dau cua tam thuc bac hai (chinh sua)

Dấu của tam thức bậc haia... Cho hai số thực x, y.

kÝnh chµo c¸c thÇy c«

gi¸o

Welcome !

KiÓm tra bµi cò

-XÐt dÊu cña biÓu thøc sau: f(x)=(x+1)(6-2x).

VËy: ( ) 0 ( 1;3)

( ) 0 ( ; 1) (3; )

   

       

f(x)=(x+1)(6-2x)=-2x2+4x+6 gäi lµ mét tam thøc bËc hai.

Tiết 58: Dấu của tam thức bậc hai

1 Tam thức bậc hai

 Định nghĩa:

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x)=ax 2 +bx+c với

a,b,c là các số cho tr ớc (a0).)

 Chú ý:

 Ví dụ:

• Nghiệm của ph ơng trình bậc hai: ax2 + bx +c =0) (a 0).)

cũng đ ợc gọi là nghiệm của tam thức f(x) = ax2 + bx+c

Bài Mới

 = b2 -4ac và ’=b’2 – ac với b = 2b’ theo thứ tự cũng đ ợc

2x -x 3 )

h

5 -x )

( x  2

g

6 -4x

-2x )

( x  2

f

x

y

O

x

y

O

y

O x2

x

y

O

2a

b



y

x

x2

O x1

<0)

=0)

DÊu f(x)

>0)

x

y

O

x

y

víi a, x  R

x

y

O

2a

b



x

y

O

2a

b



x

y O

2a

b



f(x) cïng dÊu víi a,

2a

b

x  



víi

y

x

x 2

y

x

* f(x) cïng dÊu víi a,

;

;

    x ( x ) (x1  2  )

* f(x) tr¸i dÊu víi a,

) x , (x

x  1 2



a>0) a<0)

DÊu cña tam thøc bËc hai

2 Dấu của tam thức bậc hai

a Định lý (về dấu của tam thức bậc hai):

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c =0 (a0)

Tiết 58: Dấu của tam thức bậc hai

Nếu  <0 thì f(x) cùng dấu với hệ số với a với mọi x  R

Nếu  =0 thì f(x) cùng dấu với hệ số với a với mọi x  -b/2a.b/2a Nếu  >0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1<x2)

Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với  x (x1;x2)

và f(x) cùng dấu với hệ số a với  x (-b/2a.;x1)(x2;+)

Chú ý: Trong định lý trên có thể dùng ’ thay cho .

∆>0

af(x)>0x<x1

hoặc x>x2 af(x)<0x1<x<x2

x

y O

x

y O

x

y

O

2a

b



x

y

O 2a

b



y

x

x2

O x1

y

O x2

b Nhận xét:

- NÕu tån t¹i x0). sao cho af(x0).)<0) th× tam thøc bËc hai lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt

- NÕu tån t¹i x1, x2 sao cho f(x1)f(x2)<0) th× tam thøc bËc hai lu«n

cã hai nghiÖm ph©n biÖt

c VÝ dô:

2

a h x  x  x 

VÝ dô 1 XÐt dÊu c¸c tam thøc sau:

4

0



6

3 0

)

2

0 16

'





+

3 -1

-

x

dÊu cña f(x) nh sau:

)

(x

VÝ dô 2: XÐt dÊu biÓu thøc

1 x

x2

6) 5x

x2

2x)(

(x2

g(x)















Gi¶i:

NhËn thÊy x2-b/2a.x+1 cã biÖt thøc =-b/2a.3<0; hÖ sè a=1>0

 x2 -b/2a.x+1>0 víi xR Nªn dÊu cña g(x) lµ dÊu cña biÓu

thøc h(x)=(x2-b/2a.2x)(-b/2a.x2+5x-b/2a.6)

-VËy: g(x)<0 víi x(- ;0)(3;+ )

g(x)>0 víi x ( 0;2)(2;3)

Nhận xét: Điều kiện để tam thức bậc hai





















0).

0).

a R,

Δ f(x)





















0).

0).

a R,

Δ f(x)

Ví dụ 3: Cho f(x)=(m+2)x 2 -2(m+2)x+m+3 Với những giá trị nào của m thì f(x) luôn d ơng với xR?

* Với m+2=0m=-b/2a.2

f(x)=0.2-b/2a.0.(-b/2a.2)+3=1>0 với xR

Do đó m=-b/2a.2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với m+20m  -b/2a.2

xR; f(x)>0)  m+2>0)

’<0)

Vậy để f(x) luôn d ơng với xR thì m-b/2a.2

























Bài tập áp dụng

Giải: (1) x 2 +2(y+1)x+4y 2- 4y+4 0 ≥0

Xét Δ’=(y+1) =(y+1) 2 -4y 2 +4y-4

=-3y 2 +6y-3=-3(y-1) 2 ≤0 với y R

Do đó x 2 +2(y+1)x+4y 2- 4y+4 0 với ≥0 x, y R.

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

1 Cho hai số thực x, y Chứng minh rằng:

(x+2y) 2 ≥2(x+2)(y-1) (1)

đẳng thức xảy ra khi nào?

y



Bµi tËp ¸p dông

2 Cho c¸c sè thùc a, b, c d ¬ng tháa m·n abc=1 vµ a 3 ≥36 Chøng minh r»ng:

2

3

a

Gîi ý; § a vÒ tam thøc bËc hai víi biÕn lµ (b+c) vµ chøng minh

Δ≤0.

Củng cố Bài học

* Định lý về dấu của tam thức bậc 2 f(x)=ax2+bx+c(a0)

* Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) với các tr ờng

hợp <0; =0; >0 theo dấu của hệ số a

* Điều kiện để tam thức bậc hai f(x) không đổi dấu với

mọi xR

Bài tập về nhà:

Bài tập 49, 50, 51, 52 (sgk trang 140, 141)

14