Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm Tổ: Toán - Tin

Trường: THPT Như Thanh SKKN thuộc môn Toán.

THANH HÓA, NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng 2

2.3 Giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 5

2.3.2 Một số dạng bài toán về hàm số f x f u x( ), éêë( ) ùúû khi biết đồ thị của hàm số f x'( ) 7

2.4 Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng 23

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 25

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 26

3.1 Kết luận 26

3.2 Kiến nghị 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổimới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sángtạo của người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phươngpháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy họchiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyềnthống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụđộng sang chủ động

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm là mộtcông cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số f x( )và đạo hàm của

nó f x'( )có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểudiễn dưới dạng công thức nó còn được thể hiện qua đồ thị, việc dựa vào đồ thịcủa hàm số f x'( )để tìm ra được các tính chất của hàm số f x( )giúp ta giải quyếtđược rất nhiều bài toán khó

Từ năm học 2016-2017, Bộ GD&ĐT đã thay đổi từ hình thức thi tự luậnsang trắc nghiệm đối với môn Toán, thì xuất hiện trong đề thi rất nhiều bài toán

có giả thiết là cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f x'( ) và yêu cầu chỉ

ra các tính chất của hàm số f x( ) Đây là một yêu cầu khá mới mẻ đối với họcsinh, để giải quyết được các dạng bài toán này thì học sinh cần phải nắm vữngkiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của nó Xuất phát từ những lý do

trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị

của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc Gia tại trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán vậndụng, vận dụng cao về hàm số f x f u x( ),  ( )  khi biết đồ thị hàm số f x'( )

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là vận dụng một số lýthuyết trong chương trình SGK lớp 12 để giải quyết các bài toán đơn điệu, cựctrị, GTLN-GTNN của hàm f u( )x  khi biết đồ thị của hàm số f x'( )

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợpnhiều phương pháp như:

-Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phântích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về

đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh

mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực "

Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàngngày Vì thế mà Toán học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trongđời sống xã hội Hiểu biết về Toán học giúp cho người ta có thể tính toán, suynghĩ, ước lượng, và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ,suy luận lôgic, trong giải quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng nhưtrong cuộc sống hàng ngày

Ở trường phổ thông, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán Giải toánliên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kỹ năng cơ bản,khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ýtưởng liên quan, Giải toán đòi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học toán vàgiải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp.Kiến thức môn Toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn họckhác như Vật lí, Hóa học, Sinh học,

Do đó, ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn Toán để đáp ứngđược yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hìnhthành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của

môn Toán như: Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy

sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính toán (gồm: năng lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán).

2.2 Thực trạng.

Trong quá trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôinhận thấy việc học bộ môn toán của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là các bàitoán về hàm số f x( ) khi biết đồ thị của hàm số f x'( ) Các em không biết bắtđầu từ đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào… Chính những khó khăn đó đãảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập môn Toán, dẫn đến các em không

có hứng thú trong việc học môn Toán

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập

về hàm số f x( ) khi biết đồ thị của hàm số f x'( ), các em thường thụ động trongviệc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cungcấp chứ chưa chủ động trong việc giải các bài toán dạng này Kết quả khảo sát ởmột số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% học sinh hứng thú với các dạngbài toán này

2.3 Giải quyết vấn đề.

Năm học 2017-2018 là năm học thứ hai môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm, thì ở mã đề 101 có bài toán sau:

Cho hai hàm số yf x  , yg x  Hai hàm số yf x  và yg x 

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm

Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả những học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn của bái toán trên chính là việc tìm

ra mối liên hệ giữa hai điều kiện đồ thị hàm số f x g x'( ), '( ) và tính đơn điệu củahàm h x( ) Sau đây là một số cách giải bài toán này.

3 8 1011

ê = ê

(tại các giao điểm của đường cong và đường thẳng trên hình)

x

y

2 -

4 2

2 4 2

-x

y

2 -

4 2

2 4 2

-¢ < Û ¢ - < Û ê < <ê

+ Bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên ta nhận thấy h( )2 lớn nhất trong 3 giá trị cực trị

+ Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu còn lại

Như vây, các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số luôn xuất hiện nhiều trong

đề thi chính thức ở 2 năm học qua cũng như đề minh hoạ của Bộ GD& ĐT năm học 2018-2019 Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung vào giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số f x f u x( ), éêë( ) ùúû khi biết đồ thị của hàm số f x'( ).

Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.

Hàm số yf x được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu x x1, 2K x, 1x2

a Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h và x x 0 thì

ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại x0

b Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h và x x 0 thì

ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại x0

Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.

a Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên tập D nếu f x M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f x 0 M Kí hiệu max  

D

b Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trên tập D nếu f x m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f x 0 m Kí hiệu min  

D

m f x

2.3.1.2 Các tính chất.

Định lý 1: Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên K

+ Nếu f x¢( ) > " Î 0, x K thì hàm số y=f x( ) đồng biến trên K

+ Nếu f x¢( ) < " Î 0, x K thì hàm số y=f x( ) nghịch biến trên K

Định lý mở rộng: Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên K Nếu

Định lý 3: Giả sử hàm số yf x  liên tục trên khoảng K x0  h x; 0 h và có

đạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 , với h 0

a Nếu f x '  0 trên khoảng x0  h x; 0 và f x '  0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì x0

là một điểm cực đại của hàm số f x 

b Nếu f x '  0 trên khoảng x0  h x; 0 và f x '  0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì x0

là một điểm cực tiểu của hàm số f x 

2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số.

- Cho hàm số yf x  có đồ thị  C Đồ thị hàm số  C1 :yf x a   được suy

ra từ đồ thị  C bằng cách tịnh tiến đồ thị  C theo phương trục hoành một đoạnbằng a Nếu a 0 tịnh tiến đồ thị  C qua phải a đơn vị và nếu a 0 tịnh tiến

đồ thị  C qua trái a đơn vị

- Cho hàm số yf x  có đồ thị  C Đồ thị hàm số  C2 :yf x  b được suy

ra từ đồ thị  C bằng cách tịnh tiến đồ thị  C theo phương của trục tung mộtđoạn bằng b Nếu b 0 tịnh tiến đồ thị  C xuống dưới b đơn vị và nếu b 0

tịnh tiến đồ thị  C lên trên b đơn vị

+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị  C

nằm dưới trục Ox

2.3.1.4 Một số ứng dụng của tích phân.

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số yf x  liên tục, trụchoành và hai đường thẳng x a x b ;  được tính theo công thức:  

b

a

S f x dx.

b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

Cho hai hàm số yf x  và y g x   liên tục trên đoạn a b;  Khi đó diện tích S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x , y g x   và hai đường thẳng,

Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho hàm số yf x  xác định, liên tục trên  và có đồ thị của đạohàm yf x  như hình vẽ cho trước Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến,

cực trị của hàm số y= ê úf u xéë( )ùû

Để giải bài toán trên ta thường thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Từ đồ thị hàm số yf x  tìm nghiệm của phương trình f x¢( ) =0

(hoành độ giao điểm của đồ thị hàm f x  với trục Ox) Giả sử có các nghiệmlà: x x x x 1,  2,

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số y= ê úf u xéë( )ùû và giải phương trình

Bước 3: Tìm các khoảng f x   0,f x   0 Giả sử f x   0,  x  a b; khi đó

f u x   u x  a b

  Giải bất phương trình a u x   b

Bước 4: Lập bảng biến thiên và kết luận.

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x  Hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm khoảng đồng biến của hàm số yf 2  x

(Trích đề minh hoạ năm 2018 – BGD&ĐT)

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng  2;1 và 3; 

Qua ví dụ 1, học sinh hình thành tư duy tương tự cho bài toán cơ bản về việc xét tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x có đạo hàm liên tục trên , hàm số y f x  có

đồ thị như hình vẽ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm

số g x  f x x 2 trên 

Để tìm được khoảng nghịch biến của hàm số ta phải dựa vào việc xét dấu của đạo hàm cấp 1

2 2

1

1 2 0

2 1

x x

Từ đó ta cũng có bảng xét dấu g x  như trên

Ví dụ 3: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị y f x  như

hình vẽ bên và f  2 f  2  0

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số g x    f 3  x2.

Giải

Ta có: g x   2 ' 3f   x f 3  x

Từ đồ thị của yf x  ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra f x    0, x   f 3  x    0, x 

Hàm số g x    f 3  x2 nghịch biến khi và chỉ khi

  2 3  3  0

g x  f  x f  x   f3  x  0 2 3 1

x x

 



  

Vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;5 và   ;1

Ví dụ 4: Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số

Ta có g x¢ ( ) =- 2xf¢(1 - x2).Hàm số g x( ) nghịch biến ( ) ( )

2 2

¢ = Û ê ¢ -ê =

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0:+¥ )

Ví dụ 5 : Cho hàm số yf x  có đạo hàm là hàm số f x  trên  Biết rằnghàm số yf x  2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tìm khoảng nghịch biếncủa hàm số f x 

G

iải : Nhận xét : Với yêu cầu của bài toán thì ta cần xác định được dấu của hàm số

 

f x Từ giả thiết ta thấy rằng, đồ thị của hàm số f x  đã thực hiện một số phép biến đổi đồ thị để được đồ thị như hình vẽ Từ đó ta có thể giải như sau:

Từ đồ thị hàm số f x-' ( 2 ) + 2 tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm

số f x-'( 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới)

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f x-' ( 2 ) sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số

( )

'

f x (tham khảo hình vẽ bên dưới)

Tuy nhiên ngoài cách giải trên ta cũng có thể giải bằng cách sau:

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: f x  2  2 2,  x 1;3  f x  2 0,  x 1;3 Đặt t  x 2 thì f t   0,   t  1;1.Vậy, hàm số f x  nghịch biến trên khoảng

 1;1

Ví dụ 6: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  Biết đồ thị của hàm số

 '

yf x như hình vẽ Tìm điểm cực tiểu của hàm số g x  f x x

Trên 2;  đường thẳng y 1 nằm trên đồ thị hàm số yf x' 

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x đạt cực tiểu tại điểm x 1.

Ví dụ 7: Cho hàm số y=f x( ) biết rằng hàm số y=f x¢ ( )có đồ thị như hình vẽ bên dưới

ê

ê+ Vì đồ thị y=f x¢ ( )tiếp xúc trục Ox tại điểm có hoành độ x =1 nên x =1 là nghiệm bội chẵn Do đó ta chỉ cần xét số nghiệm hai phương trình:

nghiệm kép x =0 , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác không khi đó

Ví dụ 9: Cho hàm số f x  có đạo hàm trên , đồ thị

hàm số yf x  như trong hình vẽ bên, f a   0 Tìm số

cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  với trục hoành

Đặt g x( ) 2  f x   x 1 ,2   x và h x   2f x   x 1 ,2   x

Ta có: h x'   2 'f x  2x 1  h x'   0 f x'  x 1 (*)

Dự vào đồ thị, nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị

 

yf x và đường thẳng y x 1, ta có:  

1 1

*

2 3

x x x x

f x khi biết đồ thị của hàm số f x'( ).

Cơ sở phương pháp của bài toán dạng này cũng là bài toán đã trình bày trong dạng 1 Sau đây ta xét một số ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1: Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của hàm số yf x được cho như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng f 1 f  0  f  1  f  2 Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên đoạn  1;2

Giải

Từ đồ thị của hàm số yf x  ta có bảng biến thiên của hàm số yf x trên đoạn  1;2 như sau:

Nhận thấy: min1;2 f x  f(1)

Để tìm Max f x 1;2  

 ta so sánh f ( 1) và f(2).Theo giả thiết, f  1 f  0  f  1 f  2  f  2  f   1  f  0  f  1

Từ bảng biến thiên , ta có f  0  f  1  0 Do đó

 2  1 0  2  1

f  f    f  f  Hay max1;2 f x  f  2 Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1và giá trị lớn nhất tại x 2

Ví dụ 2: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f x¢( ) Đồ thị của hàm số y=f x¢( )

được cho như hình vẽ bên Biết rằng ff( )0 +ff( )3 = ( )2 + ( )5 Tìm giá trị x0 đềhàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên đoạn 0;5

Giải

+ Từ đồ thị ta có bảng biến thiên trên của hàm số y=f x( ) trên é ùê ú0;5

+ Từ bảng biến thiên ta thấy min0;5 f x  f(2)

+ Để tìm Max f x0;5   ta so sánh f(0) và f(5)

+ Ta có: ff( )0 +ff( )3 =ff( )2 +ff( )5 Þ ( )0 - ( )5 = ( )2 - ( )3 < Þ 0 ff( )0 < ( )5 Hay max0;5 f x  f  5 Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 2và giá trị lớn nhất tại x 5