Lời giải: Đặt x=2sint⇒dx=2costdt... Bài tập rèn luyện Tính các tính phân sau.
Trang 15 ĐỔI BIẾN DẠNG DẠNG LƯỢNG GIÁC
ü Nếu xuất hiện: a2− x2 đặt x = a.sint hoặc x = a.cost
ü Nếu xuất hiện: x2− a2 đặt x= a
sint hoặc x= a
cost
ü Nếu xuất hiện x2+ a2 đặt x = a.tant
ü Nếu xuất hiện (x − a) (b − x), a( < b)đặt x = a + b − a( )sin2
t
Ví dụ 1 Tính tích phân I= 4− x2
0
2
Lời giải:
Đặt x = 2sint,t ∈ 0;π
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥⇒ dx = 2costdt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t =π
2
Khi đó I = 4− 4sin2
t
0
π
2
∫ .2 costdt= 4 cos2
t
0
π 2
∫ dt = 2 (1+ cos2t)
0
π 2
∫ dt = 2 t + sin 2t
2
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟
π 2 0
=π
Ví dụ 2 Tính tích phân I= dx
1+ x2 0
1
Lời giải:
Đặt x = tant ⇒ dx = dt
cos2t = (tan2
t +1)dt = (x2+1)dt ⇒ dx
x2+1= dt
Vì vậy I = dt
0
π
4
π 4 0
= π
4
Ví dụ 2 Tính tích phân I= x4(1− x)4
1+ x2 dx
0
1
Lời giải:
Ta có
I= x7
7 −2x6
3 + x5−4x3
3 + 4x − 4 arctan x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
0=22
7 −π
Chú ý Từ đây ta có một kết quả rất đẹp 22
7 >π
Ví dụ 3 Tính tích phân
1
0
dx
=
∫
Trang 2Lời giải:
Đặt x=2sint⇒dx=2costdt
6
x= ⇒ =t x= ⇒ =t π
Vì vậy
4− 4sin2t
( ) 4− 4sin2t =
0
π
6
∫ 0 4cos2costdt2t 4cos2t
π 6
4cos2t = 0
π 6
π 6 0
= 1
4 3
Ví dụ 4 Tính tích phân
1
0
I =∫x −x dx
Lời giải:
Đặt x=sint⇒dx=costdt Khi 0 0; 1
2
x= ⇒ =t x= ⇒ =t π
Vì vậy
I = sin2t 1− sin2t
0
π 2
0
π 2
∫ cos2tdt
=1
4 sin
22t
0
π 2
8 (1− cos4t) 0
π 2
=1
8 t−1
4sin 4t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
π 2 0
= π
16.
Ví dụ 5 Tính tích phân
1 2 2
3 2 0
1
x dx I
x
=
−
∫
Lời giải:
2 2
x= t t∈ −⎡ π π⎤⇒dx= tdt
1
x= ⇒ =t x= ⇒ =t π
Vậy
3 2
t
−
Trang 3Ví dụ 6 Tính tích phân
1
0
I =∫x +x dx
Lời giải:
dt
c t
π
4
x= ⇒ =t x= ⇒ =t π
Vì vậy
I = tan3t 1+ tan2t dt
cos2t
0
π 4
cos3t dt= 0
π 4
∫ 0 sincos36t t dt
π 4
∫
= 1− cos2t
cos6t d cost( )= 1
5cos5t− 1
3cos3t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
π 4 0 0
π 4
15( )1+ 2
Ví dụ 7 Tính tích phân
5 2
0
5
5
x
x
+
=
−
∫
Lời giải:
2
x= t t∈⎡ π⎤⇒dx= − tdt
x= ⇒ =t π x= ⇒ =t π
Vậy
I = −10 5 1+ cos2t( )
5 1− cos2t( ) π
4
π 6
π 4
π 6
= 10 1+ cos2t( ) π
4
π 6
2sin 2t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
π 6 π 4
=5π
6 +5
2( )2− 3
Bài tập rèn luyện
Tính các tính phân sau
Trang 4a) I = 16− x2
0
4
∫ dx Đ/s: 4π
b) I = dx
(1− x2
)3 0
2
2
∫ Đ/s: I = 1
c) I = (16− x2
)3
dx
0
2
∫ Đ/s: I= 36 3 +16π
d) I = dx
x2+ 3
0
3
∫ Đ/s: I = π
4 3
e) I = dx
(1+ x2
)2 0
1
∫ Đ/s: I= 2+π
8
f) I = x+1
4− x2 dx
−1
0
∫ Đ/s: I= 3 − 2 +π
6
g) I = x+1
x(2 − x) dx
1
3
2
∫ Đ/s: I= 2π + 6 − 3 3
x2+ 2x + 2
−1
0
∫ Đ/s: I =π+ 2
8
i) I = x
x3+1
0
1
∫ dx Đ/s: I =2 ln( 2+1)
j) I = x
4− x dx
0
2
∫ Đ/s: I=π− 2
d) I = 1+ x
1− x dx
0
2
2
∫ Đ/s: I= π
4+1− 2
2
e) I = x − 2( ) x
4− x dx
0
2
∫ Đ/s: I =π− 4
f) I = x2dx
4− x2
0
1
∫ Đ/s: I= π
3− 3
2
Trang 5g) I = dx
x2
x2+ 9 3
3 3
∫ Đ/s: I= 2 3( − 3)
h) I = x2− 9
3
6
∫ Đ/s: I = 3 3 −π
i) I = x2− 2x −1
x−1 dx 3
1+2 2
12
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟
Bài 2 Tính các tích phân sau
a) I = x2(1− x)4
1+ x2 dx
0
1
∫ Đáp số: I=π−47
15
b) I= x3(1− x)3
1+ x2 dx
0
1
∫ Đáp số: I= 53
60−π
2 + ln2