_ Làm hoàn chỉnh các bài tập ôn thi..
Trang 1GIẢI TÍCH 12
CHUYÊN ĐỀ : TIẾT 72 :
Trang 2Cho u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì :
∫
a
b a
b
a
dx x
u x v x
v x u dx
x v x
u ( ) (' ) [ ( ) ( )] ( ) (' )
Hay
∫
a
b a
b
a
vdu uv
udv
Trang 3Dạng 1 : ∫
+
+
=
+
b
a
x
dx x
x
e x
p
I
) sin(
) cos(
)
(
β α
β α
β α
Trong đó p(x) là một đa thức theo x
Đặt :
+
+
=
=
+
dx x
x
e dv
x p
u
x
) sin(
) cos(
) (
β α
β α
β α
+
−
+
=
=
⇒
+
) cos(
1
) sin(
1
1
) ( '
β
α α
β
α α
α α β
x x
e v
dx x
p du
x
Trang 4Tính các tích phân sau :
∫
=
1
0
x
3 dx e
x I
)
1
Đáp số : 2
2
I = π −
Đáp số :
9
1 e
2 I
3 +
=
∫π
=
0
xdx sin
x I
)
2
Đặt
=
=
dx e
dv
x
u
x
3
−
=
=
⇒
x v
dx
du
cos
Đặt
Đáp số : I = π
∫
π
−
= 2
0
xdx cos
) 1 x
( I
)
3
=
−
=
xdx dv
x
u
cos
1
Đặt
=
=
e v
dx du
3
3 1
=
=
xdx dv
x
u
sin
=
=
⇒
x v
dx
du
sin
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
Trang 5Tính : = ∫π +
0
x
e ( I
Đặt t = cosx ⇒ dt = –sinxdx
• Bài giải :
e
1 e
e e
e dt
e dt
e
1 t 1
1
t 1
1
t
−
−
−
∫
∫
= π
0
(e x xdx
• Tính : = ∫π
0
x
cos
I
0
t
–1
1
ổi cận
Đ
2 1
0 0
Ví dụ 2
Ví dụ 2
Trang 6Tính : = ∫π +
0
x
e ( I
Ví dụ 2
Ví dụ 2
• Bài giải :
π
= +
+ π
= +
−
0
0
2 x cos x cos xdx 0 sin x
I
• Tính : = ∫π
0
I
2 1
0 0
cos 0
(e x xdx e xdx x xdx I I
I = π∫ x + = ∫π x + ∫π = +
−
=
=
⇒
=
=
x v
dx
du xdx
dv
x
u
cos sin
Đặt
Vậy I = I1 + I2 = − + π
e
Trang 7Tính : ∫
π
= 4
0
2
dx x sin
I
Ví dụ 3
Ví dụ 3
• Bài giải :
2 )
0 1
.(
2 t
sin 2
tdt cos
t cos t
2
0
2
0
2
0 = = − =
+
−
π π
∫
Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2 tdt = dx 0
t
x
0
4
2 π
2
π
Do đó : ∫
π
0
tdt sin
t 2 I
−
=
=
⇒
=
=
t cos v
dt
du tdt
sin dv
t u
Đặt
Trang 8Dạng 2 : = ∫b +
a
dx x
x p
I ( ) ln( α β ) Trong đó p(x) là một đa thức theo x.
=
+
=
⇒
∫ p x dx v
x
du
) (
β α
α
Đặt :
=
+
=
dx x
p dv
x
u
) (
) ln( α β
Trang 9• Bài giải :
−
+ +
−
−
2
dx 1
x
1 1
x 1
ln 4 4
ln 25
Tính : = ∫ −
5
2
dx ) 1 x
ln(
x 2 I
Ví dụ 4
Ví dụ 4
Đặt:
=
−
=
xdx dv
x
u
2
) 1 ln(
∫ −
−
−
2
2 5
2
1 x
x )
1 x
ln(
x
I
2
27 4
ln 24 1
x ln
x 2
x 4
ln 25
5
2
2
−
=
− +
+
−
=
=
⇒
x
dx du
Trang 10∫ +
−
−
2
dx ) 1 x
( 1
ln 3 4
ln 24
Đặt
−
=
⇒
=
−
=
1 x
dx du
xdx 2
dv
) 1 x
ln(
u
2
∫ −−
−
−
−
=
5
2
2 5
2
1 x
1
x )
1 x
ln(
) 1 x
(
I
2
27 4
ln 24
1 2
25 4
ln 24
x 2
x 4
ln 24
5
2
2
−
=
+
−
=
+
−
=
• Cách 2 :
Ví dụ 4
5
2
dx ) 1 x
ln(
x 2 I
Trang 11Dạng 3 : ∫
= b
a
x
x e
I
β
β
α
cos
sin
Dùng tích phân từng phần hai lần với u = eax
hoặc u =
Thí dụ :
∫π
=
0
x sin xdx e
I
)
1
∫
π
= 2
0
e I
)
−
2
1
I 2
Đáp số : (e 1)
2
1
I = π +
) cos
(
Trang 12• Bài giải :
Ví dụ 5
Ví dụ 5
Đặt
=
=
⇒
=
=
x
xdx cos
du dx
e dv
x sin u
∫
π
−
=
−
=
0
x 0
x 0
e
(
I
Tính : = ∫π
0
x sin xdx e
I
Đặt
=
−
=
⇒
=
=
x
xdx
du dx
e dv
x u
1
1 1
+
−
0
) cos (e x e xdx
1 e
I.
I 1
e
2
1
Trang 13• Câu 1 : Tính : được kết quả là := ∫1
0
xdx xe
I
GIẢI TÍCH 12
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
I = 1
a)
SAI RỒI
TÍCH PHÂN : PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
b)
2
1
I =
c) I = − 1
d) Kết quả khác CHỌN ĐÚNG
Trang 14• Câu 2 : Tính : được kết quả là := ∫2 +
1
) 1
ln( x dx I
GIẢI TÍCH 12
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 2
ln 2 3
ln 3
a)
SAI RỒI
TÍCH PHÂN : PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
b) I = 3 ln 3 + 2 ln 2 − 1
4
27 ln
CHỌN ĐÚNG
4
27 ln
Trang 15_ Làm hoàn chỉnh các bài tập ôn thi.
Trang 16Tính các tích phân sau :
Bài tập
Bài tập
Đáp số : I =1
∫
=
e
dx x
I
1
2
) (ln )
2
∫
=
e
xdx
I
1
ln )
=
=
⇒
=
=
x
dx du
dx dv
x ln u
Đặt
=
=
⇒
=
=
x
xdx du
dx dv
x
∫
=
π
e
dx x
I
0
) cos(ln )
3
Đặt
=
−
=
⇒
=
=
x v
dx x
) x
sin(ln du
dx dv
) x cos(ln u
Trang 17• Bài giải :
Ví dụ 5
Ví dụ 5
Đặt
=
−
=
⇒
=
=
x v
dx x
) x
sin(ln du
dx dv
) x cos(ln u
∫
π
π π
+ +
−
= +
1
e
1
e
1 sin(ln x)dx e 1 sin(ln x)dx )
x cos(ln
x
I
Tính : ∫
π
=
e
0
dx ) x cos(ln I
( e 1 )
I.
2
1
=
=
⇒
=
=
x v
dx x
x du
dx dv
x u
1
1 1
1 sin(ln ) cos(ln )
Đặt
(e 1) x sin(ln x) cos(ln x)dx (e 1) I I
e
1
e
− +
+
−
∫
π π