Bài toán chứa tham số .(Ôn thi HSG)

BAI TOAN LIEN QUAN DEN THAM SO Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình.. hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số.. Có lẽ đây là dạng toán mà

| CHUONG VIL

BAI TOAN LIEN QUAN DEN THAM SO

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình hệ phương trình ta thường

hay gặp các bài toán liên quan đến tham số Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học

sinh lúng túng nhất Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán

mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số đề phương trình có nghiệm, có

k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó ) và phương pháp giải các dạng toán đó

1 Phương pháp hàm số

Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm

trên D Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm = hai dé thị của hai hàm số y =f(x) và y=g(m) cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau: |

1) Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x)

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thắng y=g(m) cắt đồ thị hàm số y= f(x)

Chi: ¥: : Néu ham sé y= f(x) lién tuc tén D va m=min f(x), M=Max f(x) thi xeD xeD phương trình : f(x)=k có nghiệm khi và chỉ khi m<k<M

Vƒ dự 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

) Vx? +x41-Vx?-x4+l=m

2) x? +1-Vx =

Giai

1)Xết ham sé f(x) = Vx? +x +1—Vx? —x +1 c6 tap xác định là D=R

Ta có: oy

2vVx?2 4x4 4 x?°—=x+l

=> f'(x)=0 (2x + I)Vx?-x+ = (2x -1)Vx? +x+l (Œ)

2

=(x+4) I«~ 2)? + Ÿ]= (x-3) [x +> +3i=x= 0 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn Vậy phương trình f'(x)= 0 vô nghiệm = f'(x) không đổi dấu

trên R, mà f'(0) =l >0=f(x)>0_ Vxe R =f(x) đồng biến

lim —————— 2” ————=I và timex) = Mặt khác: limf(x) =

Bang bién thién:

_

f(x) | -1

Dựa vào bảng biến thién ta thay phương trình đã cho có nghiệm —l<m <1

2) ĐK: x>0

Xét hàm số f(x)=Ñ x?+ -*š với xe D=[0;+)

x 1

24402 + 1p ” 2Vx `

=> f(x) =06 xVx = (x2 + ĐỀ = x® =(x7 +13 Sx? =x741 vô nghiệm

=f'! CO không đôi dâu trên D mà f'(1)=——=— g đôi dâu œ@) 28 <0 —f'(x)<0 Vxe D Ce

Ta có: f'(x)=

2

Mặt khác: lim f(x)= lim

Xoo x—= ấ(x? +I)Š + $ƒx2(x? +2 +ƒx (x2 +1) + YXO

= O<f(x)<f(0)=1 Vxe D=> phương trình có nghiệm <> O< m <1]

Cñhứ ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng

trên

Vi du 2: Tim m đề các phương trình sau có nghiệm:

1) Ẩx —13x+m+x—1=0

2) xVx + Ve 412 =m(J5—x +V4—x)

Giai:

x<l

1) Phuong trinh oe xem =1—x | 4

x —13x +m=(1—x)?

=| 3 5 Xét hàm số f(x) = 4x* — 6x? —9x voi x <1

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm <> 1—m <><>m=2— >

2) Điều kiện: O<x<4

Khi 46 phuong trinh = f(x) =(xVx + Vx +12)(J/5 —x —V4 —x) =m

ci V5—x —V4—x #0)

Xét ham sé f(x) =(xVx + Vx +12)(J/5— x —V4—x) voi O<x <4

Ta có: f'x)=(CAx +—————)(————_—————› COG 2VX I2 2/4 7X 2J5—x?

Do O0<4⁄4—x <4⁄5—x==————_—-—~——>0=f(x)>0 Vxe[O:4) 2/J4—x 2.4/5—x o4)

Vậy f(x) là ham déng bién trén [0:4] => 2V3(J5 — 2) = f(O) < f(x) <f(4) ==12

Suy ra phương trình có nghiệm <= 2A/3(2/S — 2)<m <12

Chit ¥ = Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm xe D (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả

ta tìm được ở trên

4—': 5x 2x

Vi du 3: Tim m để hệ sau có nghiệm: “sG ) Œ),

3x?—mxV/x+l6=0 (2)

Ta thay (1) la bat phuong trinh mét 4n nén ta sé di giai bat phuong trinh nay

Ta cé: 2° <25*-4 ©&x?<5x—4e©=x?—5x+4<0©>l<x<4

Hệ có nghiệm <> (2) có nghiệm xe€[I:4]

3X“ TI6_—m Xét hàm số f(x)=3*_ +16

xVx

6x? Vx — SVX Gx? +16) _ 3Vx (x2 —16)

=8=f(4) <f(x)<f(I)=l9_ Vxe[l:4]

Vậy hệ cé nghiém = 8<m<19

Vi du 4: Tìm m đề hệ sau có nghiệm:

72xzvx+l _ 72*JxX*Ï + 2007x <2007 qd) x? —(m+2)x +2m+3=0 @)

Ta có: (1 © 7779871 (77-9 — 1) < 20070 —x) (3)

«Nếu x>l= VT(3)>0 > VP(3) = (3) vô nghiệm

e Nếu x<l= VT(3)<0<VP(3)= (3) đúng

= (3) có nghiệm x <1

Suy ra hệ có nghiệm <> (2) có nghiệm x <1

2

Ta có: (2) oom = x— 2S t3 = re, Xét hàm số f(x) với x <1 có:

x? —4x4+1

(x-2y

Bang bién thién

2-2V3

Dựa vào bảng biến thiên = hệ có nghiệm <= m <2 —2V3

Vi du 5: Tim m đề hệ phương trình sau có nghiệm:

y+ xy =2 @)`

Ta thay (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyêt (2) trước

v<2

Ta có: (2) @fxy =2-yo x= y? —4y +4 Thay vao (1) ta duge:

2—4y+4

Hệ có nghiệm <> (3) có nghiệm y <2 Xét hàm số f{y) với y<2

4y-4

—y+m=0<>m=

=f@œ)= 4 0=f(y) đồng biến trên các khoảng (—œ;0) c2 (0;2]

y

lim f(y)=4; lim f(y)=—=: lim f(y) =+e Ta có bảng biến thiên:

= hệ có nghiệm > me (—ee: 2] L (4;+ee)

Chứ ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý

Số nghiệm của phương trình f(x) =g(m) chính là số giao điểm của đỗ thị hai ham

số y=f(x) và y=g(m) Do đó phương trình có k nghiệm < hai đồ thị trên cắt

nhau tại k giao điểm

VZ dự 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân

bi Vx4 —4x3 + 16x +m + Yx?— 4x3 + 16x +m =6

Gi

Dat t=¥x4 —4x3 +16x +m, t>0 Tacé phuong trinh :

t74+t-6=0t=2 = ¥x*—4x34+16x +m =2

<= —m= x*— 4x7 + 16x —16 Xét ham sé f(x) =x* — 4x7 +16x—16

= f(x) = 403 —3x? +4) =4(x —2)2(x +) =r@o=ool x

Bang bién thién

f@œ) Ny _

-27 Dựa vào bảng biên thiên = phương trình có hai nghiệm phân biệt

©-m>~27 ©m<27

Vĩ dự 7: Tìm m để phương trình : myx? +2=x+m có ba nghiệm phân biệt

Giải:

Phương trình m(Vx? +2 —Daxeoma (do Vx? +2 -1>0 ¥x)

x° +2-1

vx? +2 -1 —

Xét ham sé f(x) = ——}— > F(x ) = —

Vx? 42-1 ( fz 42-1)

_ 2

P(x) = 2? ——=f(x)=0©x=+V2

Vx? +2 (vx? +2 -1)

Bang bién thién:

2

Dựa vào bảng biến thiên = —/2 <m<^/2

Ví dự 8: Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình : mx2 +l=cosx có đúng

một nghiệm xe€ (s$):

Giải: —

Ta thay dé pt có nghiệm thì m<0 Khi đó:

Phương trình <= =

Xét ham sé: f(t) =" voi te (%3)

t

t.cost—sint _ cost(t —tgt)

Eces tee ae ee ea +

Ta có: f'()= <0 với Vte (sš)= f(Ð nghịch biến

-

2V2 và imf()=i=2Ý2 <f()<ti—-Š_< pi — Tt a) = 2

2

2 <-2m<l

Vậy phương trình có đúng một nghiệm xe (`) => mm

4

<`¬ <Sm <=—— -

3(x +1)? +y-—m=0

x+fxy =1

Vi du 9: Tim m dé hé phuong trinh : | có ba cặp nghiệm

x<l

x?—2x +1 (do x=0 không là nghiệm

y = phuong trinh )

Thay vào phương trình thứ nhất ta được: 3x“ +6x+——————=m-3 (a)

x

Hệ có ba cặp nghiệm © (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa man x <1

2

Xét hàm số f(x) =3x2+6x + * 2% t1 234? 47x24] voix<

x xX

= P(x) = 6x +7 - 5 = ST ——`=f(x)=0©Sx=-lix=—-:x=+

Bảng biến thiên:

BIỮNG ƯỚNG N⁄Z

Dựa vào bảng biển thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt

20

1 <mT-3<9 29 <m<12

-7<Sm-3<-? ” 4 |-3<sm<"lŠ 4

Vậy “ “<m<12 VU -4sms—5 là những giá trị cần tìm

VZ dự 70: Biện luận số nghiệm của phương trình sau:

mVx? +1 =x +2-—m

Giai:

PT ©m(VX?+1+1)=x+2©m=-Š T2 — = F(x) (do Vx? +1 +150)

Vx? +141

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y=m và

y=f(x)

Vx 4141-222)

Vx2 41 _ x? +1—2x41

Xét hàm số y =f(x) ta có: f'(x)=

€x?~+I+1? Ax? ~+1(Vx? ~+1~+1)?

x? +1=4x? —4x +1

xa +2)

lim f(x)= lim —————* =-1 va _ lim f(x) =1

—x| |J*+-=——

Bang bién thién

too

—

Dựa vào bảng biên thiên suy ra:

m>—

« Nếu 4= phương trình vô nghiệm

m<—I

; |m=Š

« Nếu 4 = phương trình có một nghiệm

—l<m<l

« Nếu I<m< = = phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cứ ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ấn phụ và giải quyết bài toán

ân phụ trên miền xác định vừa tìm Cụ thể:

* Khi dat t=u(x).x D ta tìm được te Y và phương trình f(x.mì) =O(1) trở

thành g(,m) = O (2) Khi đó (1) có nghiệm xe D ©(2) có nghiệm te Y

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị

(vi mién xac dinh cua t chính là miền giá trị của hàm u(x) )

* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t

tức là mỗi giá trị te Y thì phương trình u(x) =t có bao nhiêu nghiệm xe D2

VZ dự 77: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

1) /X+~XS—x=VTx”+9x+~m

2) ‡3+~x +A6—x —2/ + x)(6—x)=m

3) m(Vx —2 + 24x? — 4) — Vx +2 =2ÄÍx? =4

Giai:

1) Điều kiện: O<x<9

Phương trình >9 +22/x(9 —x) =—x? +9x +m >2 —m =x(9 —x) —22/x(9— x)

Đặt t=./x@—=x)=o<t<š#*9=x~9, 2 2

Ta có phương trình : 2—m=t2—2t=f(t) (1)

Phương trình đã cho có nghiệm < (1) có nghiệm te [0:21

Xét ham sé f(t) voi te [0:2], có f'Œ)=2t—2>0=f'(Q=0«©t=l

Bảng biến thiên:

f(t) "mo a

Vậy phương trình có nghiệm =—1< 2— ms `” <m <3

2) Điều kiện: —3<x<6

Đặt t=x/3 +x +A6—x =t)=9+2/G +x)(6—x) =2 + x)(6— x)=

2-9

=m st? —2t =9—2m (2)

Phương trình đã cho trở thanh: t—+

Xét ham sé t(x) =V3 +x +V6—x = t'(x) = ———— —- —

2Vx+3 2V6—-x

= t(x)=05 V6 —x =Vx +3 =x=Š.Ta có bảng biến thiên của tx)

3⁄2

Dua vao bang bién thién = te [3;3V2]

=> (1) cé nghiém © (2) có nghiệm te [3:32]

Xét hàm sé f(t) =t? —2t với 3<t<34/2 có f'(t)=2t—2>0 Vte[3:3A/2]

=> f(t) la ham déng bién trên [3:32/2]

=> 3=f(3) <f(t) <f(3V2) =18-6V2 Vte[3;3V2]

Vay phương trình có nghiệm <= 3<9 — 2m < `

Ta thây x= 2 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai về phương trình

cho ÑŸx? —4 ta được: of x=2 +2\-4 “tS =2 (*)

Đặt t=4i Vx = >O=t(x—-2)=x+2—=x=“*T- =>

+2t

2t+1 £@ @)

Phương trình đã cho có nghiệm «© (3) có nghiệm t>1

2

Xét hàm số f(Ð với t> 1, có: ft) =2 Ê2t2 2 so v >1,

(2t +1)

Khi đó (*) trở thành: m(i+2)- t=2=m=

=> f(t)>fd)=1 Vt>l

Vậy phương trình có nghiệm © m>1

Chứ ý ‡ Trong các bài toán trên sau khi đặt 4n phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác đề tìm miễn xác định của t Chăng hạn: |

Ở câu 2) ta có thể áp dụng BDT Cési dé tìm xác định của t:

2 +x)(6— x) <S9=—=9 <t? <I8=—=3<t<342

Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:

t=ahh+—} vì —ỦL—>0 Vx>2—t>l

Vi du 12: Tim m đễ các phương trình

1) tan? x + cot? x + m(tanx + cotx) +3=0 cé nghiệm

2) log} x + flog} x +1 —2m —1=0 có nghiệm trên [1;3YŠ]

1

3) m.92X—~X —(2m +1)62X—X + m.42X”—X =0 có nghiệm x thỏa mãn |x| 25:

Gi

1) Đặt t= tan x + cotx = tan? x +cot? x =t? —2 và |ti>2

t+

t Phương trình đã cho có nghiệm = (3) cé nghiém t théa man | t|>2

tt+l với |tl>2 ta có: F(t) = 3 2 tt—I

Phương trình đã cho trở thanh: t?7 +mt +1=0< —m (3) Cvì t0)

Bang bién thién

t P(t)

fit)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm =| m [> 2

2) Dat t= flog? x +1 Slog? x =? -1 Với 1<x<3ŸŠ =1<t<2

Phương trình đã cho trở thành: t? +t=2m+2 (2)

Phương trình da cho có nghiệm trên [1:3ÝŸ] ©>(2) có nghiệm 1<t<2

Xét ham sé f(t) =t? +t vGi 1<t <2, ta thấy f() là hàm đồng biến trên [1:2]

Suy ra 2=f(1) <f(t) <f(2)=5 Vte [1:2]

3

Vay phương trình có nghiệm © 2< 2m + 2< Sœ 0< m <<

3) Đặt u=2x?—x==u'(x)=4x—1

Lập bảng biến thiên của u(x) ta = u>0 Vx:lx|>S-

Bất phương trình trở thành: m9° —(2m + 1)6" + m4" =0

(trong đó ta đặt ‹=($3) =t>l Vu>0)

———~

Yéu cau bai toán © (3) có nghiệm t >1

©m(?—2t+l)=t©m= = f(t) (3) (do t=1 không là nghiệm PT)

Xét ham s6 f(t) v6i t>1,e6 £'(t)=————<0_ Vt>1 va lim f(t) =0 (t? -2t +1) xe

f0, ————

0 Vậy m >0 là những giá trị cân tìm

Ví dụ 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(4m-3)x+3+(3m-4)/I—x+m—I=0 (1)

Giải: Điều kiện : -3< x <I

Phương trình m(4-Ÿ/x +3 +34—x +1) =3/x +3 +4/x—1+l

° 3vx +3 +4VI-x +1

4Vx+34+3VI-x +1

=m (2)

Vi (xx+3)+(M=x} =4 nên ta có thể đặt: Tet" voi O<t<1

Khi đó (2) trở thanh; m= 12t+8G =U) +1+t™ —.- =2 12t

l6t+6(1—tˆ)+tˆ+l St —l6t—7

€1) có nghiệm © (3) có nghiệm te [—1;1]

52t? +8t+60 Xét hàm số f(t) với te[O:1].có f'%)=—- °“—~ TO

(on) (St? —16t—7)* <0 Vte[0:1]

=§= fŒ)<f(t)<f(0) =2 Vte [0:1]

Vậy phương trình có nghiệm <=> is m< 2

Chi: ¥ : Chac cé 1é céc ban sé thac mic vi sao lai nghi ra các đặt như vậy ? Mới

nhìn vào có vẻ thấy các đặt t ở trên thiếu tự nhiên Thực chất ra các đặt ở trên ta đã

bỏ qua một bước đặt trung gian Cụ thể:

Từ đẳng thire (VX +3) +(M=x)” =4tađặt JVX SIN với we [0:2]

Vxa3 =2-2t

l+t

pe

Vi-x =215t 1+t2

các bạn thấy cách đặt ở trên hoàn toàn rất tự nhiên phải không?!

sau đó ta lại tiếp tục đặt t= tan S nên ta mới có: Đến đây chắc

Vĩ dụ 14: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

log q(x + 1) — log g(x —1)> log; 4 qd) log>(x? —2x+5) —mlog z_ 2 =5 2)

Giải: Điều kiện :x > 1

Delog 2Š >log 2Š >2©1 3 (Do x>1

Os 08 5 7 ME ei? «©I<x<3 ( x>l)

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt © (2) có hai nghiệm phân biệt l < x< 3 Đặt t=log;(x” —2x +Š)—= 2 <t<3 Vxe (1:3) và (2) trở thành

t+—se>t? —5t=—m @3)

t

Từ cách dat t ta cé: (x—1)? = 2' —4=> Voi mdi giá trị te (2:3) thì cho ta đúng

một giá trị xe (1;3) Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biét x € (1;3) = (3) có 2 nghiệm phân biệt te (2:3)

Xét hàm số f(t) =t? —5t với te(2;3) =f'()=2t—5=f'(t)=0©t=

elÐl+2

4

= (3) có 2 nghiệm phân biệt te (2:3) œ ~ <—m <~6 © 6<m <`Š,

+

Vi du 14: Cho phuong trinh x° +3x* —6x* —ax* — 6x? +3x +1=0 (1) Tim tất

cả các giá trị của tham sô a đê phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

Giải: Vì x = Okhéng phai la nghiém phuong trinh Chia hai vé pt cho x? ta duge

«x +45 +3(x? x x =0 Đặt t=x++ ta có được phương trình: x x

t(tŸ —3)+ 3(t?— 2)— 6t=a«©© tẺ+3t?T—9t=a+6 (2)

Fừ cách đặt t ta có: x2 —tx +1 =0 (3) = A=t?—4>0<|t|>2 Từ đây ta có:

* Nếu t=+2 thì phương trình (3) có một nghiệm

*Néu |t|>2 thi với mỗi giá trị của t cho tương ứng hai giá trị của x

Nên (1) có đúng hai nghiệm phân biệt © (2) hoặc có đúng hai nghiệm t=2 và t=-2 hoặc (2) có đúng một nghiệm thỏa mãn |t|>2

TH 1: Nếu (2) có đúng hai ngiệm t=+2 =kˆ 8 hệ vô nghiệm

22=a+6

TH 2: (2) có đúng một nghiệm thỏa mãn |t|>2

Xét hàm số f(t) =tỶ + 3t? —9t với |t|> 2 có:f'(Q) =3t2 + 6t— 9=3(t— 1)(t +3)

Ta có báng biến thiên:

f(y) a os SS b —

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (2) có đúng một nghiệm |t|> 2

a+6<2 a<-4

a+6>27 a>2I

Vƒ dự 15: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

m(Vi +x? — Vi-x? +2)=2Vi-x* +Vi¢ x? -Vi-x? -1 (1)

Giải: Điều kiện :

0<t<I

pat t=Vi+x? —vi-x? 20>? =2-2Vi-x? “|

2 1-x? =2-2°

—t+tel

t+2

(1) trở thành: m(t + 2)=1-t? +te2m= =f(t) (2)

“Từ cách đặt t —l—x

= với mỗi giá trị te (0;1] ta có hai giá trị x còn t=0=>x=0

Mặt khác: 1~ 3 = -( 2) Setrsti ot =t,

2

2

=> (1) cé bén nghiệm phân biệt © (2) có đúng hai nghiệm te (0:1]

Xét ham sé f(t) voi te [0:1] cd: PO =F PPO 0 ta NS —2

t+

Bang bién thién

25

=> (2) cé hai nghiém phan biét te (0;1] <= —2V5 < msi