PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số DẠNG TOÁN LIÊN QUAN đến đồ THỊ đạo hàm

Với hình thức thi trắc nghiệm thì một dạng toán nào đó, các câu hỏi không chỉ dừng lại ở một cách hỏi nhất định hay những câu hỏi đơn thuần mà các câu hỏi tư duy mở được xuất hiện nhiều. Nếu không có phương pháp thì học sinh khó có thể giải quyết các câu hỏi tư duy mở và vì thế khó đạt điểm cao trong kì thi. Trước đây với cách thi tự luận thì các dạng toán như: đồ thị của Đạo hàm, tính đơn điệu của hàm hợp, cực trị của hàm hợp, nhận dạng đồ thị rất ít khi gặp. Nhưng hình thức thi mới đã xuất hiện rất nhiều các câu hỏi ở các dạng toán hàm hợp và đồ thị đạo hàm. Các dạng toán mới này làm cho nhiều giáo viên phải mất thời gian, công sức nghiên cứu và tìm ra các phương pháp truyền đạt sao cho hiệu quả. Đồng thời học sinh cũng gặp không ít khó khăn trong lối tư duy để giải toán. Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn nghiên cứu chuyên đề “Phương pháp giải một số dạng toán liên qua tới đồ thị của Đạo hàm”.

MỤC LỤC

MỤC LỤC:……… …1

A LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO……… 2

B NỘI DUNG:………2

I NHỮNG LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ:………… 3

1.1 Tính đơn điệu của hàm số:……… … 3

1.2 Cực trị của hàm số:……… ……… 3

1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:……… ……… 4

1.4 Sự tương giao của đồ thị hàm số yf x( ) với trục hoành:……….……….4

1.5 Liên quan đến đồ thị đạo hàm của các cấp:……….……… 5

II NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ:……….6

II.1 Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:…… ….6

II.2 Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ …… …22

II.3 DẠNG 3: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ……… …43

II.4 DẠNG 4: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ……… ….52

C KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA CHUYÊN ĐỀ: ………57

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM

Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 12 Thời lượng: từ 4 đến 8 tiết (tùy đối tượng HS)

A LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ THAM GIA HỘI THẢO

Công tác ôn thi THPT Quốc gia là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng caochất lượng giáo dục của mỗi nhà trường, đồng thời đáp ứng sự kỳ vọng của nhiều học sinh

và phụ huynh học sinh Tuy nhiên, đây là một công việc đòi hỏi sự nỗ lực không mệt mỏicủa cả thầy và trò

Trong những năm học vừa qua, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thiTrung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong đó môn Toán được đổi hình thức thi từ tựluận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi đó đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khókhăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện Việc thay đổi hình thức thi đươngnhiên sẽ kéo theo sự thay đổi về cách tiếp cận kiến thức cũng như cách đặt câu hỏi

Với hình thức thi trắc nghiệm thì một dạng toán nào đó, các câu hỏi không chỉ dừnglại ở một cách hỏi nhất định hay những câu hỏi đơn thuần mà các câu hỏi tư duy mở đượcxuất hiện nhiều Nếu không có phương pháp thì học sinh khó có thể giải quyết các câu hỏi tưduy mở và vì thế khó đạt điểm cao trong kì thi

Trước đây với cách thi tự luận thì các dạng toán như: đồ thị của Đạo hàm, tính đơnđiệu của hàm hợp, cực trị của hàm hợp, nhận dạng đồ thị rất ít khi gặp Nhưng hình thức thimới đã xuất hiện rất nhiều các câu hỏi ở các dạng toán hàm hợp và đồ thị đạo hàm Các dạngtoán mới này làm cho nhiều giáo viên phải mất thời gian, công sức nghiên cứu và tìm ra cácphương pháp truyền đạt sao cho hiệu quả Đồng thời học sinh cũng gặp không ít khó khăntrong lối tư duy để giải toán

Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn nghiên cứu chuyên đề “Phương pháp giải một số dạng toán liên qua tới đồ thị của Đạo hàm”.

B NỘI DUNG

Chuyên đề được chia làm 4 nội dung

1 Phương pháp tìm khoảng đơn điệu của hàm số

2 Phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

3 Bài toán tìm GTLN,GTNN của hàm số.

4 Nhận diện đồ thị.

Thời điểm sử dụng: Sau chương I Giải tích 12 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, hoặc dạy xong toàn bộ chương trình 12 dùng để ôn thi THPT Quốc Gia.

I NHỮNG LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ

1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số yf x( )xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảnghoặc một đoạn

+) Hàm số yf x( )đồng biến (tăng) trên K nếu x x1, 2K x, 1x2  f x 1  f x 2

.+) Hàm số yf x( )nghịch biến (giảm) trên K nếu x x1, 2K x, 1x2  f x 1  f x 2

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng

K

+) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x   0, x K

.+) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x   0, x K

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên khoảng

+) Nếu f x  trên khoảng 0 x0 h x; 0

Với a b; 

là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a x b 

1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f x  với x D m   và tồn tại x0D sao cho f x 0  Kí hiệu: m mminD f x .

1.4 Liên quan tới đồ thị của đạo hàm các cấp.

Phương pháp: Sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp.

PP1: Đồ thị hàm số f x'( ) cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm

f x > " Îx KÞ f x tăng trên K f x'( )< " Î0, x K Þ f x( ) giảm trên K.

Minh hoạ bằng hàm số y = sin x

II : NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

II.1 Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

BÀI TOÁN : Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y= f x( ) ; y= f u( ) khi biết đồ thị

x x

ê = ê

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Nhận thấy các nghiệm của g x¢( )

là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Chọn C

¢ = ¢ + ¢ = Û ¢ + = ¬¾ ¾ ¾ ¾® Û =

ê + = ê

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số g x( ) nghịch biến trên (- ¥ ;0 ) Chọn A.

Ví dụ 5. Cho hàm số y=f x( ). Đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( )= 2f( 3 2 - x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

æ ö÷ç- ÷

æ ö÷ç- ÷

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Ví dụ 6. Cho hàm số y=f x( ). Đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình bên dưới

é =

ê é = ê

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

Chú ý: Dấu của g x¢( ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2;+¥)

Nhận thấy các nghiệm của ( )g x¢ là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Ví dụ 8: Cho hàm số y=f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình vẽ bên dưới và( 2) ( )2 0

suy ra bảng biến thiên của hàm số ( )f x như sau

Từ bảng biến thiên suy ra ( )f x £0, " Î ¡x .

Suy ra hàm số ( )g x nghịch biến trên các khoảng (- ¥ - ; 2 ,) (1;2 ) Chọn D.

Ví dụ 9 . Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình bên dưới và( 2) ( )2 0.

Từ bảng biến thiên suy ra ( )f x £0, " Î ¡x .

Suy ra hàm số ( )g x nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;1 ,) (2;5 ) Chọn C.

Ví dụ 10. Cho hàm số y=f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bên dưới

=-¢ = Û ê =

ê = ë

Ví dụ ở mức độ vận dụng cao:

Đặt g x( )= f x( )- x, khẳng định nào sau đây là đúng ?

Số nghiệm của phương trình g x¢ =( ) 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f x¢( )

và đường thẳng d y=: 1 (như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra

=-¢ = Û ê=

ê = ë

Bảng biến thiên

( ) ( ) ( )

Chú ý: Dấu của ( )g x¢ được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2; +¥ ), ta thấy đồ thịhàm số nằm phía trên đường thẳng y=1 nên ( )g x¢ =f x¢( )- 1

=-¢ = Û ê =

ê = ë

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x Î -( 2;2) thì đồ thị hàm số ( )f x¢ nằm phía trên đườngthẳng y x= nên ( )g x¢ >0) ¾¾ ® hàm số ( )g x đồng biến trên (- 2;2 ) Chọn B.

3 8 1011

Dựa vào đồ thị,

9

;34

Bài 1. Cho hàm số yf x  Biết hàm số yf x'  có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Bài 3 (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-L3-2018) Cho hàm số yf x 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số y e f(2x1) 2017 đồng biến trên đoạn

2

;13



  và nghịch biến trên đoạn 1; 4 

B Hàm số y e f(2x1) 2018 đồng biến trên đoạn

1

;13



  và nghịch biến trên đoạn 1;9 

C Hàm số y e f(2x1) 2000 đồng biến trên đoạn 1;0

và nghịch biến trên đoạn 0; 2 

D Hàm số y e f(2x1) 2001 đồng biến trên đoạn

5

;06

æ ö÷ç- ÷

ç ÷

çè ø D ( )1;3

II.2 Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Ví dụ ở mức độ nhận biết:

BÀI TOÁN 1: Cho đồ thị hàm số yf x , tìm cực trị của hàm số yf x .

Điều kiện cần và đủ để hàm số yf x  đạt cực trị tại x0 là f x 0 0 và f x 

đổi dấu khi đi qua x0.

Phương pháp:

Để xác định các điểm cực trị của hàm số yf x  ta xác định các điểm x mà tại đó đồ thị0

hàm số yf x  cắt trục hoành và đổi dấu khi đi qua x 0

Số điểm cực trị của hàm số yf x  là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  vớitruch hoành mà tại các giao điểm đó đồ thị hàm số yf x  đi qua trục hoành

Ví dụ 1 (Sở GD&ĐT Hưng Yên-107-2018) Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y=f x¢( )

có đồ thị như hình bên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

yf x cắt trục hoành nhưng không đổi dấu, tại các điểm x x đồ thị hàm số 2, 4 yf x 

cắt trục hoành và đổi dấu nên các điểm x x là các điểm cực trị của hàm số 2, 4 yf x  do

đó hàm số yf x  có hai điểm cực trị Chọn D

Cách 2: Ta lập bảng biến thiên của hàm số yf x 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: hàm số yf x  đạt cực trị tại x x 2, 4

Ví dụ 4. Cho hàm số yf x  Hàm số yf x'  có đồ thị trên một khoảng K như

hình vẽ dưới Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng?

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y f x và y2x1

Dựa vào đồ thị hàm số y f x  và đường thẳng y2x1có x 0,2 là các nghiệm của

phương trình (1):

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y f x và yx

Dựa vào đồ thị hàm số y f x  và đường thẳng yxcó x   1,0,1,2 là các nghiệm của

phương trình (1) (trong đó x 1 x2 là các nghiệm bội chẵn)

Từ đó suy ra hàm số g x đạt cực đại tại điểm   x  1

Ví dụ 3. Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên  và có đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hìnhbên dưới

Hàm số

3 2

của phương trình ( )g x¢ = bằng số giao điểm của hai đồ thị 0 y=f x¢( )

và parabol y=(x- 1)2; ( )g x¢ > khi đồ thị 0 y=f x¢( ) nằm trên

paraboly=(x- 1)2 và ngược lại.

ê =ê nhưng ( )g x¢ chỉ đổi dấu từ dươngsang âm khi qua x =1 Do đó hàm số đạt cực đại tại x =1.

Ví dụ 4 : Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  , có đạo hàm f x  Biết đồthị của hàm số f x  như hình vẽ

Xác định điểm cực tiểu của hàm số  g x f x  x

A Không có cực tiểu B x  0 C x  1 D x  2

Lời giải

Ta có  g x f x  Dựa vào đồ thị thấy  1 g x đổi dấu từ “-” sang “+” qua điểm x  1

nên hàm số  g x đạt cực tiểu tại x  Chọn C.1

nên dựa vào đồ thị nhìn thấy đường thẳng nằm trong vùng từ 1 đến

2 từ đó quan sát thấy có 4 nghiệm

DẠNG TOÁN 3 Cho đồ thị hàm số yf x , tìm cực trị của hàm số yf u 

x x x

x x

x x

x x

Vậy hàm số y= f x( 2- x)

có 3 điểm cực tiểu Chọn C.

Ví dụ ở mức độ vận dụng:

DẠNG TOÁN 4 Biết đồ thị hàm số yf x  xét cực trị của hàm sốyf u x   h x 

Ví dụ 1. Cho hàm số yf x  có đạo hàm và liên tục trên R, có đồ thị hàm yf x  nhưhình vẽ sau:

Hơn nữa, x2 1 0  nên phương trình x  * vô nghiệm.

mà x0, x1 là các nghiệm đơn của phương trình g x   nên hàm số 0 y g x  

có 3 điểm cực trị

,phương trình   trở thành f t'   t2 2t2  1 

Vẽ thêm đồ thị hàm số x2 2x (màu đỏ) trên đồ thị 1 f x' 

đề cho

Dựa vào đồ thị,

 

2 2 2

đạt cực tiểu tại 1 điểm x  0

Ví dụ 4. Cho hàm số yf x( ) Hàm số yf x/( ) có đồ thị như hình bên Tìm m đểhàm số yf x( 2m) có 3 điểm cực trị?

Chọn B

Ví dụ 5. Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm y = ( )f x¢ với mọi x Î ¡.và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x( )= f x( 2 - 8x m+ )

có 5 điểm cực trị?

2 2

ê - + = ê

¢ = Û - ¢ - + = Û ê - + =

ê ê

ê - + = ê

Yêu cầu bài toán Û g x¢( )= 0 có 5 nghiệm bội lẻ Û mỗi phương trình ( ) ( )1 , 2 đều có hai

O

nghiệm phân biệt khác 4. ( )*

Cách 1: ( )*

16 16

18

m m

m m

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện Chọn A

Cách 2: Xét đồ thị ( ) C của hàm số y=x2- 8x và hai đường thẳng d y1 : =-m d y, : 2 =- m+ 2

(hình vẽ)

Khi đó ( )* Û , d d1 2 cắt ( )C tại bốn điểm phân biệt Û - m>- 16 Û m< 16.

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện

Hỏi hàm số y f x 2

 có tối đa bao nhiêu cực trị?

f x y

Số điểm cực đại của hàm số g x   f 1 2 x3

; 14;

x x

0



y

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x   f x 13m7

  có 2 điểm cựctrị?

  nên dấu của g x 

phụ thuộc vào dấu f x 1 Hàm số f x 

cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên có 2 điểm cực trị, số điểm cực trị hàm

11

Hàm số y g x ( )f x 2 5

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Ví dụ ở mức độ nhận biết:

Ví dụ 1. Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( )f x¢ liên tục trên ¡ và đồ thị của hàm số ( )f x¢

trên đoạn [- 2;6] như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Đồ thị ( )f x¢ có bảng biến thiên như hình bên

Từ bảng biến thiên suy ra : max[ 2;6] f x( ) max{ff( 1 ;) ( )6 }

Chọn D.

Ví dụ ở mức độ thông hiểu:

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bên

Biết rằng ( )ff0 +ff( )3 = ( )2 + ( )5 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của ( )f x trên đoạn[0;5]lần lượt là

Ví dụ 3 Cho hàm số y=f x( ). Đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình bên.

Biết rằng ( )ff0 +ff( )1 2 2 - f ( )= ( )4 - ( )3 Hỏi trong các giá trị ( )ff0 , ff( )1 , ( )3 , ( )4 giá trịnào là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f x( ) trên đoạn [0;4] ?

A f( )0 B f( )1 C f( )3 D f( )4

Lời giải.

Từ đồ thị hàm số y=f x¢( ), ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y=f x( )

Từ BBT suy ra min [0;4] f x( )= min{ff( )0 , ( )4 }

=-¢ = Û ê =

ê =ëBảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra [ ] ( ) ( )

nằm phía trên đường thẳng y x= +1 nên suy ra g x¢ >( ) 0

=-= Û ê

=-ê =

ë Bảng biến thiên như hình bên

Từ bảng biến thiên ta suy ra min[ 3;1] g x( ) g( )1

¢

¾¾ ¾ ® = Û

¢ = ¢ - ¢ ê =

ê = ë

y= f x¢

và y g x= ¢( )

được cho như hình vẽ bên

Biết rằng ff( )0 - g( )6 <g( )0 - ( )6 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số( ) ( ) ( )

h x = f x - g x trên đoạn [0;6] lần lượt là

Ví dụ 9. Người ta khảo sát gia tốc a t  của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian

tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 và ghi nhận được

3 2

Dựa vào BBT ta chọn A

Bài tập về nhà Mức độ nhận biết:

Biết f  0  f  2 f  1  f  4 Hỏi tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 5. Người ta khảo sát gia tốc a t 

của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời giantính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được

 

a t

là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhấtđến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?

A giây thứ 7 B giây thứ nhất C giây thứ 10 D giây thứ 3.

nằm phía trên trục hoành

- Nếu hàm số yf x  nghịch biến trên K thì f x  trên 0 K ( dấu  xảy ra tại hữu

hạn điểm) tức là trên K đồ thị hàm số yf x  nằm phía dưới trục hoành

- Tại các điểm hàm số yf x  đạt cực trị thì f x  tức đồ thị hàm số 0 yf x  cắt trục hoành

Nhận thấy: Tại hoành độ những điểm cực trị của đồ thị  C1

thì C3

cắt trục hoành, trênnhững khoảng  C1

, C2

, C3 như hình vẽ

Và giao điểm của đường C2

với trục hoành có hoành

độ là hoành độ cực trị của hai đường còn lại

Ngoài ra, ta thấy phần đồ thị nằm dưới trục hoành của C2

ứng với phần nghịch biến của

Tương tự, phần đồ thị nằm dưới trục hoành của  C1

ứng với phần nghịch biến của C2

và phần nằm trên trục hoành của  C1

ứng với phần đồ thị của  C1

nên đồ thị của  C1

là đồ thị của hàm số đạo hàm của hàm số có đồ thị là C2

như hình vẽ Mệnh đềnhận xét nào dưới đây đúng?

 C C1

C3

x y

, G2, G3, G4 như hình vẽ Biết rằng đường thẳng  làtiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x Đồ thị ứng với đạo hàm cấp một 0 f x 

C KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA CHUYÊN ĐỀ :

Để có đánh giá khách quan và chính xác hơn về phương pháp này, tôi đã làm một phiếu điều tra hứng thú học tập cho các em học sinh ở cả 3 lớp 12A1, 12A2, 12A7, kết quả thu được như sau:

Lớp 12A1: Kết quả điều tra hứng thú học lập trình lớp 12A1

sự thành công của phương pháp mà tác giả nghiên cứu, vì vậy chuyên đề có thể mở rộng áp dụng để giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia ở các trường THPT

Theo các em học sinh thì phương pháp này đã giúp các em hoàn thành tốt các dạng bàitập từ cơ bản đến nâng cao, các câu hỏi tư duy mở về tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, nhận diện đồ thị hàm số trong các đề thi thử củacác trường trên cả nước Với phương pháp này dự kiến các em sẽ có thêm lối tư duy mở cho các dạng toán khác và dự kiến kết quả thi THPT Quốc gia sẽ có nhiều thành công hơn nữa