Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f(x)

Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương pháp dạy học giúp học sinh học

1- MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác Thông quaviệc học Toán, học sinh nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán, đồng thời vận dụng vào thựctế

Các bài toán có liên quan đến đồ thị của hàm số f x'( ) là các bài toán khó,một vấn đề nan giải đối với học sinh THPT, đặc biệt là đối với các học sinh dự thiTHPT Quốc Gia các năm gần đây Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạothực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong

đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm.Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và họcsinh trong việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cáchtiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận Khi làm một bài toán yêu cầu họcsinh phải có kỹ năng, có suy luận và tư duy toán học nhanh nhạy đồng thời phảinắm chắc kiến thức cơ bản

Trong chương trình THPT vấn đề giải quyết các bài toán về hàm số có liênquan đến đồ thị của hàm f x'( ) có nhiều khó khăn đối với học sinh Trong quá trìnhdạy và đọc các tài liêu tham khảo, tôi đã rút ra kỹ năng nhỏ giúp học sinh giải cácbài toán liên quan đến đồ thị f x'( ) Xây dựng chương trình giải là một bước rấtquan trọng, để có được chương trình giải tối ưu trước hết phải nghiên cứu thật kĩcấu trúc của bài toán, xem xét dưới nhiều góc độ, nắm chắc kiến thức cơ bản từ đóđịnh ra hướng giải phù hợp Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số f x'( )

luôn là các bài toán khó có nhiều tư duy logic tổng hợp được nhiều kiến thức trongchương trình THPT, giáo viên cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải quyếttốt các bài toán trong chương trình thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư duytoán học, tạo điều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nóichung

Trong quá trình dạy học, ôn thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy phần các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm f x'( ) học sinh còn lúng túng khi làm toán

Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm f x'( ) đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực,độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiên và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y= f x'( ) với các vấn đề

của hàm số y= f x( ) Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao

trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPTQG

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số y= f x'( ) .

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận

Định lý:(1) Nếu hàm số u g x ( ) có đạo hàm tại x là u x'( ) và hàm số yf u( ) cóđạo hàm tại u là y u'( ) thì hàm hợp yf g x( ( )) có đạo hàm tại x là: y x'( ) y u u x'( ) '( )

Dấu của hàm số trên từng khoảng:

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ Khi đó

2.1.1.Tính đơn điệu của hàm số

Định lý:2 Giả sử hàm số yf x( ) có đạo hàm trên I

a) Nếu f x'( ) 0,   x I thì hàm số f đồng biến trên I

b) Nếu f x'( ) 0,   x I thì hàm số f nghịch biến trên I

+) Dấu hiệu hận biết tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên

x a b cy’ + 0 -

y

f(b)

f(a) f(c)

- Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )a b

1 Trang 161, sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 NXB Giáo Dục

2 Trang 5, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục 2

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (b;c).

Min f x f ; Maxf xa b; ( )f(a)

2.1.4 Các bài toán liên quan đến tích phân.

+) Diện tích hình thang cong:4

Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là mộtvấn đề cần thiết giúp cho các em có kỉ năng, kỉ xảo trong việc giải bài tập vận dụng

4 Trang 146, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục 6

cao đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả caotrong các kì thi THPTQG.

Hòa chung vào sự phấn đấu của các tổ chuyên môn trong nhà trường đội ngũgiáo viên của tổ Toán đã không ngừng phấn đấu và đóng góp đáng kể vào thànhtích chung của nhà trường Tuy nhiên thực trạng dạy học toán ở trường THPT nóichung và trường THPT Tĩnh gia 1 nói riêng đang là điều trăn trở

- Về phía giáo viên: Trong những năm gần đây chúng ta đã thay đổi hìnhthức thi từ tự luận sang trắc nghiệm nên lượng kiến thức cũng rộng hơn Bên cạnh

đó hệ thống các bài tập chưa đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn, chưa có chiềusâu, mới chỉ dừng lại ở việc cải tiến phương pháp Trong quá trình giảng dạy chúng

ta chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức mà chưa chú trọng đếncách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức từ đó chưa khơi dậyđược niềm đam mê và hứng thú học tập, chưa gợi được động cơ học tập cho hoạcsinh

2.3 Một số biện pháp

Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp chung:

+) Nếu đồ thị của hàm số y=f x¢ ( ) nằm trên trục hoành thì f x '( ) 0

+) Nếu đồ thị của hàm số y=f x¢ ( ) nằm phía dưới trục hoành thì f x '( ) 0

Từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số

Đối với hàm hợp chúng ta sử dụng lưu ý thêm: đồ thị của hàm số y=f x¢ ( ) cắt trục hoành tại x0 thì f x '( ) 0 Từ đó ta có thể thiết lập bảng biến thiên của hàm số yf x( ) Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra tính đơn điệu.

Ta thấy rằng đồ thị của hàm số y=f x¢ ( ) nằm trên trục hoành khi x  ( 2;1) (1;   )

nên f x '( ) 0 với   x ( 2;1) và (1;  )

Đồ thị của hàm số y=f x¢ ( ) nằm phía dưới trục hoành khi x    ( ; 2)

Lời giải Dựa vào đồ thị của hàm số y=f x' ( ) ta thấy:

Ví dụ 2 Cho hàm số y=f x( ) Đồ thị hàm số y=f x¢ ( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( ) =f( 3 2 - x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

é

ê = ê

8

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

Lưu ý: Ở ví dụ này ta có thể không cần lập bảng biến thiên mà dùng suy luận ta

3 2 - x= 3 ¾¾ ¾¾ ¾® theo do thi 'f x( ) f¢ ( 3 2 - x) =f¢ ( ) 3 < 0. Khi đó g¢ ( ) 0 =- f¢ ( ) 3>0.

Nhận thấy các nghiệm của g x¢ ( ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu

Ví dụ 3 ( Đề thi THPTQG năm 2018)

Cho hai hàm số yf x , y g x   Hai hàm số yf x  và y g x   có đồ thị như

hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x  

Phân tích bài toán: Hàm số    4 2 3

A Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (- ¥ - ; 2 )

B Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng (2; +¥ ).

C Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (- 1;0 )

D Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (0;2 )

Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1: Cho hàm số y=f x( ) Đồ thị hàm số y=f x¢ ( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( ) =f( 1 2 - x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A ( - 1;0 ) B ( - ¥ ;0 ) C ( 0;1 ) D ( 1; +¥ )

Bài 2: Cho hàm số y=f x( ) Đồ thị hàm số y=f x¢ ( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( ) =f(3 - x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Phương pháp chung:

Từ đồ thị của hàm số y=f x¢ ( ) ta tìm giao điểm của đồ thị y=f x¢ ( ) với trục hoành Tìm giá trị của x0 để f x'( ) 0 đổi dấu và thiết lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta sẽ giải quyết được yêu cầu của bài toán

Ví dụ 1 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y=f x¢ ( ) Số điểmcực trị của hàm số y=f x( ) là

Phân tích bài toán:

Đồ thị cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm

Giá trị của y=f x¢ ( ) dương khi nào? âm khi nào?

Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số f x¢ ( ) có 4 điểm chung với trục hoành x1 ; 0; ; x x2 3nhưng chỉ đổi dấu qua hai điểm là 0 và x3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Nhận xét: Dấu của g x¢ ( ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+¥ )

 xÎ ( 2; +¥ ® ) x2 > ¾¾ 4 ®x2 - > ¾¾ ¾ ¾ ¾® 3 1 theo do thi 'f x( ) f x¢( 2 - 3)> 0 ( ) 2

Từ ( ) 1 và ( ) 2 , suy ra g x¢ ( ) = 2xf x¢( 2 - 3)> 0 trên khoảng ( 2;+¥ ) nên g x¢ ( ) mang dấu + Nhận thấy các nghiệm x = ±1 và x =0 là các nghiệm bội lẻ nên g x¢ ( ) qua nghiệmđổi dấu; các nghiệm x = ±2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f x¢ ( )

tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1) nên qua nghiệm không đổidấu

Ví dụ 3 Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và f( ) 0 < 0, đồng thời đồthị hàm số y=f x¢ ( ) như hình vẽ bên dưới

ê

- y=f x¢ ( ) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

- Lập bảng biến thiên của hàm số g x( ) =f x2 ( )

Lời giải Dựa vào đồ thị, ta có ( ) 0 2( ).

=-¢ = Û ê =ëBảng biến thiên của hàm số y=f x( )

2 0

0

f x

x x

Vậy hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị Chọn C.

Nhận xét: Dấu của g x¢ ( ) được xác định như sau: Ví dụ chọn x= Î - 0 ( 1;b)

 x= ¾¾ ¾¾ ¾® 0 theo do thi 'f x( ) f ¢( ) 0 > 0 ( ) 1

 Theo giả thiết f( ) 0 < 0 ( ) 2

Từ ( ) 1 và ( ) 2 , suy ra g¢ <( ) 0 0 trên khoảng ( - 1; b)

Nhận thấy x=- 2; x a x b= ; = là các nghiệm đơn nên g x¢ ( ) đổi dấu khi qua các nghiệmnày Nghiệm x =1 là nghiệm kép nên g x¢ ( ) không đổi dấu khi qua nghiệm này,trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x =1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trìnhxét dấu của g x¢ ( )

Ví dụ 4 Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên ¡ Đồ thị hàm số y=f x' ( ) như hình

Bài tập rèn luyện

Bài 1 Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên ¡ Đồ thị hàm số y=f x¢ ( ) như hình vẽbên dưới Hỏi hàm số g x( ) =f x( ) +x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

Bài 2 Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên ¡ Đồ thị hàm số y=f x¢ ( ) như hình vẽbên dưới.Hàm số ( ) ( ) 3 2 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x( ) =f x( +m) có 5 điểm cựctrị ?

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và so sánh các giá trị của hàm số.

Phương pháp chung:

- Từ đồ thị của hàm số yf x  ta thiết lập bảng biến thiên , từ bảng biến thiên ta

sẽ giải quyết được yêu cầu của bài toán

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  2; 2, có đồ thị của hàm số

Phân tích bài toán:

Ứng với x thuộc khoảng nào thì

x y

Pương pháp: Đồ thị của hàm số f x'( ) cắt trục hoành tại

những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số f x( )

O

x y

2 0,5 1 1,5 0,5

 1

 2



  1

  2

  3

Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành ( nếu có) sau đó dựa vào tính chất sau:

Ví dụ 2. Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  liên tục trên  và đồ thị của hàm

số f x như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?

và đồ thị hàm số y= f x'( )cho bởi hình vẽ bên Tìm phần

nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

Bài 1.Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên

đoạn [- 1;2], có đồ thị của hàm số y= f x'( ) như

hình vẽ sau Mệnh đề nào sau đây đúng ?

= ç ÷çè ø÷

Bài 2.Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên ¡ ,

có đồ thị của hàm số y= f x'( ) như hình vẽ sau Đặt

Gọi S là quãng đường mà vật đi được, v là vận tốc và t là thời gian Ta có :S' v

Bài toán 1:( Mã Đề 101- Đề thi THPTQG năm 2017) Một

vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc

vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên Trong

khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị

đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối

xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị

là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng

đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm

Bài toán 2: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/

h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường

parabol với đỉnh 1;8

2

I 

  và trục đối xứng song song với trục

tung như hình bên Tính quãng đường s người đó chạy được

trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

9

2

s=ò - t + t dt= = Ta chọn đáp án C

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm số và

tích phân thì phương pháp này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn

Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá giỏi rất hứng thú với phương pháp giảitoán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo

Trong năm học 2017-2018, 2018-2019 qua các buổi dạy tôi đã sử dụng đồ thị củahàm số f '(x) giúp học sinh giải quyết các bài tập về các bài tập có liên quan đếnhàm số nhanh hơn, gọn hơn, đẹp hơn Sử dụng đồ thị của hàm số f '(x) là một công

cụ rất mạnh để giải các bài toán có liên quan Đặc biệt là đối với các bài toán hàm

số Kết quả là học sinh nắm được kiến thức, hiểu bài và áp dụng được vào các bàitập tương tự Cụ thể khoảng 30- 35% học sinh đạt kết quả trung bình, khoảng 65-70% học sinh đạt kết quả Khá, Gỏi

Năm học Lớp Số HS SLLoại Giỏi% SLLoại Khá% SLLoại TB%

Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung đề tài trên là do

bản thân tôi nghiên cứu và thực hiện, không sao chép nội dung của bất kỳ ai.

NGƯỜI VIẾT SKKN

Lê Đình Sơn

24

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục

2 Trần Văn Hạo, Giải toán đại số và giải tích 11 (Tái bản lần thứ nhất), NXB

Giáo Dục