 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức Kết quả này mởrộng các kết quả của các tác giả đi trước, từ siêu mặt cố định, siêu phẳng diđộng sang siêu mặt di động

6 Cấu trúc luận án

Nội dung chính của luận án gồm 3 chương:

- Chương 1 trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu Ở đó, chúng tôi đềcập tới các kết quả liên quan, phân tích, so sánh chúng với vấn đề nghiên cứucủa luận án

- Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính duy nhất của các hàm phân hìnhtrên mặt phẳng phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các hàm phân hìnhnhỏ

- Chương 3 dành cho việc nghiên cứu tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạphân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian xạ ảnh

có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêu mặt di động và thiết lập Định

lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di độngtrong không gian xạ ảnh phức n chiều

1, 2, 3, 4), ở đây νϕ là divisor các không điểm của hàm phân hình ϕ.

Khi đó, g là một biểu diễn phân tuyến tính của f (bởi một công thức chỉphụ thuộc vào các điểm aj), hai trong bốn điểm aj là giá trị Picard của f (giả

sử là a3 và a4), tỷ số kép (a1, a2, a3, a4) bằng -1

Các kết quả trên của R.Nevanlinna được mở rộng sang trường hợp ánh xạchỉnh hình vào không gian xạ ảnh bởi H.Fujimoto (năm 1975) và bởi L.Smiley(năm 1983) theo những cách nhìn nhận khác nhau và sau này nó tiếp tục đượcnghiên cứu bởi nhiều tác giả khác

Đối với trường hợp hàm phân hình, một câu hỏi nảy sinh tự nhiên từ cácĐịnh lý bốn điểm và năm điểm của Nevanlinna là: Liệu Định lý bốn điểm cócòn đúng khi thay điều kiện các divisor bằng nhau (tính cả bội) bởi điều kiệncác hàm phân hình f − aj, g − aj có cùng tập không điểm (không tính bội)như trong Định lý năm điểm hay không?

4

Năm 1983, G Gundersen đã đưa ra các ví dụ để thấy rằng điều trên làkhông được Có lẽ ngay từ năm 1929, Cartan đã thấy được điều đó khi ôngnêu giả thuyết yếu hơn rằng: Có cùng lắm hai hàm phân hình khác hằng

có cùng ảnh ngược (không tính bội) của bốn điểm cho trước Tuy vậy, năm

1988 H.Fujimoto đã chỉ ra ngay cả giả thuyết của Cartan cũng không đúng.Nhưng H.Fujimoto cũng đã chứng minh rằng, giả thuyết của Cartan đúngcho trường hợp bội của các không điểm được ngắt bởi 2, có nghĩa: Cho f làhàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức và bốn điểm a1, a2, a3, a4 trên

C ∩ {∞} Khi đó, có không quá hai hàm phân hình khác hằng g thỏa mãn:min{νf −aj, 2} = min{νg−aj, 2}, với j = 1, 2, 3, 4 (chú ý rằng, ta có thể đồngnhất mỗi divisor ν = P

tλtat trên C với hàm ν : C −→ Z cho bởi ν(at) = λt,

Ta nói một hàm phân hình a là nhỏ đối với f nếu Ta(r) = o(Tf(r)) khi

r → ∞ (ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn)

Năm 2005, T.V Tan - D.D Thai đã mở rộng kết quả trên của H Fujimotosang trường hợp mà ở đó {aj} là các hàm phân hình nhỏ

Trở lại với kết quả của Nevanlinna, năm 1983 (đính chính và bổ sung năm1987), G Gundersen đã mở rộng kết quả của R.Nevanlinna tới trường hợp mà

ở đó bội của các không điểm được tính ứng với hai điểm và không tính tới ứngvới hai điểm còn lại:

Định lý 1.1.2 Cho hai hàm phân hình f và g trên C và bốn điểm phân biệt

a1, a2, a3, a4 ∈ C ∪ {∞} Nếu

min{νf −aj, 1} = min{νg−aj, 1} với j = 1, 2, và νf −aj = νg−aj với j = 3, 4.Khi đó f, g thỏa mãn giả thiết của Định lý bốn điểm của Nevanlinna

Như vậy, câu hỏi tự nhiên nói trên được điều chỉnh thành: đâu là giá trị

bé nhất cho mức ngắt các bội không điểm?

Trước khi xem xét câu hỏi trên, chúng ta phát biểu kết quả sau của M.Shirosaki, kết quả đầu tiên mở rộng Định lý bốn điểm sang trường hợp cácđiểm được thay bằng các hàm phân hình nhỏ

Định lý 1.1.3 Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt trên mặt phẳngphức và a1, a2, a3, a4 là bốn hàm phân hình nhỏ (so với f ) Giả sử νf −aj = νg−ajvới mọi j ∈ {1, 2, 3, 4} Khi đó, tồn tại các hàm phân hình a, b, c, d nhỏ so với

f , ad − bc 6= 0, sao cho g = af + b

cf + d và một thứ tự của các giá trị {a1, a2, a3, a4}sao cho tỷ số kép của chúng bằng −1

Năm 2003, W.Yao mở rộng kết quả nêu trên của G.Gundersen tới trườnghợp các điểm được thay bằng các hàm phân hình nhỏ, hay nói cách khác mởrộng kết quả của M Shirosaki tới trường hợp không tính bội của không điểmứng với hai hàm và tính cả bội ứng với hai hàm còn lại

Liên quan tới hướng nghiên cứu này, chương 2 của luận án tập trung vàoviệc mở rộng các kết quả của các tác giả trên tới trường hợp mà ở đó bội củacác không điểm không tính tới ứng với hai hàm và bội được ngắt bởi 2 ứng vớihai hàm còn lại, có nghĩa là: min{νf −ai, 1} = min{νg−ai, 1} với mọi i = 1, 2 vàmin{νf −aj, 2} = min{νg−aj, 2} với j = 3, 4 trong đó ak là các hàm phân hìnhnhỏ so với f

Từ những phân tích trên ta thấy, vấn đề còn lại là liệu có thể mở rộng Định

lý bốn điểm tới trường hợp: min{νf −ai, 1} = min{νg−ai, 1} với mọi i = 1, 2, 3

và min{νf −a4, 2} = min{νg−a4, 2} Đây vẫn là câu hỏi mở đối với cả hai trườnghợp ak là các điểm hay các hàm

Trước khi kết thúc vấn đề này, chúng tôi cũng muốn giới thiệu một cáchtiếp cận khác được một số tác giả như T Czubiak-G Gundersen, N.Steinmetzquan tâm là hai hàm phân hình có cùng ảnh ngược không tính bội của bốncặp điểm, và tính bội đối với cặp điểm thứ năm

1.2 Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ phân

hình

Một họ các ánh xạ chỉnh hình được gọi là chuẩn tắc nếu mỗi dãy của nóđều chứa dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một ánh xạ chỉnhhình Đây là một khái niệm cổ điển được đề cập lần đầu bởi Motel năm 1912đối với hàm chỉnh hình Tới nay, nó đã được phát triển thành lý thuyết họchuẩn tắc, một nhánh của Giải tích phức, Hình học phức Theo nguyên lýBloch, mỗi tiêu chuẩn ánh xạ hằng (dạng Định lý Picard bé) đều tương ứngvới một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình Như vậy, tiêu chuẩn

họ chuẩn tắc các ánh xạ có liên quan mật thiết với tiêu chuẩn ánh xạ hằng và

do đó có thể nghiên cứu nó từ công cụ của Lý thuyết Nevanlinna

Cho f là một ánh xạ phân hình trên miền D trong không gian affine phức

Cm vào không gian xạ ảnh phức CPn Khi đó, với a ∈ D, f có biểu diễn rútgọn ef = (f0, · · · , fn) trên lân cận U của a trong D nghĩa là với mỗi fi là mộthàm phân hình trên U và f (z) = (f0(z) : · · · : fn(z)) ngoài một tập giải tíchI(f ) := {z : f0(z) = · · · = fn(z) = 0} (tập không xác định của f ) có đối chiều

- Một họ F các ánh xạ phân hình từ miền D trong Cm vào CPn được gọi

là chuẩn tắc phân hình trên miền D nếu mọi dãy trong F đều trích ra đượcdãy con hội tụ phân hình trên D

Với khái niệm trên, H.Fujimoto đã đưa ra kết quả sau:

Định lý 1.2.1 Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào

CPn và cho {Hj}(2n+1)j=1 là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CPn (theonghĩa giao của mỗi (n + 1) siêu phẳng trong chúng đều bằng rỗng) sao cho vớimỗi f ∈ F , thì f (D) 6⊂ Hj (j = 1, , 2n + 1) và với mỗi tập con compact cốđịnh K trong D, độ đo Lebesgue 2(m − 1)-chiều của f−1(Hj) ∩ K (tính cả bội)(j = 1, , 2n + 1) là một giá trị bị chặn trên bởi một số không phụ thuộc f.Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D.

Năm 2005, Z.Tu-P.Li đã mở rộng kết quả trên sang trường hợp siêu phẳng

di động (theo nghĩa hệ số xác định phương trình siêu phẳng là các hàm chỉnhhình theo biến z thuộc miền D):

Định lý 1.2.2 Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào

CPn và cho {Hj(z)}(2n+1)j=1 là các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát tại từngđiểm trong CPn (theo nghĩa tại mỗi z ∈ D các siêu phẳng cố định {Hj(z)}

ở vị trí tổng quát trong CPn) sao cho với mỗi tập con compact K của D, độ

đo Lebesgue 2(m − 1)-chiều của f−1(Hj) ∩ K (tính cả bội) (j = 1, , 2n + 1)

là một giá trị bị chặn trên không phụ thuộc vào f Khi đó, họ F là chuẩn tắcphân hình trên D

Năm 2005, P.N Mai - D.D Thai - P.N.T Trang mở rộng kết quả của H.Fujimoto sang trường hợp mà ở đó các siêu phẳng Hj được thay thế bằng cácsiêu mặt cố định

Năm 2008, S.D Quang - T.V Tan đã mở rộng các kết quả trên sang trườnghợp siêu mặt di động (các hệ số trong đa thức xác định các siêu mặt là cáchàm chỉnh hình trên miền D) và bội các giao điểm ứng với một số siêu mặtđược bỏ qua

Định lý 1.2.3 Cho F là một họ các ánh xạ phân hình trên miền D ⊂ Cmvào CPn và {Qj(z)}qj=1 là các siêu mặt di động ở vị trí tổng quát yếu trong

CPn (theo nghĩa, tồn tại một điểm z0 ∈ D để các siêu mặt cố định sinh bởi{Qj(z0)}qj=1 là ở vị trí tổng quát trong CPn) Giả sử:

i) Với mỗi tập con compact cố định K của D, diện tích Lebesgue 2(m − chiều của f−1(Qj) ∩ K (tính cả bội, j = 1, , n + 1) bị chặn trên bởi một giátrị không phục thuộc vào f ∈ F

1)-ii) Tồn tại tập con giải tích mỏng S ∈ D sao cho với mỗi tập con compact Kcủa D, độ đo Lebesgue 2(m−1)-chiều của f−1(Qj)∩(K−S), (không tính bội, j =

1, , n + 1) bị chặn trên bởi một giá trị không phụ thuộc vào f ∈ F

Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D

Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng, trong các kết quả nói trên, bội giao luônđược tính trong độ đo Lebesgue của các divisor trên mỗi tập compact (ngay

cả kết quả của S D Quang - T V Tan vẫn cần tính cả bội giao ứng n + 1siêu mặt)

Lấy cảm hứng từ cách thiết lập các điều kiện cho bài toán xác định duynhất ánh xạ phân hình dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các siêu mặt haysiêu phẳng, ở chương 3 chúng tôi thiết lập các tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc cácánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược (không tính bội) của các siêu phẳng vàcác siêu mặt di động ở vị trí dưới tổng quát

Ở mục 3.2 của chương 3, chúng tôi đạt được hai kết quả chính sau:

Định lý 1.2.4 Cho X ⊂ CPn là một đa tạp xạ ảnh và Q1, , Q2t+1 là cácsiêu mặt di động trong CPn ở vị trí t-dưới tổng quát trên X Cho F là một họcác ánh xạ phân hình f từ miền D ⊂ Cm vào X, sao cho Qj(f ) 6≡ 0, với mọi

j ∈ {1, , 2t + 1} Giả sử:

a) f−1(Qj) = g−1(Qj) (có nghĩa {z : Qj(f (z)) = 0} = {z : Qj(g(z)) = 0})với mọi f, g trong F và với mọi j ∈ {1, , 2t + 1},

b) dim(∩2t+1j=1 f−1(Qi)) ≤ m − 2 với f ∈ F

Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D

Cho 2t + 1 (t ≥ n) siêu phẳng di động Hj ứng với các đa thức aj0x0+ · · · +

)

Rõ ràng, tại mỗi điểm z thì các siêu phẳng cố định tương ứng H1(z), , H2t+1(z)

là ở vị trí t− dưới tổng quát khi và chỉ khi D(H1, , H2t+1)(z) > 0

Đối với mỗi siêu phẳng di động H = aj0x0 + · · · + ajnxn, ta cho tương ứngvới ánh xạ chỉnh hình H∗ từ D vào CPn có biểu diễn rút gọn (aj0 : · · · : ajn)

Định lý 1.2.5 Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào

CPn Với mỗi f trong F , giả sử có 2t + 1 siêu phẳng di động H1f, · · · , H(2t+1)ftrong CPn sao cho {Hjf∗ : f ∈ F } (j = 1, , 2t + 1) là họ chuẩn tắc và tồntại một số nguyên dương δ0 thỏa mãn:

b) I(f ) ⊂ ∪2t+1j=1 {z : 1 ≤ ν(f,Hjf)(z) ≤ mj}, và Hjf(f ) 6≡ 0, với mọi j ∈{1, , 2t + 1} và f ∈ F , trong đó I(f ) là tập tất cả các điểm không xác địnhcủa f

Khi đó, họ F là họ chuẩn tắc phân hình trên D

phần bù của hợp một số siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh

Định lý Picard lớn cổ điển về thác triển ánh xạ chỉnh hình được phát biểunhư sau:

Định lý 1.3.1 (Định lý Picard lớn) Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ đĩathủng 4∗R ⊂ C vào CP1

Nếu f tránh 3 giá trị phân biệt trong CP1, thì f cóthể thác triển thành một ánh xạ chỉnh hình từ 4R vào CP1

Năm 1972, H Fujimoto đã tổng quát kết quả trên cho trường hợp ánh xạchỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CPn.Ông đã đạt được các kết quả sau:

Định lý 1.3.2 Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ Cm vào CPn Nếu f tránh2n + 1 siêu phẳng trong CPn ở vị trí tổng quát thì f là ánh xạ hằng

Định lý 1.3.3 Cho S là một tập con giải tích mỏng thuộc miền D trong Cm

và không có điểm kỳ dị Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào X làphần bù của 2n + 1 siêu phẳng H1, , H2n+1 ở vị trí tổng quát trong CPn đều

có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f từ D vào CPn

Ngoài ra, bằng công cụ của Lý thuyết Nevanlinna, năm 2006 Z.Tu đã tổngquát các kết quả trên sang trường hợp mà ánh xạ chỉnh hình f có thể "chạm"vào các siêu phẳng Hj với bội ít nhất mj (j ∈ {1, , q}, q ≥ 2n + 1) trong đó

m1, , mq là các số nguyên dương và có thể bằng ∞, với P2n+1

j=1

1

m j < q−n−1n Năm 1999, A Eremeko đã chứng minh kết quả sau:

Định lý 1.3.4 Cho X là một tập con đóng trong CPn (với tôpô thông thườngcủa đa tạp thực 2n−chiều CPn) và cho D1, , D2`+1 là các siêu mặt cố địnhtrong CPn ở vị trí `−dưới tổng quát đối với X Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình

f từ C vào X \ (∪2`+1j=1 Dj) đều là ánh xạ hằng

Như vậy, kết quả của A Eremenko thực chất là Định lý Picard bé chotrường hợp đường cong vào phần bù của các siêu mặt trong không gian xạảnh Hay nói cách khác, mọi đường cong nguyên vào phần bù của 2n + 1 siêumặt cố định ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh CPn đều là hằng Tuyvậy, Định lý Picard bé không đúng cho trường hợp đường cong vào phần bùcủa 2n + 1 siêu mặt di động ở vị trí tổng quát Nhưng cũng lưu ý thêm rằng,một kết quả của A Eremenko - M Sodin chỉ ra: Không tồn tại ánh xạ chỉnhhình khác hằng từ C vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động nhỏ so với ftrong CPn ở vị trí tổng quát

Từ những phân tích trên chúng ta thấy rằng, vấn đề về Định lý Picard

bé đối trường hợp ánh xạ vào phần bù của các siêu mặt cố định hay di độngtrong không gian xạ ảnh đã được giải quyết thỏa đáng Ở mục 3.3 của chương

3, chúng tôi mở rộng các Định lý Picard lớn của Fujimoto (Định lý 1.3.2 vàĐịnh lý 1.3.3) tới trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêumặt di động trong CPn

Về các hàm phân hình có cùng ảnh ngược của bốn điểm

Năm 1926, R Nevanlinna đã chứng minh Định lý bốn điểm (Định lý 1.1.1)chỉ ra rằng g là một biểu diễn phân tuyến tính của f nếu chúng có cùng ảnhngược (tính cả bội) của bốn điểm phân biệt Năm 1983 và 1987, G Gundersen

đã mở rộng Định lý bốn điểm của Nevanlinna sang trường hợp mà ở đó cóngắt bội ứng với hai giá trị như sau:

Định lý 2.0.5 Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt khác hằng và

a1, a2, a3, a4 là bốn giá trị thuộc C ∪ {∞} Giả sử min{νf −a i, 1} = min{νg−ai,1}với i = 1, 2, và νf −aj = νg−aj (ngoài một tập rời rạc có hàm đếm không tínhbội bằng o(Tf(r))) với j = 3, 4 Khi đó νf −ai = νg−ai với mọi i ∈ {1, , 4}.Như đã trình bày trong chương Tổng quan, trong chương này, chúng tôi mởrộng các kết quả trên tới trường hợp min{νf −ai, 1} = min{νg−ai, 1} với i = 1, 2,min{νf −aj, 2} = min{νg−aj, 2} với j = 3, 4, và {aj} là các hàm phân hình nhỏ(đối với f ) Kết quả của chúng tôi gần như là tốt nhất có thể bởi G Gundersen

đã chỉ ra phản ví dụ rằng Định lý bốn điểm của Nevanlinna không còn đúngtrong trường hợp min{νf −ai, 1} = min{νg−ai, 1} với mọi i ∈ {1, , 4}

Chương 2 được viết dựa trên bài báo An improvement of the Nevanlinna Gundersen theorem được công bố năm 2011 trên Journal of Mathematical ofAnalysis and Application

-12

Về hàm phân hình có ảnh ngược bốn điểm< /h2>

Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh Định lý bốn điểm (Định lý 1.1.1)chỉ g biểu diễn phân tuyến tính f chúng có ảnhngược (tính bội) bốn điểm phân. ..

Định lý Picard lớn cổ điển thác triển ánh xạ chỉnh hình phát biểunhư sau:

Định lý 1.3.1 (Định lý Picard lớn) Cho f ánh xạ chỉnh hình từ đĩathủng 4∗R ⊂ C vào CP1... 0, với j ∈{1, , 2t + 1} f ∈ F , I(f ) tập tất điểm khơng xác địnhcủa f

Khi đó, họ F họ chuẩn tắc phân hình D

phần bù hợp số siêu mặt di động không gian xạ ảnh

Định