Phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

Trong mỗi dạng trên tôi tập trung vào giải các bài toán sau: Bài toán 1: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm các khoảng đồng biến hoặc nghịch biếncủa hàm số hoặc tìm số điểm cực trị của hàm số ho

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Tên sáng kiến: Phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị

hàm số (Đặng Thị Hạnh - trường THPT Chuyên Bến Tre)

2 Lĩnh vực áp dụng của sáng kiến: Dạy học ở chương trình phổ thông.

3 Mô tả bản chất của sáng kiến

3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:

Trong quá trình học tập trên lớp cũng như tự ôn luyện nhằm đạt kết quả cao trong kìthi trung học phổ thông quốc gia, một trong những bài toán quen thuộc mà học sinhthường gặp đó là “Dựa vào đồ thị hàm số yf x  đã cho, hãy cho biết hàm số

 

y f x hoặc hàm số yf x  hoặc hàm số y f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?

” hoặc bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số yf x'  đã cho, hãy cho biết hàm số

 

'

yf x đã cho, hãy cho biết hàm số yf x 2 2đồng biến trên khoảng nào?” họcsinh lúng túng khi tìm đạo hàm của hàm số yf x 2 2 và khi tìm được đạo hàm củahàm số  2 

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, hàm số được nhắc đến là các hàm đa thức bậc ba hoặchàm đa thức bậc bốn Do đó tôi tập trung vào giải quyết các vấn đề như sau:

Phân các bài toán thường gặp thành hai dạng: Dạng biết đồ thị hàm số yf x  vàdạng biết đồ thị hàm số yf x' 

Trong mỗi dạng trên tôi tập trung vào giải các bài toán sau:

Bài toán 1: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm các khoảng đồng biến hoặc nghịch biếncủa hàm số hoặc tìm số điểm cực trị của hàm số hoặc tìm số nghiệm của phương trìnhcho trước

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để đồng biến hoặc

nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm số có

ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có bốn, nămnghiệm

trong mỗi dạng hàm số có đưa ra phương pháp giải của từng bài toán và nêu ra một

số sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhằm giúp các em rút được kinh nghiệm và giảiđược các bài toán tương tự

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu dùng kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp,

sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm số để giải bài toán dạng biết đồ thị hàm số

Phương pháp này có những thuận lợi như sau:

- Nội dung về đạo hàm của hàm số hợp, sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm sốhọc sinh đã được học trong sách giáo khoa nên học sinh sẽ thấy quen thuộc và dễ tiếpthu

- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựa vào đồ thị hàm số yf x'  suy ra sự biếnthiên, cực trị và đồ thị của hàm số yf x 

Vì sáng kiến này chủ yếu sử dụng kiến thức về sự biến thiên, cực trị và đồ thị củahàm số nên đối tượng áp dụng kết quả của sáng kiến này là học sinh lớp 12

Trong quá trình giải các bài toán trên ta có sử dụng một công thức đạo hàm quenthuộc đó là đạo hàm của hàm số hợp

3 2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

3.2.1 Mục đích của giải pháp: Thực hiện giải ba bài toán

Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số yf x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìmcực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y f x  hoặc hàm số

 

yf x hoặc hàm số y f x 2

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị hàm số yf x'  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cựctrị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số yf u  với u u x  

Bài toán 3: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để đồng biến hoặc

nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm số có

ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn,năm nghiệm

3.2.2 Nội dung giải pháp: Giải pháp được thực hiện dựa trên cở sở lí luận sau

Phần 2: Lấy đối xứng của phần đồ thị  C nằm phía dưới trục hoành qua trụchoành

Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua trục tung.

c Cho hàm số yf x liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số yf x 

Trên khoảng  ; a, ta thấy tiếp tuyến của đồ thị tại mọi đểm có hoành độ x0   ;a

đi xuống (tính từ trái qua phải) suy ra f x' 0 0, x0   ;a hay

f x     x a

Tương tự, f x'  0,  x a b; , f x' 0,  x b c; , f x' 0,  x c;Tại M a f a ;   tiếp tuyến của đồ thị song song với trục hoành nên f a '  0 Tương tự,

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng a b;  và c ; 

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; a và b c; 

Hàm số đạt cực đại tại x b

Hàm số đạt cực tiểu tại x a x c , 

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng f a , không có giá trị lớn nhất

d Cho hàm số yf x  liên tục trên  có đồ thị yf x'  hình vẽ Xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số yf x 

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;e và d ; 

Hàm số nghịch biến trên các khoảng e a;  , a b; , b c;  và c d; 

Hàm số đạt cực đại tại x e

Hàm số đạt cực tiểu tại x d

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

Dựa vào các cơ sở lí luận trên, ta giải được các bài toán liên quan đến đồ thị như sau:

Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số yf x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y f x  hoặc hàm số

y g x  f x Sau đó dựa vào bảng biến thiên mà kết luận về sự biến thiến, cực trị,

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g x ( ) f x 

Nhận xét:

+ Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y g x ( ) f x  thì

ta chỉ cần dựa vào đồ thị hàm số y g x ( ) f x  mà không cần lập bảng biến thiên

+ Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số y g x ( ) f x  thì tốt nhấtnên lập bảng biến thiên Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biếnthiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm x x i mà kết luận vềđiểm cực trị của hàm số

+ Nếu f x( ) là hàm đa thức thì f x( ) có đạo hàm trên  nên f x'( )i luôn xác định

nhưng đối với hàm g x( ) f x  thì g x'( ) không xác định tại các điểm x x i làhoành độ giao điển của đồ thị f x( ) với trục hoành

Thật vậy, nếu ta xem y g x ( ) f x   f x2( ) thì áp dụng công thức đạo hàm của

'( ) ( )' '( )

+ Khi dựa vào bảng biến thiên để kết luận về cực trị của hàm số học sinh thường gặp phải sai lầm như sau: Nếu g x'( ) đổi dấu khi qua điểm x x i nhưng g x'( ) không xác

định tại x x i thì kết luận ngay hàm số không đạt cực trị tại điểm x x i Đây là kếtluận chưa chính xác vì hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà nó không có đạohàm Do đó nếu gặp trường hợp trên ta cần xét đến giá trị của hàm số tại điểm x x i.Tức là, nếu g x i xác định thì x x i là điểm cực trị của hàm số y g x ( ), nếu g x i

không xác định thì x x i không là điểm cực trị của hàm số y g x ( )

Ví dụ 1: Cho hàm số f x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu ?

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x  có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

ii Dựa vào đồ thị hàm số yf x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g x ( )f x 

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Từ đồ thị hàm số yf x  suy ra đồ thị hàm số y g x ( )f x 

Bước 2: Từ đồ thị hàm số y g x ( )f x , suy ra bảng biến thiên của hàm số

 ( )

y g x f x

Sau đó dựa vào bảng biến thiên mà kết luận về sự biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g x ( )f x 

Nhận xét:

+ Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y g x ( )f x  thì

ta chỉ cần dựa vào phần đồ thị nằm bên phải truc Oy của hàm số yf x( ) mà khôngcần lập bảng biến thiên

+ Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số y g x ( )f x  thì tốt nhấtnên lập bảng biến thiên Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biếnthiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm x x i mà kết luận vềđiểm cực trị của hàm số

+ Nếu f x( ) là hàm đa thức thì f x( ) có đạo hàm trên  nên f x'( )i luôn xác định

nhưng đối với hàm g x( )f x  thì g x'( ) không xác định tại điểm x 0 là hoành độgiao điển của đồ thị f x( ) với trục tung

iii Dựa vào đồ thị hàm số yf x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g x ( ) f x 2

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y g x ( ) f x 2(dựa vào công thức đạo hàm củahàm số hợp), ta có y'g x'( ) 2 ' f x f x   

Bước 2: Giải phương trình g x '( ) 0, tức là giải phương trình f x '  0 và f x   0.Nghiệm các phương trình trên chính là hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các

điểm là giao của độ thị với trục hoành Đồng thời g x'( ) không xác định tại các điểm

mà f x'  và f x  không xác định

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y g x ( ) f x 2

Lưu ý: Dấu của y'g x'( ) phụ thuộc vào dấu của f x'  và f x  Giả sử nếu trênkhoảng a b;  thuộc khoảng xác định của hàm số ta có: Phần đồ thị f x  nằm phíatrên trục hoành tức là f x 0, x a b;  và xét từ trái sang phải ta thấy đồ thị f x 

đi xuống tức là f x' 0, x a b;  Do đó y'g x'( ) 0,  x a b; 

Bước 4: Kết luận về sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có )

của hàm số y g x ( ) f x 2

Ví dụ 2 Cho hàm số f x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Hàm số y f x 2

có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu ?

Xét trên khoảng b;3 ta có: Phần đồ thị f x  nằm phía dưới trục hoành tức là

y g x  f u x 

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y g x ( ) f u x   (dựa vào công thức đạo hàm củahàm số hợp), ta có y'g x'( )f u x'   'u x 

Bước 2: Giải phương trình g x '( ) 0, tức là giải phương trình f u x '   0 và u x '  0

Để tìm nghiệm các phương trình f u x '   0 ta dựa vào đồ thị hàm số yf x đãcho Chẳng hạn, trên đồ thị hàm số yf x  ta suy ra được f x'  0 x a nên

f u x    u x a sau đó từ phương trình u x a giải tiếp để tìm x

Đồng thời g x'( ) không xác định tại các điểm mà u x'  và f u x'   không xác định

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y g x ( ) f u x  

Lưu ý dấu của y'g x'( ) phụ thuộc vào dấu của u x'  và f u x'  

Bước 4: Kết luận về sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của

hàm số y g x ( ) f x 2

Ví dụ 3 Cho hàm số f x  liên tục trên  có đồ thị hàm yf x'  như hình vẽ Xét sự biến thiên của hàm số yf x 2 2?

như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số yf x 2 2 đồng biến trên các khoảng 2;0 và

2;  và nghịch biến trên các khoảng   ; 2 , 0; 2   và 2; 

iv Dựa vào đồ thị hàm số yf x  đã cho, hãy xác định số nghiệm của phương trình f f x   m với m là hằng số cho trước.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt tf x  Khi đó phương trình    

 

(1)(2)

Bước 2: Số nghiệm của phương trình f f x   m là số nghiệm của phương trình (2)

với t nhận tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình (1).

- Từ đồ thị yf x  ta tìm được số nghiệm t của phương trình (1) đồng thời biết được mỗi nghiệm t thuộc khoảng a b;  nào đó

- Với mỗi nghiệm t thuộc khoảng a b;  ta tìm số nghiệm của phương trình (2)

Ví dụ 4 Cho hàm số f x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình f f x    1 là số nghiệm của phương trình (2) với t nhận

tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình (1)

Xét phương trình (1), f t   1 Từ đồ thị ta có đường thẳng y 1 và đồ thị hàm

 

yf t cắt nhau tại ba điểm Do đó phương trình f t   1 có ba nghiệm t như sau:

t a với   1 a 0, t b với 0  b 1, t c với 2  c 3

Với mỗi trường hợp của t ta xét số nghiệm của phương trình (2)

Trường hợp 1: t a với   1 a 0

Khi đó, (2) trở thành f x a với   1 a 0 Từ đồ thị ta có đường thẳng y a

và đồ thị hàm yf x  cắt nhau tại ba điểm suy ra (2) có ba nghiệm phân biệt

Trường hợp 2: t b với 0  b 1

Khi đó, (2) trở thành f x b với 0  b 1 Từ đồ thị ta có đường thẳng y b và

đồ thị hàm yf x  cắt nhau tại ba điểm suy ra (2) có ba nghiệm phân biệt

Trường hợp 2: t b với 0  b 1

Khi đó, (2) trở thành f x c với 2  c 3 Từ đồ thị ta có đường thẳng y c và

đồ thị hàm yf x  cắt nhau tại một điểm suy ra (2) có một nghiệm

Ta thấy các nghiệm trên đôi một khác nhau nên phương trình f f x    1 có bảynghiệm phân biệt

Nhận xét:

Do đồ thị hàm số chỉ ra rõ ràng tọa độ các điểm cực trị, tọa độ giao điểm của đồ thị vớitrục tung nên đối với bài toán này ta có thể giải bằng cách như sau:

Từ đồ thị suy ra hàm số yf x  là hàm đa thức bậc ba Dựa vào các điểm cực trị

và giao điểm của đồ thị với trục tung ta tìm được phương trình hàm số

có ba nghiệm t t t1, ,2 3

Với mỗi nghiệm t tìm được ở trên, thế vào phương trình f x  t x3 3x2 2 t

Với f x a Nhìn vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm yf x  cắt đường thẳng

y a với 0 a 1 tại ba điểm phân biệt do vậy phương trình f x a có ba nghiệmphân biệt x x x3, ,4 5

Với f x b Nhìn vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm yf x  cắt đường thẳng

y b với 2  b 3 tại một điểm do vậy phương trình f x b có một nghiệm x6

Vậy phương trình g x '( ) 0 có 8 nghiệm phân biệt

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm

i Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị.

Bài toán : Cho hàm số yf x  (trong đó f x  là hàm đa thức bậc ba hoặc đa thức bậc

bốn) có đồ thị như hình vẽ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y f x m có ba

( )

g x g x y

Do đó số điểm cực trị của hàm số y f x m nhiều nhất là 5 điểm (vì một hàm

số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định)

Ta xét một số trường hợp cụ thể như sau:

a) Phương trình g x ( ) 0 và phương trình g x '( ) 0 không có nghiệm chung

+ Nếu g x ( ) 0 có 3 nghiệm và g x '( ) 0 có 2 nghiệm phân biệt (tức là g x( )có 2 điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau

(Hình vẽ trên cho biết g x( ) 0  x a x c x e ,  ,  , g x'( ) 0  x b x d ,  và

các nghiệm này đôi một khác nhau)

Suy ra đồ thị yg x( ) như sau

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị

+ Nếu g x ( ) 0 có 1 nghiệm và g x '( ) 0 có 2 nghiệm phân biệt (tức là g x( )có 2 điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau

(Hình vẽ trên cho biết g x( ) 0  x c , g x'( ) 0  x a x b ,  và các nghiệm

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.

+ Nếu g x ( ) 0 có 1 nghiệm và g x '( ) 0 vô nghiệm hoặc g x '( ) 0có nghiệm kép (tức là g x( ) không có điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau