Chương 1 Giải tích 12 CB

THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1Chương 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM 3 Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy logic, tính cẩn thận

THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

Chương 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM

3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy logic, tính cẩn thận, chính xác trong tính và lập luận

B CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)

1) Chuẩn bị của hs :

Giấy phim trong, viết lông

2) Chuẩn bị của gv :

C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)

Hoạt động nhóm

D TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

1) Ôn và kiểm tra kiến thức cũ :

 Yêu cầu HS nhắc lại một số kiến thức cũ ở lớp 10 về hàm số đồng biến, nghịch biến:

 Cho hàm số ƒ xác định trên K (K: khoảng, đoạn, hoặc nửa khoảng)

 ƒ đồng biến trên K nếu: x ,1 x  K, 2 x < 1 x  ƒ(2 x ) < ƒ(1 x )2

 ƒ nghịch biến trên K nếu: x ,1 x  K, 2 x < 1 x  ƒ(2 x ) > ƒ(1 x )2

 Từ định nghĩa đó ở ĐS 10 đã khảo sát sự biến thiên của một hàm số đơn giản:

Cho Hs nhìn vào đồ thị

1) Tính đ ơ n điệu và dấu của đạo hàm :

Định lý thuận : Giả sử hàm số ƒ

có đạo hàm trên khoảng I

 Nếu hàm số ƒ đồng biến trên

THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

trên mỗi khoảng (–

biến trên khoảng (0; 1)

Giải : Trên khoảng (0; 1)

Nêu Định lý thuận, Định lý đảo và phần chú

ý

Sau phần chú ý cho ứngdụng:

 Nếu hàm số ƒ liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f x > 0 x/( )

(a; b) thì hàm số đồng

biến trên đoạn [a; b]

 Nếu hàm số ƒ liên tục trên nửa khoảng (–; a]

sung thêm giả thiết “ hàm số liên

tục trên đoạn, nửa khoảng đó”

( )

f x = 1 x 2 đồng biến trên đoạn [–1; 0]

Trình bày Vd3 chi tiết

x x

THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

 Hàm số f x( )liên tục trên đoạn [a; b]

 f x( ) có đạo hàm

/( )

f x > 0 x  (a; b)

 f x( ) đồng biến trên đoạn [a; b]  f x( )>

E CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức và cho HS làm bài tập 1 sgk.

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (–; 3

2 ), nghịch biến trên khoảng (

3

2 ; +)b) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–;–7) và (1; +), nghịch biến trên khoảng (–7; 1)c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–1; 0) và (1; +), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (0; 1)

d) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2

3), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; 0) và (

THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

biến trên nửa khoảng (–; –4] và đồng

biến trên nửa khoảng [5; +)

d) D = R \ {–3; 3}, f x = /( )  

2 2 2

9

x x

11

x x



 ; f x = 0  x/( )

= –1 hoặc x = 1 Theo bảng biến thiên ta có

hàm số đồng biến trên khoảng (–1; 1), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (1; +)

 H ướ ng d ẫ n:

a) f x( )= tanx – x xác định x R \ {

2

+ k , k  Z} nên liên tục trên nửa khoảng [0;

2

)

2

)  tanx > x x (0;

2

)b) f x( )= tanx – x –

THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0;

2

)  f x( )> ƒ(0) x (0;

2

)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 0)

b) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

e) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–1; 0) và (1; +)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (0; 1)

4

x x

THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (–1; +)

3) Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R:

 H ướ ng d ẫ n:

a) Hàm số xác định x R, f x = 3/( ) x2– 12x + 17 > 0 x R  hàm số đồng biến trên Rb) Hàm số xác định x R, f x = 3/( ) x2+ 1 + sinx > 0 x R  hàm số đồng biến trên R4) Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x x (0;

2

)

 Hướng dẫn : f x( )= sinx + tanx – 2x xác định x R nên liên tục trên nửa khoảng [0;

2

)

2

) cosx < 1

 cosx > cos x2 và cos x2 + 12

cos x > 2) do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0; 2

) ( )

f x > ƒ(0) x (0;

2

)  sinx + tanx – 2x > 0  sinx + tanx > 2x x (0;

2

)5) Tìm m để hàm số

m m

2) Về kĩ năng : Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số thông qua hai quy tắc 1 và 2.

3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy, tính cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận

B CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)

1) Chuẩn bị của hs :

Bài cũ Giấy phim trong, viết lông

2) Chuẩn bị của gv :

C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)

Phát hiện và giải quyết vấn đề .Hoạt động nhóm

D TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

1) Ôn và kiểm tra kiến thức cũ :

 Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng I

 Chứng minh tanx > x x (0;

2

)

điểm cực trị của hàm số

1) Khái niệm cực đại, cực tiểu :Giả sử hàm số ƒ xác định và liên tụctrên khoảng (a; b) và x  (a; b).0

x được gọi là một điểm cực đại0

của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng(a; b) chứa x và ƒ(0 x ) >0 f x( ) x(a; b) \ {x } Khi đó ƒ(0 x ) là giá trị0

cực đại của ƒ

x được gọi là một điểm cực tiểu0

của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng(a; b) chứa x và ƒ(0 x ) <0 f x( ) x(a; b) \ {x } Khi đó ƒ(0 x ) là giá trị0

cực tiểu của ƒ

Hệ số góc của các tiếp

tuyến này bằng không

 Vì hệ số góc của tiếp

tuyến bằng giá trị đạo

hàm của hàm số nên giá

trị đạo hàm của hàm số

đó bằng không

Dùng đồ thị để giảithích

Tiếp tuyến tại các điểmcực trị song song với trụchoành

2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

x x

 Qua điểm x = 0, đạo

hàm đổi dấu từ âm

sang dương nên hàm

số có cực tiểu tại điểm

x = 0

Trình bày định lý 2

GV cho Hs ghi bảngxét dấu đạo hàm (cấp 1)

Hs làm hoạt động 4 sgkChứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm

3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị :

Định lý 2 : Giả sử hàm số y =( )

f x liên tục trên khoảng (a; b) chứa

điểm x và có đạo hàm trên khoảng0

tiểu tại điểmx 0

 Nếu qua x đạo hàm 0 f x đổi/( )dấu từ dương sang âm tức là

Học sinh thảo luận

đó có đạo hàm bằngkhông, nhưng vấn đề làđiểm nào sẽ điểm cực trị?

Gv yêu cầu học sinhnhắc lại định lý 2 và sau

đó, thảo luận nhóm suy racác bước tìm cực đại, cựctiểu của hàm số

Gv tổng kết lại vàthông báo quy tắc 1

4) Quy tắc tìm cực trị :a) Quy tắc 1 :

 Ta có:

2 /

Thường vận dụng chocác hàm có chứa hàm sốlượng giác

Nhược điểm: Không ápdụng được qui tắc 2 chohàm số ƒ không liên tụctại x hoặc hàm số có0 //

 f //( 2) = –1< 0 hàm sốđạt cực đại tại x = –2, giátrị cực đại là –7

b) Quy tắc 2 :

Định lý 3 : Giả sử hàm số ƒ có đạohàm cấp 1 trên (a; b), f x = 0 /( )0

 (kZ)

+ n , yC§ = –1

 Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

x = 4

+ (2n + 1)

2

, yCT = – 5

E CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức và cho HS làm bài tập 4, 5, 6 sgk.

F BÀI TẬP SGK:

1) Áp dụng quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau :

x x

, y = 0  x = –1 hoặc x = 1/

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yC§= –2 đạt cực tiểu tại x = 1, yCT= 2

a) y = x4– 2x2+ 1

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosxd) y = x5– x3– 2x + 1

6

+ k

6

+ k

22

22

 k chẵn: //

y (

4

+ k) = – 2 < 0  Hàm số đạt cực đại tại các điểm x =

4

+ 2l

 k lẻ: y (//

4

+ k) = 2 > 0  Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x =

4

+ (2l + 1)

d) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yCT= –1 Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yC§= 33) Chứng minh rằng hàm số y = | |x không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại

 Hướng dẫn : y = 3/ x2– 2mx – 2 Phương trình 3x2– 2mx – 2 = 0 luôn có hai nghiệm vì ’=

2

m + 6 > 0 m và y đổi dấu khi qua hai nghiệm đó Vậy hàm số luôn có một điểm cực đại /

và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của tham số m

 Thoả điều kiện khi:

324

025

16

03

a b a b a

a b

 Thoả điều kiện khi:

9324

025

16

03

a

b a b a

a b

D y y

m

m m

 f //( 3) = –2 < 0  hàm số đạt cực đại tại điểm x = –3, yC§= –1

b) f x = /( ) x2– 2x + 2 > 0 x R  hàm số đồng biến trên R, không có cực trị

1

x x

, f x = 0  x = –1 hoặc x = 1; /( ) f //( )x = 23

x

 f //( 1) = –2 < 0  hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yC§= –2

 f //(1)= 2 > 0  hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yCT= 2

d) f x = /( ) x4– x2 = x2(x2– 1),

/( )

f x = 0  x = 0 hoặc x = –1 hoặc x = 1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yC§= 32

15, đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yCT= 28

15e) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, yC§= –3, Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, yCT= 1.f) D = R \ {1

4 2

4

x x

các điểm x = –

6

 + k , k Z và yC§= –

2

x x

3

+ 4cos4

3

+ 2) = 5cos2

3

 = –3<

0 Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = 2

2= 9

2.

3) a) Tìm m để hàm số y = x3– 2mx2+ m2x – 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1;

b) Tìm m để hàm số y = x3– 3mx2+ (m – 1)x + 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 2;

28



đạt cực đại tại x = 4 khi:

/ //

(4) 0(4) 0

f f

D f f

m

m m

D y y

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

2) Chuẩn bị của gv :

C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)

Phát hiện và giải quyết vấn đề .Hoạt động nhóm

D TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

1) Ôn và kiểm tra kiến thức cũ : Cho hs y = x3 – 3x

 Tìm cực trị của hàm số trên đoạn [–3; 3]

 So sánh các cực trị vừa tìm được

2) Bài mới :

Hoạt động của HS Hoạt động của GV Ghi bảng hoặc trình chiếu

Chú ý m được gọi là giá trị nhỏ nhất của( )

f x khi dấu bằng xảy ra

tức tồn tại x để ƒ(0 x ) = 0

m

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = | x|

M được gọi là giá trị lớn nhất của f x( )khi dấubằng xảy ra tức tồn tại x0

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f x( ) trên D, ký hiệu max ( )D f x

Nêu quy tắc

Trình bày Vd2

Hs làm Vd3

A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a ; b]

Quy tắc:

 Tìm các điểm x  (a ; b) tại đó i

hàm số f x( )có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Tính f a( ), f b( ), ( )f x i

 So sánh các giá trị tìm được để chọn max ( )[ ; ]a b f x và min ( )[ ; ]a b f x

Vd Tìm giá trị nhỏ nhất và giá 2

trị lớn nhất của hàm số( )

f x = 9 x 2 trên đoạn [–3 ; 3]

Giải : f x = /( ) 2

9

x x



 , f x = 0 /( )

x [–3 ; 3]  x = 0

 Ta có f ( 3)= 0, f(3)= 0, f(0)= 3

 Do đó max ( )[ 3;3] f x = 3, min ( )[ 3;3] f x = 0

x x

Cho hàm số y = f x( )liên tục trên (a ; b) và( )i

f x là các cực trị của

hàm số f x( ) trên khoảng(a ; b) thì max ( )( ; )a b f x là

giá trị lớn nhất của các cực đại, min ( )( ; )a b f x là giá trị nhỏ nhất của các cực tiểu

Nếu trên khoảng (a ; b)

mà hàm số chỉ đạt 1 cực trị duy nhất thì cực trị đó chính là giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a; b)

Hàm số f x( ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a ; b) thì hàm số( )

f x không có cực trị

trên khoảng (a ; b) hay hàm số không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên khoảng (a ; b)

Cho Hs làm ví dụ 3 trang 22 sgk

Cho Hs lập Bảng biến thiên và kết luận

22 sgk

2) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a ; b)

Quy tắc:

 Tìm các điểm x  (a ; b) tại đó i

hàm số f x( )có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Tính ( )f x i

 So sánh các giá trị tìm được để chọn max ( )( ; )a b f x và min ( )( ; )

Vd vd3 trang 22 sgk : Một tấm 4

nhôm cạnh bằng a Người ta cắt bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gập lại để được cái hộp không nắp Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất

Giải : Gọi x là độ dài cạnh hình vuông bị cắt 0

2

a x

3

0;

2

2max ( )



 trên các đoạn [2; 4] và [–3; –2];

d) y = 5 4x trên đoạn [–1; 1]

 Hướng dẫn :

a) y = 3/ x2– 6x – 9,

Trên đoạn [–4 ; 4], y = 0  x = –1 hoặc x = 3 Ta có y(–1) = 40, y(3) = 8, y(–4) = –41, /

y(4) = 15 Do đó min y[ 4;4] = –41, max y[ 4;4] = 40

Trên đoạn [0 ; 5], y = 0  x = –1 hoặc x = 3 Ta có y(–1) = 40, y(3) = 8, y(0) = 35, y(5) /

2) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

 Hướng dẫn : Gọi x (cm) là độ dài một cạnh, cạnh còn lại là 8 – x (4  x < 8), diện tích là S(x) = x(8 – x) = –x2+ 8x, S’(x) = –2x + 8, S’(x) = 0 x [4; 8)  x = 4

Bảng biến thiên :

Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng [4; 8), max ( )[4;8) S x = 16.

Hoặc : hai số a, b có tổng a + b = 8 không đổi nên tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau a = b = 4 Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hình vuông cạnh bằng 4 có diện tích lớn nhất S = 16 cm2

3) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất

 Hướng dẫn : Gọi x (m) là độ dài một cạnh, 48

4) Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau :

x x

 x = 1, ƒ(1) = 2 , (0;min ( )) f x = 2

d) f x = –2x + 2, phương trình /( ) f x = 0 x [2; 4] vô nghiệm Ta có ƒ(2) = 4, ƒ(4) = –/( )

x > 0 x  0 Vậy trên nửa khoảng (0; 2] hàm

số có giá trị lớn nhất max ( )(0;2] f x = 3

22) Tìm Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a) f x( )= 3 2x trên đoạn [–3; 1]

b) f x( )= x + 4 x 2

c) f x( )= sin4xcos2x+ 2d) f x( )= x – sin2x trên đoạn [–

 = 2 2 , [ 2;2]min ( )f x

c) max ( )R f x = 3, min ( ) R f x = 11

4d) f x = 1 – 2cos2x, /( ) f x = 0 x [–/( )

6

 ; x = 5

6



Ta có ƒ(–

2

) = –2

, ƒ() = , ƒ(

6

) = 6



2 , ƒ(– 6

) = –6



2 , ƒ(

56

) = 56

3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

 Hướng dẫn :

a) Đặt t = sinx (–1 t  1), ƒ(t) = 2t2+ 2t – 1, f t = 4t + 2, /( ) f t = 0 t[–1; 1]  t = –/( )1

Giấy phim trong, viết lông .

2) Chuẩn bị của gv :

C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)

Hoạt động nhóm

D TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

1) Ôn và kiểm tra kiến thức cũ :

x

x x

= 2 dần về 0 khi M trên các nhánh của hypebol đi xa ra vôtận về phía trái hoặc phía phải(hình vẽ) lúc đó ta gọi đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1

x + 2.

Cho HS nhìn hình 17 trang

28 sgk và định nghĩa tiệm cậnngang

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 1

x + 2.

Cho HS hình 18 trang 30 sgk định nghĩa tiệm cận đứng

GV chỉnh sửa và chính xác hoá định nghĩa

Dựa vào định nghĩa hãy cho biết phương pháp tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x x



x – 1.

 Hướng dẫn:

2) Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

9

x x

b) Tiệm cận đứng x = –3 Tiệm cận ngang y = –2;

c) Tiệm cận đứng x = 1, x = –1 Tiệm cận ngang y = 0

d) Tiệm cận đứng x = –1 Tiệm cận ngang y = 0

e) Tiệm cận đứng x = –1, x = 3

5 Tiệm cận ngang y = –

1

5.

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

1) Về kiến thức : Biết vận dụng sơ đồ khảo sát hàm số để tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm

số đơn giản và cơ bản nhất trong chương trình toán THPT Đó là các hàm đa thức, phânthức hữu tỷ quen thuộc Biết phân loại các dạng đồ thị, tính đối xứng, tiệm cận khi vẽ

2) Về kĩ năng : Khảo sát và vẽ được đồ thị hàm bậc ba, trùng phương, hữu tỷ Biện luận được

số nghiệm của phương trình bằng cách xác định số giao điểm của các đường

3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy logic, tư duy trực quan Tích cực, chủ động nắmkiến thức, tham gia xây dựng bài

B CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)

1) Chuẩn bị của hs :

Giấy phim trong, viết lông .2) Chuẩn bị của gv :

C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)

Sơ đồ khảo sát có 3 bước: tập xác định; sự biến thiên; đồ thị.

Khảo sát sự biến thiên

có 4 bước: Xét chiều biếnthiên; Tìm cực trị; Tìm giới hạn; Lập bảng biến thiên

Gv nhắc lại tính chẵn,

lẻ của hàm số và đồ thị liên quan

Cho Hs trình bày lại khảo sát hàm số bậc 1 và bậc 2 theo sơ đồ các bước

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 bx c

I – SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ1) Tập xác định : Tìm tập xác định D2) Sự biến thiên :

Xét chiều biến thiên của hàm số:

∙ Dựa vào bảng biến thiên

∙ Tìm thêm toạ độ giao điểm của

đồ thị với trục toạ độ

∙ Chú ý tính chẵn, lẻ của hàm số để

vẽ cho chính xác