Định lý cơ sở của hilbert

Nhận xét: Vành giao hoán X được gọi là không có ước của không khi và chỉ + p là miền nguyên  p là số nguyên tố... Định lý Trong vành chính mọi phần tử khác 0 và khác khả nghịch đều phâ

Lời cảm ơn

Trong thời gian học tập khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy các cô trong khoa Toán - những người đã dạy dỗ chúng em trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hưng người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian thực hiện khoá luận này

Với điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức bản thân nên khoá luận khó tránh khỏi thiếu sót, kính mong sự chỉ bảo của thầy cô cũng như các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Vũ Thị Huyền

Lời cam đoan

Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng cùng sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khoá luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2010 Sinh viên

Vũ Thị Huyền

Mục lục

Mở đầu

Chương 1:Các kiến thức chuẩn bị 2

1.1: Vành và một số tính chất cơ bản 2

1.2: Miền nguyên và trường 3

1.3 Iđêan 4

1.4 Một số lớp vành đặc biệt 6

1.5 Vành đa thức 9

1.6 Tập đại số 10 Chương 2: Tập bất khả quy 11

2.1 Tập bất khả quy 11

2.2 Vành nhân tử hoá 14

2.3 Tiêu chuẩn để một siêu mặt bất khả quy 19

Chương 3 :Định lý cơ sở của Hilbert 21

3.1 Iđêan hữu hạn sinh, iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy 21

3.2 Vành Noether 22

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

Mở Đầu

Ngày nay những tư tưởng, phương pháp và kết quả đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học Đề tài “Định lý cơ sở của Hilbert” là một đề tài hay có nhiều ứng dụng trong đại số hiện đại Hơn nữa, việc nghiên cứu đề tài này còn giúp cho người học phát triển tư duy có tầm nhìn sâu rộng hơn về toán học

Thấy được tầm quan trọng của đề tài cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Huy Hưng em mạnh dạn thực hiện khoá luận tốt nghiệp với đề tài

“ Định lý cơ sở của Hilbert”

Đề tài này nghiên cứu tính chất đặc biệt của vành đa thức đó là tính Noether và tính nhân tử hoá Dùng tính Noether của vành đa thức để nghiên cứu các tập đại số

Nội dung của khoá luận gồm 3 chương :

Phần tử đơn vị của phép cộng trong vành được gọi là phần tử 0

Phần tử đơn vị của phép nhân trong vành thường kí hiệu là 1

1.1.2 Ví dụ

a , , , là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân các số thông thường

b Cho X   là một vành giao hoán, có đơn vị và n  là một số tự nhiên 2

c Tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc X và phép (+), (.) ma

trận lập thành một vành có đơn vị nhưng không giao hoán

d Tập hợp / n các số nguyên mod n cùng với hai phép toán (+),(.) các số

nguyên mod n được xác định bởi:

iv/ Nếu X có đơn vị có ít nhất 2 phần tử thì 0 1

v/ Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh

y1  y x n  y x1   y x n

1 1

1, 1,

1.1.4 Khái niệm ước của phần tử

Cho X là vành giao hoán, , a bX Ta nói a là một ước của b nếu tồn tại

phần tử cX a c:  Kí hiệu |b a b

Khi đó, b cũng gọi là bội của a

1.1.5 Một số tính chất số học trên miền nguyên

1.2 Miền nguyên và trường

1.2.1 Ước của không

tử bX b, 0 :ab 0

Khi đó, b cũng gọi là ước của không

Nhận xét: Vành giao hoán X được gọi là không có ước của không khi và chỉ

+ p là miền nguyên  p là số nguyên tố

+ Vành ma trận Mat n X không là miền nguyên với n  1

Một vành giao hoán X có đơn vị 1 0 là miền nguyên khi và chỉ khi phép

nhân ở trong X có luật giản ước tức là :

Ví dụ : + Mọi vànhX đều có 2 iđêan tầm thường là  0 và X

+ n (n là số tự nhiên )là các iđêan của vành

+Tập các hàm số liên tục trên đoạn a b triệt tiêu tại ,  x0a b, 

a/ Giao của một họ bất kì các vành con của X là vành con của X

b/ Cho X là vành U  X Khi đó giao của tất cả các vành con của X chứa

U cũng là vành con của X chứa U Đó là vành con bé nhất của X chứa U

gọi là vành con sinh bởi U

Kí hiệu U hoặc  U

1.3.4 Iđêan sinh bởi n phần tử

sinh bởi n phần tử a1, ,a là iđêan n

a Phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố

+ Ước thực sự : Cho X là miền nguyên, , a bX a, gọi là ước thực sự của

+ Phần tử nguyên tố: X là miền nguyên, pX , p  , p khác khả nghịch, 0

p là phần tử nguyên tố nếu p ab thì | p a hoặc | p b |

* Nhận xét: Mọi phần tử nguyên tố đều là phần tử bất khả quy điều ngược lại chưa chắc đúng Trong vành chính thì phần tử bất khả quy chính là phần tử nguyên tố và ngược lại

b Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

Cho X - miền nguyên

+¦íc chung lín nhÊt: PhÇn tö d ®­îc gäi lµ ­íc chung lín nhÊt cña

1, 2, n

| , 1,

i i

chung lín nhÊt nµy liªn kÕt víi nhau

+ Béi chung nhá nhÊt: PhÇn tö m ®­îc gäi lµ béi chung nhá nhÊt cña

1, 2, , n

1,

i i

d Định lý

Trong vành chính mọi phần tử khác 0 và khác khả nghịch đều phân tích được

thành tích hữu hạn các nhân tử bất khả quy Sự phân tích này là duy nhất nếu

không kể đến thứ tự và sự sai khác các nhân tử khả nghịch

thì m n,   n q, 

1.4.3 Vành sắp thứ tự

a Định nghĩa: Một vành giao hoán A có đơn vị 1 khác 0 được gọi là vành

sắp thứ tự nếu trên A có quan hệ thứ tự toàn phần, kí hiệu " " thoả mãn các

điều kiện sau:

i/ Nếu a  thì a b    với c b c a b c, ,  A

ii/ Nếu a0, b thì 0 a b  0

Quy ước : Viết a  có nghĩa a b  và a b  b

Phần tử a gọi là dương nếu a  và gọi là âm nếu 0 a  Ta có: 0

(h) Một vành sắp thứ tự X có tính chất ab  với 0  a 0, b  thì X là 0miền nguyên

* Nhận xét : Không thể xây dựng một quan hệ thứ tự trong vành số phức (kế thừa từ ) để vành số phức là vành sắp thứ tự vì nếu làm được như vậy thì

so sánh được với nhau với quan hệ thứ tự đã cho)

Ví dụ : Cho trang bị quan hệ S như sau : a b,  , aSb a b| Khi đó

là tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự chia hết

Ví dụ : A2, 4,8,16 , A là xích của N

* Khái niệm cận trên : Cho X là tập sắp thứ tự  , A là một xích của X ,

xX được gọi là cận trên của A nếu ax ,  a A

Nếu 1 n  thì đơn thức được kí hiệu là l 0

Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa :

Nhận xét : Biểu thức ở vế phải là một đa thức Vì f x , g x là các đa thức  

nên chỉ có hữu hạn hệ tử  a, a  Giả sử số hệ tử khác 0 của 0

 ,  

khác 0

* Có thể dễ dàng kiểm tra tập các đa thức n biến cùng với 2 phép toán cộng

2 đa thức và nhân 2 đa thức định nghĩa ở trên lập thành một vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1 Tập này được kí hiệu là R x 1, ,x hay viết ngọn là R x Và   R x 1, ,x được gọi là vành đa thức n biến trong đó R n

được gọi là vành cơ sở

Nhận xét : Có một cách xây dựng vành đa thức nhiều biến đó là xây dựng vành nhiều biến từ vành một biến theo quy nạp, ban đầu người ta xây dựng

vành đa thức một biến sau đó coi vành đa thức một biến là cơ sở

i/ Cho SK x  Khi đó V S   vì phương trình 1 0   vô nghiệm

ii/ Cho S   Khi đó V S K

Tập chỉ gồm một điểm là tập bất khả quy

2.1.3 Khái niệm đại số tương ứng với tập bất khả quy

a Khái niệm iđêan nguyên tố:

kiện fg  ta suy ra được f I  hay g I  I

Ví dụ: Iđêan 0 trong k X là iđêan nguyên tố vì tích hai đa thức   f g  , 0không thể là 0

+ Ta cũng có thể định nghĩa cách khác:

Ta gọi I là iđêan nguyên tố nếu từ điều kiện J J1 2  ta suy ra được I J  I1

hay J2  I

b Khái niệm iđêan cực đại

Iđêan thực sự A của X được gọi là iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan B của X mà

AB thì B X

Nhận xét : Trong một trường thì iđêan nguyên tố cũng là iđêan cực đại

Ví dụ : Iđêan nZ của Z (với n là nguyên tố) vừa là iđêan nguyên tố vừa là

Đặc biệt căn của iđêan  0 được gọi là căn luỹ linh của X và kí hiệu

 

Rad X

   | : n 0

Một phần tử của Rad X được gọi là phần tử luỹ linh của X  

Ví dụ: Phần tử 0 là luỹ linh của X vì 0Rad X 

2.1.4 Tiêu chuẩn để iđêan căn là iđêan nguyên tố

Ta thấy rằng : Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn Ta có tiêu chuẩn sau để iđêan căn là iđêan nguyên tố

Từ (1) ,(2)  I J1J2 với J J là những iđêan căn lớn thực sự hơn I 1, 2 Nhận xét: Từ định lý cho thấy mọi iđêan lớn nhất trong tập các iđêan thực sự

của A đều là iđêan nguyên tố và các iđêan này là các iđêan cực đại của A

Từ đó ta có thể phát biểu thành định lý sau:

b Định lý :

Trong vành giao hoán X luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại

Chứng minh

Đặt B{ |A A là iđêan của X A,  X} thì B là tập sắp thứ tự với quan hệ thứ

tự bao hàm B   vì  0 là iđêan của X ,  0  X  0 B Giả sử /

 tồn tại ít nhất một iđêan cực đại I

iđêan của X / A )  AI

( Mâu thuẫn giả thiết )

Đảo lại, giả sử I là iđêan nguyên tố Nếu V không là tập bất khả quy thì V

( mâu thuẫn với giả thiết)

Ví dụ: k là tập bất khả quy vì n n 0

k

I  là iđêan nguyên tố

Nhận xét: Như ta đã thấy, mọi iđêan vô nghiệm đều không là iđêan của một tập đại số Từ đây suy ra mọi iđêan nguyên tố vô nghiệm đều không thể là iđêan của tập bất khả quy

Bây giờ ta sẽ xét xem khi nào một siêu mặt Z f là tập bất khả quy  

Điều này liên quan chặt chẽ đến vấn đề khi nào  f là iđêan nguyên tố Để

giải quyết vấn đề này ta cần đến những khái niệm sau

2.2 Vành nhân tử hoá

2.2.1 Khái niệm

Miền nguyên A được gọi là vành nhân tử hóa nếu mọi phần tử thuộc A

đều là tích của những phần tử bất khả quy và nếu

có ước chung Suy ra tồn tại các đa thức u v sao cho i, i 1u g i iv h i 1. Do g 1

bất khả quy nên cK Suy ra (1) trở thành cg2 g r h2 h s

Dùng quy nạp theo s ta có thể giả thiết r và s g i c h i i với

Cho A là vành nhân tử hoá và f A tuỳ ý Iđêan  f là iđêan nguyên tố khi

và chỉ khi f là phần tử bất khả quy

Chứng minh

Giả sử f là phần tử bất khả quy Nếu gh f thì từ tính duy nhất của

sự phân tích gh thành tích các phần tử bất khả quy ta suy ra được f là ước

Vậy  f là iđêan nguyên tố

Đảo lại, giả sử f không phải là phần tử bất khả quy Khi đó f gh là tích

hai phần tử không khả nghịch Nếu  f là iđêan nguyên tố thì g f

2.2.4 Hệ quả

Cho A là vành nhân tử hoá và I là iđêan nguyên tố Nếu giữa I và 0 không còn một iđêan nguyên tố nào khác thì I là iđêan chính

Chứng minh

Cho f  tuỳ ý Ta thấy f phải có một ước bất khả quy g I  Theo bổ đề I

trên thì  g là iđêan nguyên tố Do 0 g  nên ta phải có I I  g

thuẫn với tính nguyên tố của  u )

2.2.6 Tính chất của vành nhân tử hoá

a Định lý

Trong vành nhân tử hoá luôn tồn tại ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ

b p p p b bất khả quy trên X Bằng cách bổ xung vào hai sự

phân tích trên những phần tử thiếu với mũ 0 Khi đó chọn

min ,

1 n m n m k k

k

d  p p ta có d có ước chung lớn nhất của , a b

* ý nghĩa : Trong vành nhân tử hoá mỗi phần tử khác không đều phân tích

được một cách duy nhất thành tích của những phần tử bất khả quy Đề tài đa thức bất khả quy liên quan chặt chẽ đến vấn đề nghiệm của đa thức và nhu cầu

mở rộng trường cơ sở đề tìm nghiệm cho đa thức Trước hết ta đi đến khái niệm trường các thương

Giả sử A là một miền nguyên Ký hiệu Q A là tập các iđêan thương  

Có thể kiểm tra thấy Q A là một trường Trường này được gọi là trường các  

thương của A Ta có thể đồng nhất A với vành các thương dạng f / 1 trong

b Định lý

Nếu A là vành nhân tử hoá thì A x là vành nhân tử hoá  

Chứng minh

+ Nếu deg f  0 f A Do A là miền nguyên nên tích hai đa thức bậc dương là một đa thức bậc dương Suy ra mọi phần tử trong A chỉ phân tích

trong A x Xét đẳng thức:  

v1 v f s u1 u h h s 1 s

Theo bổ đề trên, các ước bất khả quy của v1, v sinh ra các iđêan nguyên tố s

trong A x Do các hệ số của   h không có ước chung nên i h không chia hết i

cho các ước này Vì vậy u1 u không chia hết s v v và do đó ta có đẳng 1 sthức dạng:

f uh h1 s , u A

Các đa thức h1, ,h được xác định một cách duy nhất từ s g1, ,g Vì vậy u s

cũng được xác định một cách duy nhất Từ sự phân tích duy nhất u thành tích

các phần tử bất khả quy trong A ta suy ra f cũng có sự phân tích duy nhất

thành tích các phần tử bất khả quy trong A x  

+ Hệ quả: K X là vành nhân tử hoá  

2.3 Tiêu chuẩn để một siêu mặt bất khả quy

Việc mọi đa thức f K X  đều là tích các đa thức bất khả quy cho phép

ta quy việc nghiên cứu các siêu mặt Z f về trường hợp f là đa thức bất khả  

quy Khi đó,  f là iđêan nguyên tố Vì vậy ta có tiêu chuẩn sau cho một siêu

Nhận xét: Điều kiện I Z f   f không phải lúc nào cũng thoả mãn với mọi

đa thức bất khả quy f Chẳng hạn: Đa thức 2

Bài tập

Bài 1: Kiểm tra vành A = Z 3ab 3 | a b,   có là vành nhân tử hoá không ?

Ta có 42.21 3 1  3 trong đó 2, 1  bất khả quy.Suy 3

ra 4 có hai sự phân tích thành tích các nhân tử bất khả quy Vậy A không là

Giả sử S   Cho I1  I j  là chuỗi các iđêan trong S Ta thấy

ngay I j cũng là một iđêan căn Theo bổ đề Zorn thì tập S phải có những

iđêan lớn nhất Cho I là một iđêan như vậy Do S I không phải là iđêan nguyên tố nên tồn tại các phần tử ,f g  thoả mãn điều kiện fg I  Ta có I

   2  

Từ đây suy ra I  I f,  I g,  Vì vậy, mọi iđêan nguyên tố chứa I

cũng phải chứa I f hay ,  I g Do ,  I f và,  I g là những iđêan , 

căn lớn hơn I nên chúng là giao của các iđêan nguyên tố chứa chúng Từ đây,

ta suy ra I là giao của các iđêan nguyên tố chứa I (mâu thuẫn với cách chọn

I ) S

T khác thì Z S Z T  Vì vậy ta chỉ ra rằng mọi iđêan  S của K X đều  

sinh bởi một hệ hữu hạn T Điều này dẫn ta đến các khái niệm đại số sau

3.1 Iđêan hữu hạn sinh , iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy

3.1.1 Iđêan hữu hạn sinh

a Định nghĩa :

Cho I là một iđêan tuỳ ý trong vành A Tập S  A được gọi là hệ sinh của I

nếu I  S Iđêan I được gọi là hữu hạn sinh nếu I có hệ sinh hữu hạn

Định nghĩa : Cho X là vành giao hoán Iđêan thực sự A của X A X

được gọi là iđêan nguyên sơ nếu xyA y, A thì n  để n

b Iđêan bất khả quy

Định nghĩa: Một iđêan được gọi là bất khả quy nếu iđêan đó không là giao của hai iđêan lớn hơn thực sự