học sinh giỏi toán 12 lào cai

2. Khung ma trận đề kiểm tra kết hợp cả hai hình thức Tên Chủ đề (nội dung, chương…) Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Cộng TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL Chủ đề 1 Este lipit Khái niệm, công thức tổng quát, một số este đơn giản Viết đồng phân, gọi tên, phản ứng hóa học Tính chất hh, hoàn thành sơ đồ phản ứng BT thủy phân trong môi trường kiềm, đốt cháy Giải bài tập xà phòng hóa chất béo, đốt cháy hh este Số câu Số điểm Tỉ lệ % 1 0,25 2,5% 0 0 0% 1 0,25 2,5% 1 0,25 2,5% 1 0,25 2,5% 0 0 0% 1 0,25 2,5% 0 0 0% 5 1,25 12,5% Chủ đề 2 Cacbohidrat Công thức chung gluxit, công thức phân tử đường Cấu trúc phân tử, đồng phân Hoàn thành sơ đồ phản ứng Giải bài tập phản ứng tráng gương BT thủy phân hoàn toàn kết hợp tráng gương Thủy phân không hoàn toàn kết hợp tráng gương Số câu Số điểm Tỉ lệ % 2 0,5 0,5% 0 0 0% 1 0,25 2,5% 2 0,5 5% 1 0,25 2,5% 1 0,25 2,5% 1 0,25 2,5% 0 0 0% 8 2,0 20% Chủ đề 3 Amin, aminoaxxit, protein Khái niêm, gọi tên Viết đồng phạn, cấu trúc phân tử Tính chất hh, hoàn thành sơ đồ pư Giải bài tập tìm công thức, tính m, V Bài tập đốt cháy tìm công thức amin Áp dụng BTKL, BTNT giải bài tập Số câu Số điểm Tỉ lệ % 2 0,5 5% 0 0 0% 2 0,5 5% 2 0,5 5% 1 0,25 2,5% 1 0,25 2,5% 1 0,25 2,5% 0 0 20% 9 2,25 22,5% Chủ đề 4 Polime Gọi tên polime, một số vật liệu polime SS trùng hợp với trùng ngưng Hoàn thành sơ đồ phản ứng Giải bài tập phản tính số mắt xích Tính m hoặc V theo sơ đồ điều chế polime Số câu Số điểm Tỉ lệ % 2 0,5 5% 0 0 0% 1 0,25 2,5% 2 0,5 5% 1 0,25 2,5% 0 0 0% 1 0,25 2,5% 0 0 0% 7 1,75 17,5% Chủ đề 5 Đại cương về kim loại Tính chất vật lý chung, riêng Sao sánh tính oxh – khử Sắp xếp tính oxh, khử Giải bài tập kim loại tác dụng HCl Giải bài tập tác dụng ion kim loại Hỗn hợp kim loại tác dụng hh muối Số câu Số điểm Tỉ lệ % 3 0,75 7,5% 0 0 0% 3 0,75 7,5% 2 0,5 5% 1 0,25 2,5% 1 0,25 2,5% 1 0,25 2,5% 0 0 0% 11 2,75 27,5% Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ % 10 2,5 25% 17 4,25 42,5% 13 3,25 32,5% 40 10 100%

ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH LÀO CAI

NĂM 2018 – 2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

Câu 1 (5.0 điểm).

2

, ,

x y

�

b) Cho , ,a b c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 4

a bc b ca c ab

b c c a a b

Câu 2 (4.0 điểm).

a) Cho hàm số y f x  có đạo hàm    2018 2 1  2 

3

x x

f x�  x ��   ��x  x

giá trị thực của m để hàm số f x 28x m  có đúng 3 điểm cực trị sao cho x12 x22 x32 50, trong đó x1, x2, x3 là hoành độ của ba cực trị đó

b) Cho dãy số  un xác định như sau

1 2 1

1

2

1

n n n

n n

u u

u u







�



� Chứng minh rằng dãy  u có giới hạn và tìm giới hạn đó n

Câu 3 (3.0 điểm).

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D , có

CD AD AB Gọi M 2; 4 là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB3AM Điểm N thuộc cạnh BC sao cho tam giác DMN cân tại M Phương trình đường thẳng MN là 2x y  8 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng : d x y 0 và điểm A

thuộc đường thẳng : 3d�x y  8 0

b) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Biết hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng ABCD là điểm M thỏa mãn uuurAD3MDuuuur Trên cạnh CD lấy các điểm I ,

N sao cho � ABM MBI� và MN vuông góc với BI Biết góc giữa SC và ABCD bằng 60 Tính thể tích khối chóp S AMCB và khoảng cách từ N đến mặt phẳng SBC.

Câu 4 (3.0 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 2

15x 2z

y

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 12

TỈNH LÀO CAI NĂM 2018 – 2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

Câu 1 (5.0 điểm).

2

, ,

x y

�

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm

*

x y

x y

x y

 �

�

�  �

�

�   �

�

�

Đặt 5  � ; 4x a 0   � , phương trình y b 0 17 3 x 5 x 3y14 4  trở y 0 thành:

17 3 5 a a 3 4 b 14 0 3a 2 a 3b 2 b 3a 2a 3b 2b

Xét hàm số   3

y f t  t  trên t 0;� 

f t�  t   t� � nên hàm số y f t  đồng biến trên 0;� 

Vì thế với a�0, b� thì 0 3a32a3b32b� f a   f b  �a b .

Suy ra 5 x 4y �5  x 4 y� y x 1

Thay y x  vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình:1

  2

2 3x 4 3 5x 9 x 6x13 1

Điều kiện 4;5

3

x ���� ���. Khi đó phương trình  1 �2 3x  4 2 3 5x  9 6 x26x5

x x

�

      

 

1 0

5

1

5 2

x x

x

x

x

x

�

 

�

�

�

 

�

�

� Phương trình  2 tương đương với 6 15 5

3x 4 1 5x 9 2 x

3

Ta có  

3

Suy ra hàm số g x nghịch biến trên   4;5

3

Vì thế phương trình g x   có nhiều nhất một nghiệm trên 5 4;5

3

Ta lại có x là nghiệm của phương trình 0 g x   nên đây là nghiệm duy nhất.5

Với x  thì 1 y  2

Với x thì 0 y  1

So sánh điều kiện  * , hệ đã cho có hai nghiệm x y là ;    ; 1 ; 2 0 ; 1 

b) Cho , ,a b c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 4

a bc b ca c ab

b c c a a b

Lời giải

Ta có a2 bc a2 bc ab ac a b a c   a2 bc a b a c  

Tương tự ta có: b2 ca b c b a  

b

  ; c2 ab a c c b  

c

a b a c   b c b a   c a c b     44

�

ÁP dụng bất đẳng thức AM-GM

a b a c   b c b a   2 

a b

b c b a   c a c b   2 

b c

c a c b   a b a c    

c a

2 a b a c b c b a c a c b 4 a b c

4 4

P a b c a b c

Đặt t4a b c  0�a b c  44a b c t   4 4t

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi 1 1

3

a b c

a b c

a b c

  

�

  

�

�  

Câu 2 (4.0 điểm).

a) Cho hàm số y f x  có đạo hàm    2018 2 1  2 

3

x x

f x�  x ��   ��x  x

giá trị thực của m để hàm số f x 28x m  có đúng 3 điểm cực trị sao cho x12 x22 x32 50, trong đó x1, x2, x3 là hoành độ của ba cực trị đó.

Lời giải

Cách 1.

Ta có   0 30

2

x

x



�

�

�

� Trong đó, x3 là nghiệm bội chẵn

8

g x  f x  x m có      2 

g x�  x f x�  x m Khi đó,

 

2 2

2 2

4 4

0

x x

x x m

g x

x x m



�



�

�

�

�

�

�

  

Ta xét hàm h x  x2 Hàm số này có bảng biến thiên như sau8x

–

Nếu 3  m 16�m19 thì các phương trình  1 ,  2 ,  3 đều vô nghiệm Do đó, hàm số

 

g x chỉ có một cực trị

Nếu 2 � �-�m 16 3- m 18 m 19 thì phương trình  1 có 2 nghiệm bội chẵn hoặc nghiệm kép, phương trình  2 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, phương trình  3 vô nghiệm Do

đó, hàm số g x chỉ có một cực trị  

Nếu -�-m 16 2 m 16 m 18 thì phương trình  1 có 2 nghiệm bội chẵn, phương trình  2 có 2 nghiệm bội lẻ, phương trình  3 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Do đó, hàm số

 

g x có ba cực trị Khi đó, giả sử x14 thì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình  2 thỏa

2 3 34 2 3 2 2 3 34

Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64 2 m 2 34�m17 (thỏa điều kiện 16�m18) Nếu   m 16�m16 thì phương trình  1 có 2 nghiệm bội chẵn, phương trình  2 có 2 nghiệm đơn, phương trình  3 có 5 nghiệm đơn Do đó, hàm số g x không thỏa mãn có ba   cực trị

Vậy m17 là giá trị cần tìm

Cách 2.

8

3

x x m x x m

Dấu của g x� cùng dấu với      2  2 2 

2x8 ���x  8x m 2 x  8x m ���

Ta xét hàm h x  x2 Hàm số này có bảng biến thiên như sau8x

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi -�-m 16 2 m 16 m 18 Khi đó, giả sử x14 thì 2

x , x3 là hai nghiệm của phương trình x28x  thỏa mãn điều kiện 2 m

2 2

2 3 34 2 3 2 2 3 34

–

Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64 2 m 2 34�m17 (thỏa điều kiện 16�m18) Vậy m17 là giá trị cần tìm

b) Cho dãy số  un xác định như sau

1 2 1

1

2

1

n n n

n n

u u

u u







�



� Chứng minh rằng dãy  u có giới hạn và tìm giới hạn đó n

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Nguyệt ; Fb: Nguyetle

1

1

n n n

n n

u u u

u u











2

1

n

n n

u

u u







 

2

1

n

n n

u

u u







 

2

1

n

u





 

Đặt n n 11

n

u v u





 ta có v n2 v v n n1 nên v n2  v v n n1 Đặt x n ln v n ta được x n2 x n1 x n

Phương trình đặc trưng t2   có nghiệm t 1 0 1 2

;

t   t  

n

x ��� ������ ���

Từ

1

1 1

2

2

u

x



�

Vì 1 5 1;1 5 1

n

x  ����� ������ ����� �

Suy ra lim lim 1 0

1

n n

n

u v

u



 Vậy dãy  u có giới hạn là 1 n

Câu 3 (3.0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D , có

CD AD AB Gọi M 2; 4 là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB3AM Điểm N thuộc cạnh BC sao cho tam giác DMN cân tại M Phương trình đường thẳng MN là 2 x y  8 0

Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng : d x y 0 và điểm A thuộc đường thẳng : 3d�x y  8 0

Lời giải

,

2

0

Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ B , kẻ NF vuông góc với DC Ta có NF CN CF

BE CB CE

� � � �

� � � �

Nhận thấy

MD MN DN Suy ra DMN vuông tại M +) Vì D thuộc đường thẳng : d x y 0 nên D d ;d �MDuuurd  2; d 4

Phương trình đường thẳng MN: 2x y  8 0 có véc tơ chỉ phương

+) Điểm A thuộc đường thẳng : 3 d�x y  8 0 nên A a ; 3 a 8

2



�

�DA a a MA a a �DA MA �a a � � �a

a

*) Trường hợp 1: a �1 A 1; 5

Giả sử B x y ta có  ;  ABuuur x 1;y5 ; uuurAM 1; 1  �3uuurAM 3; 3 

uuur uuur

Giả sử C x y ta có  ;  DCuuur x 2;y2 ; uuurAB3; 3  �2uuurAB6; 6 

uuur uuur

*) Trường hợp 2: a �2 A 2; 2

Giả sử B x y ta có  ;  ABuuur x 2;y2 ; uuurAM  0; 2 �3uuurAM  0; 6

uuur uuur

Giả sử C x y ta có  ;  DCuuur x 2;y2 ; uuurAB 0; 6 �2uuurAB0;12

uuur uuur

b) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Biết hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng ABCD là điểm M thỏa mãn uuurAD3MDuuuur Trên cạnh CD lấy các điểm I ,

N sao cho �ABM MBI� và MN vuông góc với BI Biết góc giữa SC và ABCD bằng 60 Tính thể tích khối chóp S AMCB và khoảng cách từ N đến mặt phẳng SBC.

Lời giải

*) Tính thể tích khối chóp S AMCB :

Ta có :

2 ,

3

3

a

.

*) Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng SBC

Ta có : 13 cos� 3 cos�

BM

, 9

a

DI x�IM x  IB a x a

Áp dụng định lý cosin ta có

12

a ABM MBH BH AB a IH IB BH

,

Suy ra :  ,   1  ,   1  ,  

d N SBC  d D SBC  d M SBC

Kẻ ME vuông góc với BC , MK vuông góc với SE Suy ra : MK d M SBC   

a MK

MK MS ME  a � 

a

d N SBC  M SBC 

�

Câu 4 (3.0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 2

15x 2z

y

Lời giải

Người Word hóa: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope

Theo yêu cầu bài toán thì 2z  �15 1 24 z 4

Khi đó vế phải của phương trình đã cho chia hết cho 16 Do đó y phải là số lẻ

Từ đó ta được:

2

2

1 mod8

x x

x x

y

y

� �

�



�

Ta lại lập luận tiếp để kết luận z phải là số chẵn bằng phản chứng như sau:

Nếu z là số lẻ thì 2 1    

2z 2 n 2 3 1 n 2 mod 3 và 2

y không thể chia 3 dư 2 nên ta có mâu

thuẫn Vì khi đó 2z không thể chia hết cho 3 y2

Vậy tới đây ta tiếp tục tìm nghiệm của phương trình đã cho với giả thiết là ,x y đều lẻ, còn z là

số chẵn

15x 2z 15x 2t 2t

  �    với t� là số nguyên thỏa mãn 2 z 2t

Ta nhận xét rằng

2t  2t  2.2t

    Do đó 2t 

y

 và 2t 

y

 không thể cùng chia hết cho 3 hoặc 5

 

 

1

1

2

2

t x x

t x

x x

t x

x t t

y

y y

y y

y





�

�

�

Nếu

1 1 1

4 2

1

6

x y y

z t

x

z



�

�

� 



�

�

Nếu x2n3,n� thì từ 0 2 5 3 76 6 2 0 mod16 

2

x x

3x 27 3 n 27 4 1 n 13 mod16 ;  2  

5x 125 4 1 n 13 mod16 Khi đó 3x 5x 26 mod16 , ta kết luận  1 vô nghiệm

Tương tự như thế, nếu x2n3,n� thì từ 0 2 15 1 1688 10 2 0 mod 32 

2

x

5x 16 1 n �16 2n 3 1 mod 32 Khi đó 1 15 x 16 2 n3 mod 32  , ta kết luận  2 vô nghiệm

Vậy các nghiệm nguyên dương là 1;1; 4 và  1;7;6 

Lời giải

Tác giả:Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi

Xét số hạng tổng quát :

2019 2020

k k

k

k



2019!

k

k

C



2019!

k

C

k k



1 2019

2019k 2019 k

 ,  k 1,2, ,2019

Suy ra S C 20190 C20192018C20191 C20192017  C20192017.C20191 C20192018.C20190

Xét

  2019 2019  0 1 2019 2019  0 1 2019 2019

2019 2019 2019 2019 2019 2019

1x 1x  C C x  C x C C x  C x

Hệ số của x2018 trong khai triển   2019 2019

1x 1x là :

0 2018 1 2017 2017 1 2018 0

2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019

Xét khai triển :  4038 0 1 2018 2018 4038 4038

4038 4038 4038 4038

1x C C x  C x   C x

Hệ số của x2018 trong khai triển  4038

1 x là 2018

4038

Từ  1 và  2 ta có