TICH PHAN CB T46

1.Tìm họ nguyên hàm Fx của hàm số đã cho.. 3.Tính diện tích S của hình phẳng đó.. Ta cũng chứng minh được Sx là một nguyên hàm của hàm số fx trên đoạn [a ; b ]... Diện tích hình thang co

Cho hàm số y = f(t) = 2t + 1

1.Tìm họ nguyên hàm F(t) của hàm số đó

2.Tính F(5) – F(1).

Đáp án

1 Họ nguyên hàm của hàm số f(t) là F(t) = t2 + t + C , C ∈ R.

2 Ta có F(5) – F(1) = 25 +5 + C – 1 – 1 – C = 28

Gọi T hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y =2x + 1 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = t ( 1 ≤ t ≤ 5 )

1 Tính diện tích S của hình thang T khi t = 5

2 Tính diện tích S(t) của hình thang T khi t ∈[ 1 ; 5]

3 Chứng minh rằng : S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 , t ∈[1 ; 5].

Hoạt động 1

gsp

1.Diện tích hình thang

cong

I.KHÁI NIỆM TÍCH

PHÂN

y = 2x + 1

x

y

S

f(t)

3 11

5

O 1 t

Graph

Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và Hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong

gsp2

y = f(x)

x y

b

B

A

O 1 a

1.Diện tích hình thang

cong

y = f(x)

x y

A

a

α

1.Diện tích hình thang

cong

I.KHÁI NIỆM TÍCH

PHÂN

Hình phẳng trên đây có phải là một hình thang cong theo định nghĩa trên không ?

gsp

Ví dụ 1

Cho hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 1

1.Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số đã cho

2 Tính F(1) – F(0) 3.Tính diện tích S của hình phẳng đó

Hình thang cong sau được giới hạn bởi các đường nào ?

x

y

y = x 2

1

1

O x

gsp

Hình thang cong như thế còn gọi là hình tam giác cong

1.Diện tích hình thang

cong

Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này

R C ,

3

) (

3

∈ +

= x C x

F

Trả lời

1 Họ nguyên hàm của hàm

số y = x2 là :

x

y

y = x 2

1

1

3

1 3

0 3

1 F(0)

-F(1) 2

3 3

=

−

− +

= C C

1.Diện tích hình thang

cong

I.KHÁI NIỆM TÍCH

PHÂN

Tính S(0) Tính S(1)

Graph

y = f(x)

x

y

M N

F E

P Q

O x x + h 1

gsp

1.Diện tích hình thang

cong

Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này

S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2

Người ta chứng minh được S’(x) = x2 , x ∈ [0 ; 1 ]

Diện tích S(x) của hình thang cong đã cho là một hàm số theo x

Tính S(x)

R C

,

3

) (

3

∈ +

x S

3

) (

3

x x

F = là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2

Mà S(0) = 0 nên C = 0

Vậy:

3

) (

3

x x

1.Diện tích hình thang

cong

I.KHÁI NIỆM TÍCH

PHÂN

3

1 ) 1

S

Ví dụ S(3) = 9

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong

Với mỗi x ∈ [ a ; b ] , kí hiệu S(x) của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox lần lượt tại a và tại x

Ta cũng chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b ] gsp

y = f(x)

x

y

B E

A

b

O 1 a x

1.Diện tích hình thang

cong

S(a) = 0

1 Diện tích hình thang cong

1.Diện tích hình thang

cong

I.KHÁI NiỆM TÍCH

PHÂN

Chứng minh rằng : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] thì sao S(b) = F(b) – F(a)

Vì F(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên

ta có S(x) = F(x) + C , với C là một hằng số thực

Mà S(a) = 0 , do đó S(a) = F(a) + C = 0 Suy ra C = - F(a)

Vậy S(b) = F(b) – F(a)

y = f(x)

x

y

B E

A

b

O 1 a x

Với mỗi x ∈ [ a ; b ] , kí hiệu S(x) của phần hình thang cong

đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox lần lượt tại a và tại x

Graph

y = f(x)

x y

B

E A

b

O 1a x

?2

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b ] F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x)

Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a)

1.Diện tích hình thang

cong

2 Định nghĩa tích phân

S( b) = F( b) – F(a)

F(x) là một nguyên

hàm của f(x)

Với mỗi x ∈ [a ; b] ,gọi S(x) là diện tích của hình thang cong

đã cho giới bởi đồ thị của f(x) , trục hoành và các đường thẳng vuông góc với trục hoành tại a và tại x

Vì F( x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] nên ta có :

S(b) = F(b) – F(a) S(b) = G(b) – G(a)

2 Định nghĩa tích phân Định nghĩa :

) ( )

( )

( )

f

b

a

b

=

∫

a

dx x

Ta gọi ∫b

a

Là dấu tích phân , a là cận dưới , b là cận trên f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân

f(x) là hàm số dưới dấu tích phân

b

a

a

b

dx x f dx

x

y = f(x)

x y

B

E A

b

O 1a x

1.Diện tích hình thang

cong

I.KHÁI NIỆM TÍCH

PHÂN

2 Định nghĩa tích phân

S( b) = F( b) – F(a)

F(x) là một nguyên

hàm của f(x)

Định nghĩa :

) ( )

( )

( )

f

b

a

b

=

∫

Ví dụ 2 Tính ∫2

1

2xdx

Giải 1) 2 2 12 22 1 4 1 3

2

1

=

−

=

−

=

=

y = f(x)

x y

B

E A

b

O 1a x

1.Diện tích hình thang

cong

2 Định nghĩa tích phân

S( b) = F( b) – F(a)

F(x) là một nguyên

hàm của f(x)

2 Định nghĩa tích phân

t

e

∫

1

1

1 0

1 1 ln ln

ln

1 )

1

=

−

=

−

=

=

t

e e

y = f(x)

x y

B

E A

b

O 1a x

1.Diện tích hình thang

cong

I.KHÁI NiỆM TÍCH

PHÂN

2 Định nghĩa tích phân

S( b) = F( b) – F(a)

F(x) là một nguyên

hàm của f(x)

Ví dụ 3 Tính các tích phân sau :

1 /

4 2 1

x dx

∫

1/

4

2

4 1

21

x

∫

1/

Giải

y = f(x)

x y

B

E A

b

O 1a x

1.Diện tích hình thang

cong

2 Định nghĩa tích phân

S( b) = F( b) – F(a)

F(x) là một nguyên

hàm của f(x)

Nhận xét :

a/ Tích phân của một hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào quy tắc f và các cận a , b mà không phụ thuộc vào kí hiệu biến x , t

b/ Ý nghĩa hình học của tích phân Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ;

b ] ,thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạnbởi đồ thị của f(x) , trục Ox và hai đường thẳng

x = a ; x = b

y = f(x)

x y

B

E A

b

O 1a x

1.Diện tích hình thang

cong

I.KHÁI NIỆM TÍCH

PHÂN

2 Định nghĩa tích phân

S( b) = F( b) – F(a)

F(x) là một nguyên

hàm của f(x)

x

y

y = x 2

1

Củng cố :

Sử dụng ý nghĩa của tích phân hãy tính diện tích hình thang cong bên

Giải :

Hình thang cong trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số

Do đó diện tích S của hình thang cong trên là :

2

2 1 7

x

∫

S =

b

b a a

f x dx F x

=

= −

∫

1 Học khái niệm hình thang cong , diện tích hình thang cong.

2 Học định nghĩa tích phân xác định , các kí hiệu và cách đọc các

kí hiệu đó ; cách tính tích phân ; xem lại các ví dụ

3 Ý nghĩa hình học của tích phân

4 Làm bài tập 1 , 2 SGK