Rèn luyện kĩ năng về cách đọc các yếu tố của một số dạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VỀ CÁCH ĐỌC CÁC YẾU TỐ CỦA MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI CHO H

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

VỀ CÁCH ĐỌC CÁC YẾU TỐ CỦA MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức Chức vụ: Tổ phó tổ chuyên môn Toán SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA, NĂM 2021

1 Mở đầu.

1.1 Lí do chọn đề tài.

Năm học 2020 – 2021 là năm học toàn ngành tiếp tục thực hiện Nghịquyết Đại hội Đảng các cấp, nhiệm kì 2020 – 2025; tiếp tục thực hiện Nghị

quyết 29 Hội Nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ 8 Khóa XI về “Đổi mới căn

bản , toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập

quốc tế” trong đó trọng tâm là Chỉ thị số 16/CT-TTg ngày 18/6/2018 của Thủ

tướng Chính phủ về đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông,đồng thời tiếp tục tập trung thực hiện có hiệu quả 09 nhóm nhiệm vụ chủ yếu và

05 nhóm giải pháp cơ bản của ngành Giáo dục và Đào tạo

Năm học 2020 – 2021 là năm học tiếp tục đẩy mạnh việc học tập và làmtheo Tư tưởng, đạo đức và phong cách Hồ Chí Minh; Phát huy hiệu quả và tiếptục thực hiện cuộc vận động “Mỗi thầy giáo, cô giáo là một tấm gương về đạođức, tự học và sáng tạo”

Cùng với những đổi mới trong giáo dục là đổi mới trong thi cử MônToán đóng một vai trò quan trọng khi chuyển từ hình thức thi tự luận sang hìnhthức thi trắc nghiệm Vì vậy đòi hỏi người dạy và học phải linh hoạt nắm bắtthông tin kiến thức nhanh, nhạy bén, chính xác để giải quyết vấn đề và đưa rađáp án một cách chính xác, nhanh, gọn Trang bị những kiến thức, kĩ năng vàphát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu trong các mục tiêudạy học môn Toán nói chung và chương trình môn Toán lớp 10 nói riêng; Đặcbiệt là phần hàm số bậc hai trong chương 2 của Đại số lớp 10 mà Sách giáokhoa(SGK) chưa đi sâu vào các khía cạnh khai thác đồ thị vào một số dạng toánliên quan như nhận dạng, đọc đồ thị, sự tương giao, giá trị lớn nhất (GTLN) –giá trị nhỏ nhất (GTNN),

Từ năm 2020 kì thi “Trung học phổ thông(THPT) Quốc Gia” được đổithành kì thi “Tốt nghiệp THPT” Chính vì vậy đề thi sẽ được ra với mức độ nhẹnhàng có phân hóa Như đã biết phần hàm số nói chung và hàm số bậc hai nóiriêng là một chuyên đề khá quan trọng trong chương trình toán Trung học phổthông đặc biệt là các em học sinh lớp 10 Đây là kiến thức nền tảng để học vàkhai thác các hàm số ở lớp 12 là dạng toán sẽ chắc chắn xuất hiện trong các kìthi kiểm tra đánh giá định kì và các kì thi khác, chiếm một số điểm lớn nên hếtsức lưu ý để khai thác làm tốt dạng toán này

Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, quá trình nghiêncứu lí thuyết và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân, tôi muốn chia sẻ với

đồng nghiệp kinh nghiệm và đã lựa chọn đề tài " Rèn luyện kĩ năng về cách đọc các yếu tố của một số dạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông" mong muốn giúp các em có kĩ năng,

kiến thức vững vàng, tự tin khi giải bài tập, làm bài thi kiểm tra, làm nền tảngvững chắc để tiêp cận với các hàm số ở lớp 12 sau này, là tài liệu tham khảogiúp đồng nghiệp có thêm kinh nghiệm khi dạy cho học sinh phần này

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Giúp học sinh hiểu rõ bản chất, thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số và

khai thác được một số dạng liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai.

- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng khai thác, giải bài tậptrắc nghiệm về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10 ở trường THPT Triệu Sơn 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài tập trung nghiên cứu vận dụng một số lý thuyết trong chương 2 SGKĐại số lớp 10 với nội dung các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm ngắn gọn, có cácmức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng phù hợp với đa số học sinh lớp 10

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh sốliệu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

b I

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm

0 ;c qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn

4) Vẽ parabol

Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a ( a 0bề lõm quay lên trên, a 0

bề lõm quay xuống dưới)

2.1.3 Chiều biến thiên của hàm số.

Dựa vào đồ thị của hàm số yax2 bxc a 0, ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a 0 và a 0 như sau:

a 0 a 0

- Nhiều học sinh tuy rằng nắm rất vững kiến thức toán học về mặt lí thuyếtnhưng khi gặp những dạng toán này cũng rất lúng túng không biết vận dụng nhưthế nào; Đặc biệt là học sinh lớp 10 mới từ lớp 9 lên đang còn rất bỡ ngỡ khitiếp cận với nội dung hàm số và khai thác đồ thị hàm số đặc biệt là đồ thị hàm sốbậc hai để giải các bài tập trắc nghiệm như đọc yếu tố đồ thị, tương giao, GTLN– GTNN dưạ vào đồ thị hay bảng biến thiên của nó,

- Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán đồ thịchiều hướng đa dạng từ nhận biết đến vận dụng cao, gặp những bài toán đó thìđòi hỏi học sinh ngoài việc thành thạo các công thức toán học mà nên có nềnmóng kiến thức tốt ngay từ lớp 10 này; hiểu biết và luyện nhiều để có kinhnghiệm có thể suy luận giải quyết các bài đã ra một cách đầy đủ và chính xác Trước thực trạng nói trên tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào đểgiúp học sinh lớp 10 mới lên khi đứng trước những bài toán đó và làm thế nào

để các em có một kiến thức vững chắc sau này ở lớp 12

- Nắm kiến thức một cách máy móc, hình thức và hay mắc sai lầm trong cáchxác định đọc các yếu tố đồ thị và dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai.

2.2.3 Về phía giáo viên.

Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tập cũngđược thiết kế dạy và học theo kiểu truyền thống Các bài tập kiểu khai thác đọccác yếu tố đồ thị hàm số yax2 bxc a 0như trong đề thi kiểm tra đánh giáđịnh kì lại không có trong SGK Vì thế, giáo viên dạy Toán ở các trường THPTchúng tôi đang dạy phần này theo cách sau:

- Tham khảo các tài liệu, các đáp án thi kiểm tra giữa kì, cuối kì, khảo sát chấtlượng theo định hướng thi Tốt nghiệp THPT hằng năm của các trường và traođổi kinh nghiệm của đồng nghiệp để hình thành một chuyên đề về dạng toánkhai thác đồ thị hàm số yax2 bxc a 0 làm nên tảng cho các em sau nàykhai thác đồ thị các hàm số ở lớp 12 một cách dễ dàng

- Tranh thủ thời gian trên lớp, trong các giờ chính khóa và giờ học thêm đểhướng dẫn kĩ năng khai thác đồ thị hàm số yax2 bxc a 0 và một số bàitoán liên quan, đồng thời xây dựng hệ thống bài tập để học sinh thực hành

Tuy nhiên, do đây là chuyên đề mới, bài tập dạng này chưa nhiều và rảirác trong các đề thi trên toàn quốc nên không phải giáo viên nào cũng có một hệthống bài tập đầy đủ Cộng với thời lượng dành cho phần này chưa nhiều nêncác giáo viên gặp không ít khó khăn trong quá trình giảng dạy

2.2.4 Kết quả của thực trạng.

Từ thực tế ấy, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ngay ở các lớp tôi dạy là

10A4, 10A5 sau khi dạy xong chương 2 – Đại số lớp 10 "Hàm số bậc nhất và bậc hai " với thời gian làm bài là 15 phút để kiểm tra các em kĩ năng giải các bài

toán đọc khai thác đồ thị hàm số bậc hai (đề ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệmnhưng có yêu cầu các em trình bày lời giải để tránh việc các em lụi đáp án)

Kết quả như sau:

Đa số các em tuy nắm lí thuyết nhưng rất lúng túng trong việc áp dụng vào bàilàm, việc trình bày còn rối, còn nhầm lẫn giữa các yếu tố đồ thị với nhận biếthàm số bậc hai

Bảng thống kê điểm kiểm tra:

2.3 Giải quyết vấn đề.

2.3.1 Dạng 1 Đọc đồ thị, bảng biến thiên của hàm số bậc hai.

2.3.1.1 Dạng 1.1 Xác định hình dáng của đồ thị, bảng biến thiên khi biết hàm số.

Phương pháp:

- Xác định dấu của hệ số a và tọa độ đỉnh của Parabol để lựa chọn chính

xác đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số đó

Chú ý: Có thể xác định dấu của hệ số a, b , c để lựa chọn.

+ Nếu a 0 thì đồ thị có bề lõm quay lên phía trên, nếu a 0 thì đồ thị có bề lõm quay về phía dưới.

+ Nếu a, b trái dấu thì đỉnh của Parabol nằm về bên phải trục tung, nếu a, b cùng dấu thì đỉnh của Parabol nằm về bên trái trục tung.

+ Nếu c 0 thì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ nằm về phía trên trục hoành, nếu c 0 thì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ nằm phía dưới trục hoành

Ví dụ 1 Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y x 2  2x 3

Ví dụ 2 (THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng – Kiểm tra học kỳ I năm học

2018 - 2019) Bảng biến thiên của hàm số y 2x4  4x 1 là bảng nào sau đây?

Hướng dẫn: Chọn C

Hàm số y2x4 4x1 có hệ số a  2 0 nên bề lõm quay lên trên vì vậy

ta loại đáp án B, D Hàm số có tọa độ đỉnh I(1;3) nên ta loại đáp án A

Vậy bảng biến thiên của hàm số y 2x4  4x 1 là bảng C

2.3.1.2 Dạng 1.2 Xác định dấu hệ số của hàm số khi biết đồ thị của nó Phương pháp:

+ Dựa vào đồ thị có bề lõm quay lên trên hay quay xuống dưới để xác định dấu của hệ số a.

+ Dựa vào đỉnh của đồ thị nằm bên phải hay bên trái trục tung để suy ra hệ số

a, cùng dấu hay trái dấu từ đó xác định dấu của hệ số b

* Nếu đỉnh của đồ thị nằm bên phải trục tung thì a, b trái dấu

* Nếu đỉnh của đồ thị nằm bên trái trục tung thì a, b cùng dấu

+ Dựa vào tung độ giao điểm của đồ thị với trục tug để xác định dấu của hệ số

c

* Nếu giao điểm nằm phía dưới gốc O thì hệ số c 0

* Nếu giao điểm nằm phía trên gốc O thì hệ số c 0

Parabol quay bề lõm xuống dưới  a 0

Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ dương  c0

Đỉnh của parabol có hoành độ dương 0 0

Vì c 0nên đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía trên trục hoành.

Mặt khác a 0,b 0 nê hai hệ số này trái dấu, trục đối xứg sẽ phía phải trục tug

O

A a 0, b 0, c 0 B a 0, b 0, c 0

C a 0, b 0, c 0 D a 0, b 0, c 0

Hướng dẫn: Parabol có bề lõm quay lên  a  0 loại D

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c 0 loại B,C Chọn A

Ví dụ 6 Cho hàm số y ax 2 bx c a ,  0có bảng biến thiên trên nửa khoảng

0; như hình vẽ dưới đây:

Xác định dấu của a,b,c,

A a 0,b 0,c 0 B a 0,b 0,c 0

C a 0,b 0,c 0 D a 0,b 0,c 0

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Parabol  P có bề lõm quay xuống dưới; hoành

độ đỉnh dương; cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 nên:

b a

c c

Ví dụ 7 Cho hàm số y ax 2 bx c có đồ thị là parabol trong hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A a  0; b 0; c 0 B a 0; b 0; c 0

C a 0; b 0; c 0 D a 0; b 0; c 0

Hướng dẫn:

Vì Parabol hướng bề lõm lên trên nên a  0

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm 0;c ở dưới Ox c0

Hoành độ đỉnh Parabol là 0

2

b a

+ Dựa vào trục đối xứng để xác định dấu của hệ số b

+ Dựa vào giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu cần)

Ví dụ 1 Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

Hướng dẫn: Đồ thị có hệ số a 0 nên loại C.

Đồ thị đi qua điêm (1;1) nên loại A và loại D Chọn B

Ví dụ 3 Bảng biến thiên sau là của hàm số nào ?

  nên ta loại A và chọn D

Ví dụ 5 Cho parabol y ax 2 bx c có đồ thị như hình sau

Phương trình của parabol này là

b a

Parabol  P y ax:  2 bx c a ,  0 đi qua các điểm A  1; 0, B1; 4   ,

3; 0

C nên có hệ phương trình:

0 4

a b c

* Phần 1: Giữ nguyên đồ thị  P phần bên phải trục tung

* Phần 2: Lấy đối xứng qua trục tung phần phía phải trục tug của đồ thị  P 2) yax2bxc gồm hai phần:

* Phần 1: Giữ nguyên đồ thị  P phần phía trên trục hoành

* Phần 2: Lấy đối xứng qua trục hoành phần dưới trục hoành của đồ thị  P

Ví dụ 1 Cho đồ thị hàm số y= - x2 + 4x- 3 có đồ thị như hình vẽ sau

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y= - x2 + 4x- 3

A Hình 2 B Hình 4 C Hình 1 D Hình 3

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số y= f x( ) gồm hai phần

Phần 1: ứng với y 0 của đồ thị y= f x( )

Phần 2: lấy đối xứng phần y< 0 của đồ thị y= f x( ) qua trục Ox Chọn D

Ví dụ 2 Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

x

y

1 2 3

5

  4  3  2  1

1

 2

 3

Quan sát đồ thị ta loại A và D Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị  P

của hàm số y x2 5x 3 với x  , tọa độ đỉnh của 0  P là 5 13;

2 4

 

 

 , trục đối xứng là x 2,5 Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của  P qua trục tung Oy Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số

b I

4

;

2

Lưu ý: Đối với trường hợp tìm GTLN, GTNN của hàm số yax2 bxc a 0

trên một đoạn a; b thì ngoài việc xét dấu hệ số a thì ta cần tính các giá trị

y x  x x 22 3  3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 2

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là  3 tại x 2 Chọn A

Ví dụ 3 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2  2x 3 đạt được tại

A x 2 B x 1 C x 0 D x 1

Hướng dẫn:

Ta có: y x 2  2x  3 (x 1) 2   2 2,   x

Dấu bằng xảy ra khix 1 nên chọn đáp án B

Ví dụ 4 Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Hàm số y 3x2  x 2 có giá trị lớn nhất bằng 25

12

Lưu ý: max 2;2 f x  max f  2 , f  2  max 17, 25  25

Chọn C Vì xét trên miền  1; 4 thì hàm số có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 và giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số bằng  1 nên tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 8   1  7

Dựa vào BBT ta có M  4,m 9 Vậy M m    4  9  13 Chọn B

2.3.2.2 Dạng 2.2 Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước.

Ví dụ 1 Tìm giá trị thực của tham số m 0 để hàm số y mx 2  2mx 3m 2 cógiá trị nhỏ nhất bằng  10 trên R

Hàm số đạt GTLN trên đoạn  1; 2 bằng 3 khi và chỉ khi m  3 3  m 6

Ví dụ 3 (THI KTHK1 LỚP 11 - THPT VIỆT TRÌ 2019 - 2020) Giá trị của

tham số m để hàm số y x 2  2mx m 2  3m 2 có giá trị nhỏ nhất bằng  10 trên

R thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

  nên có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn 2;5 suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn 2;5 bằng f  2 Theo giả thiết

f   m   m Chọn D

Ví dụ 6 Cho hàm số y 2x2  3m 1x m 2  3m 2, m là tham số Giá trị của m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số là lớn nhất thuộc khoảng nào sau đây?

Ví dụ 7 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏnhất của hàm số yf x   4x2  4mx m 2  2m trên đoạn 2;0 bằng 3 Tínhtổng T các phần tử của S.

Ta có đỉnh I của Parabol  P của hàm số f t  t2 4t có hoành độ:

0 2  2 



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m 1 Vậy x  0  1;1

Ta thấy nếu x  0 1 thì min 1;1    1

x

 

   , M xmax  1;1 f x  f  1 Ngược lại nếu x 0 1 thì mxmin  1;1 f x  f  1 , M xmax  1;1 f x  f 1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Xem phần phụ lục).

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

2.4.1 Về phía học sinh.

Những giải pháp trên đã được tôi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học trongnăm học 2020 - 2021 tại các lớp 10A4, 10A5 Tôi đã thực hiện ôn tập và rènluyện kĩ năng giải các bài toán về khai thác đồ thị, đọc các yếu tố của một sốdạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai yax2 bxc a 0 cho họcsinh và kết quả thu được rất khả quan Năng lực học sinh đã có sự chuyển biếntích cực qua những lần thi kiểm tra định kì, thi KSCL lớp 10 theo định hướng thiTốt nghiệp THPT của nhà trường Điểm thi cụ thể các lớp tôi dạy qua các lầnthi khảo sát như sau:

kĩ năng, học tập và lĩnh hội kiến thức mới, có nền tảng vững chắc về phần đồthị và khai thác đồ thị đối với các em học sinh lớp 10 Trung học phổ thông

2.4.3 Về phía giáo viên.