Học sinh giỏi toán kontum

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

S n ph m c a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ả ẩ ủ Đề HSG t nh Kon Tum n ỉ ăm 2019-T 1 ổ

ĐỀ HSG TỈNH KON TUM NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

Câu 1. (3 điểm) Giải hệ phương trình

2

�

�

Câu 2. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đặt BCa,AC b , AB c Cho biết a, 2

3b , c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân Tính B C,

Câu 3. Cho dãy số  u được xác định bởi n 1 2   *

�

n n

u n



Câu 4. [3,0 điểm ] Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây

bưởi và 10 loại cây khác 5 loại cây trên đồng thời đôi một khác loại nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một loại

Câu 5 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC AB AC   là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn  O , H là trực

tâm tam giác Gọi J là trung điểm của BC Gọi D là điểm đối xứng với A qua O

1) (3,0 điểm) Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC CH BH, , Chứng

minh rằng tứ giác PMJN nội tiếp.

2) (2,0 điểm) Cho biết � BAC600, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng

2AHI 3ABC

Câu 6. Tìm tất cả các số nguyên tố a thỏa mãn 8a2 cũng là số nguyên tố.1

Câu 7 (2 điểm) Cho a,b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a22b c2  Tìm giá trị lớn nhất và 2 6

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2a b c   abc

 HẾT 

S n ph m c a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ả ẩ ủ Đề HSG t nh Kon Tum n ỉ ăm 2019-T 1 ổ

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG TỈNH KON TUM

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

Câu 1. (3 điểm) Giải hệ phương trình

2

�

�

Lời giải

Tác giả: Vũ Việt Tiến; Fb: Vũ Việt Tiến

 

2

�

�

+ Điều kiện: x� ; 1 y�1.

+ Ta thấy x y 1 không là nghiệm của hệ phương trình

+ Ta có  1 � x 1 y 1 y 1 x1

�

x y



�

�

+ Ta thấy  * vô nghiệm vì vế trái luôn dương, vế phải luôn âm với x�1,y�1, ;x y  �1;1 . + Với x y , thế vào  2 ta được: x2 x 12 x 1 36

x  x   x x 

�

� �

    

�

�

�

�

1 1 6 0 v� nghi�m

�  



  

�

1 2

3

1 3 v� nghi�m

x

x

+ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y;    3; 3

Câu 2. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đặt BCa,AC b , AB c Cho biết a, 2

3b , c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân Tính B C,

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Lan ; Fb: Ngoclan nguyen

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có b a sinB, c a c B os

S n ph m c a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ả ẩ ủ Đề HSG t nh Kon Tum n ỉ ăm 2019-T 1 ổ

a, 2

3b , c lập thành cấp số nhân

2

2 3

ac b

3

3cosB2 1 cos B

1 cos

2

B B

 

�

�

�

�

1 cos

2

B

1 cosB 1

 � � ) �B60� (vì 0� B 180� )

Vậy B �, 60 C � 30

Câu 3. Cho dãy số  u được xác định bởi n 1 2   *

�

n n

u n



Lời giải

Tác giả: Ngọc Thanh; Fb: Ngọc Thanh

 

     

1

n

Đặt v n u n1 u n

Ta có  2 �u n2u n1u n1 u n 2�v n1 v n 2.

Suy ra  v lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu n v1 và công sai 2 d  2

Nên v n   2 n 1 2 2  n

Khi đó: u n u n u n1  u n1u n2 � u2u1u1

2

n n

n n



Do đó:

2

n

u n



Câu 4. [3,0 điểm ] Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây

bưởi và 10 loại cây khác 5 loại cây trên đồng thời đôi một khác loại nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một loại

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Huyền ; Fb: Huyen Nguyen

Trường hợp 1: Chọn 5 cây nhóm II

Số cách chọn là C5 252 (cách chọn)

S n ph m c a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ả ẩ ủ Đề HSG t nh Kon Tum n ỉ ăm 2019-T 1 ổ

Trường hợp 2 : Chọn 4 cây nhóm II, chọn 1 cây nhóm I

Số cách chọn là 4 1 1

10 .5 2 2100

C C C  (cách chọn)

Trường hợp 3: Chọn 3 cây nhóm II, chọn 2 cây nhóm I

Số cách chọn là 3 2  1 2

10 .5 2 4800

C C C  (cách chọn)

Trường hợp 4 : Chọn 2 cây nhóm II, chọn 3 cây nhóm I

Số cách chọn là 2 3  1 3

10 .5 2 3600

C C C  (cách chọn)

Trường hợp 5: Chọn 1 cây nhóm II, chọn 4 cây nhóm I

Số cách chọn là 1 4  1 4

10 .5 2 800

C C C  (cách chọn)

Trường hợp 6: Chọn 5 cây nhóm I

Số cách chọn là 5  1 5

C C  (cách chọn)

Vậy số cách chọn cây thỏa mãn yêu cầu bài ra là:

252 2100 4800 3600 800 32 11584      (cách chọn)

Câu 5 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC AB AC   là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn  O , H là trực

tâm tam giác Gọi J là trung điểm của BC Gọi D là điểm đối xứng với A qua O

1) (3,0 điểm) Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC CH BH, , Chứng

minh rằng tứ giác PMJN nội tiếp.

2) (2,0 điểm) Cho biết � BAC600, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng

2AHI 3ABC

Lời giải

Tác giả: Minh Tuấn + Thúy Minh ; Fb:Minh Tuấn Hoàng Thị, Thúy Minh

1)

Ta có BH CD (vì cùng vuông góc với AC ) và // CH BD (vì cùng vuông góc với // AB) nên

BHCD là hình bình hành, do đó J cũng là trung điểm của HD

Từ giả thiết ta được tứ giác HPDN nội tiếp đường tròn tâm J suy ra:

S n ph m c a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ả ẩ ủ Đề HSG t nh Kon Tum n ỉ ăm 2019-T 1 ổ

� 2� 2 180 0 � 

PJN  PDN  BHC  1

Ta có các tứ giác BPMD CNMD, nội tiếp nên: �PMN 3600PMD NMD� � HBD HCD� �

360 BHC BDC 360 2BHC

Từ  1 và  2 suy ra �PJN �PMN nên tứ giác PMJN nội tiếp Điều phải chứng minh

2)

Gọi L là giao điểm của AH với BC , K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn ngoại

tiếp  O của tam giác ABC

Kẻ đường thẳng đi qua I vuông góc với BC cắt BC và cắt cung nhỏ BC lần lượt tại E và

N

Ta có JL DK ( vì cùng vuông góc với AK ) mà J là trung điểm của HD nên JL là đường / /

trung bình của tam giác HDK , suy ra L là trung điểm của HK Do đó K đối xứng với H

qua

đường thẳng BC suy ra � BHC BKC� 120�

2

B C BIC �   � nên , , ,B I H C đồng viên thuộc đường tròn đối xứng với  O qua BC , suy ra N chính là điểm đối xứng với I qua BC Suy ra HINK là hình thang cân.

2

ABC ABI IBC CBN 

2

AHI  �IHK �AKN ABN  ABI IBC CBN   ABC

Suy ra �2AHI 3�ABC Điều phải chứng minh

Câu 6. Tìm tất cả các số nguyên tố a thỏa mãn 8a2 cũng là số nguyên tố.1

Lời giải

Tác giả : Ngô Quốc Tuấn, FB: Quốc Tuấn

a

S n ph m c a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ả ẩ ủ Đề HSG t nh Kon Tum n ỉ ăm 2019-T 1 ổ

+ Trường hợp 1: với a khi đó 2 8a2  chia hết cho 1 33 11, loại trường hợp a 2

+ Trường hợp 2: với a khi đó 3 8a2  là số nguyên tố.1 73

+ Trường hợp 3: với a3�a3k� khi đó 1 8a2 1 8 9 k2�6k  1 1 3 24  k2�16k3

chia hết cho 3 , loại trường hợp a 3

Vậy a là giá trị duy nhất cần tìm.3

Câu 7 (2 điểm) Cho a,b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a22b c2  Tìm giá trị lớn nhất và 2 6

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2a b c   abc

Lời giải

Với bốn số a, b, x,y ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

1

ax by �a b x y

(Học sinh có thể không cần chứng minh bất đẳng thức  1 )

Áp dụng bất đẳng thức  1 , ta có

P ��a bc  b c ��  2   2  2

a  � bc  b c �

� �a22b22c22

Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

 2 2  2 2  2 2 13 2 2 2  2 2  2 2

6

�

Từ đó suy ra P � Suy ra 62 36  � � P 6

Mặt khác với a , 0 b  , 1 c  thì 2 3a22b c2  và 2 6 P  6

Với a , 0 b , 1 c thì 2 3a22b c2  và 2 6 P6

Vậy MinP 6 khi a , 0 b  , 1 c  2

6

MaxP khi a , 0 b , 1 c 2

 HẾT 