Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f x ' Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng Chức vụ: Tổ trưởng chu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ

CỦA HÀM SỐ f x ' ( )

Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Đơn vị công tác: Trường THPT Thọ Xuân 5 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC

1.5 Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm Trang 1

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Trang 22.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trang 22.3.Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề Trang 22.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Trang 17

Trong môn giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết nhiều bai toán Giữahàm số f x và đạo hàm của   y= f x'( ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Điển hình là sự

đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạngcác công thức thì nó còn được biểu diễn dưới dạng đồ thị Việc đưa vào đồ thị của f x'( )

để tìm ra tính chất của hàm số f x( ) cho ta những bài toán hay

Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số( )

- Giúp học sinh học tốt hơn bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm

- Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 và đồng nghiệp

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5

- Các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Tìm hiểu những khó khăn khi học sinh khi làm các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm

- Trao đổi với đồng nghiệp

- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan

- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 5

1.5 Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm.

Đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp

12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm số,trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị Để học sinh hiểu về các dạng bàitoán đồ thị của f x'( ) Tôi đã phân dạng và các bài tập minh họa, sau đó là bài toán thực

tế trong các đề thi thử của các trường trong năm học 2017-2018

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tíchlớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm

số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị Nhìn chung khi học vấn đềnày, đại đa số học sinh(kể cả học sinh khá giỏi)thường gặp những khó khăn, sai lầmsau:

- Các bài toán đều liên quan đến cho đồ thị cùa hàm số f x'( ) từ đồ thị học sinh tìm racác tính chất của hàm số f x( ) hoặc các điểm cực trị, so sánh các giá trị hàm số, hay tìm

số nghiệm phương trình

- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúphọc sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng

- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu

- Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành thạo

2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề.

Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và điểm cực trị của hàm số:

( ); ( ); ( ) .

Bài 1.1: Hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K, biết đồ thị của hàm số y= f x'( ) trên

Knhư hình vẽ bên Tìm số cực trị của hàm số y= f x( ) trên K

A 1. B 2.

C 3. D 4.

Giải:

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y= f x'( ) cắt trục

Ox tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị

b) Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:

Hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K và có đồ thị như hình vẽ Biết y=g x( ) là một nguyên hàm của hàm số y= f x( ) Tìm số cực trị của hàm số y=g x( ) trên K

Bài 1.2: Hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K, biết đồ thị của hàm số y= f x'( ) trên

Knhư hình vẽ Tìm số cực trị của hàm số g x( )= f x( + 1) trên K?

x y

1

Giải:

Ta có g x'( )= f x'( + 1) có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y= f x'( )theophương trục hoành sang trái 1 đơn vị Khi đó đồ thị hàm số g x'( )= f x'( + 1) vẫn cắt trụchoành tại 1 điểm Ta chọn đáp án B

Bài 1.3: Cho hàm số f x  có đồ thị f x  của nó trên khoảng K như hình vẽ Khi đótrên K, hàm số yf x  2018 có bao nhiêu điểm cực trị?

số f x'( ) theo phương Oy lên trên 4 đơn vị

Khi đó đồ thị hàm số g x'( ) cắt trục hoành tại 1 điểm, ta

Bài 1.5: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ Hàm số y= f x'( ) có đồ thị như hình vẽ.

và dựa vào đồ thị của hàm số y= f x'( ), ta suy ra đồ thị của hàm

số g x'( ) cắt trục hoành tại 4 điểm Ta chọn phương án D

B Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng ( )1;3

C Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (2;4)

D Hàm số g x( )có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

1

x 3

x 2

x 1

f '(x) g'(x)

Ta thấy trên khoảng (2;4) đồ thị hàm số g x'( )= f x'( + 1) nằm bên dưới trục hoành nên hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng (2;4), ta chọn đáp án C

Bài 1.7: Cho hàm số y= f x( ) Biết f x( ) có đạo hàm

tiến đồ thị hàm số y= f x'( )theo phương trục hoành

sang phải 1 đơn vị

Bài 2.1: Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của

hàm số yf x  được cho như hình vẽ bên Biết rằng

Bài 2.2: Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của

hàm số yf x  được cho như hình vẽ bên Biết rằng

Bài 2.6: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  liên tục

trên  và đồ thị của hàm số f x  như hình vẽ Khẳng định

nào sau đây đúng?

A f a( )> f b( ) và f c( )> f a( ).

B f a( )> f b( ) và f c( )< f a( ).

C f a( )< f b( ) và f c( )> f a( ).

D f a( )< f b( ) và f c( )< f a( ).

Bài 2.7: Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên ¡

, có đồ thị của hàm số y= f x'( ) như hình vẽ sau Đặt

Bài 3.2: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên  thoả f ( )2 = f(- 2)= 0 và đồ thị củahàm số y= f x'( )có dạng như hình bên Hàm số ( ( ) )2

y= f x nghịch biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau ?

A

3 1; 2

Bài 3.3: (câu 48-đề 102-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm

số yf x  Đồ thị của hàm số yf x  như hình bên Đặt

Bài 3.4: (câu 47-đề 104-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm số yf x( ) Đồ thị của hàm

Bài 4.1: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ ,

sao cho đồ thị hàm số y= f x'( ) là parabol có dạng như

trong hình bên Hỏi đồ thị của hàm số y= f x( ) cò đồ thị

nào trong bốn đáp án sau?

Hướng dẫn: đáp án B

Bài 4.2: Cho đồ thị của ba hàm số yf x , yf x ,

 

yf x được vẽ mô tả ở hình dưới đây Hỏi đồ thị các hàm

số yf x , yf x  và yf x  theo thứ tự, lần lượt tương

ứng với đường cong nào ?

Trong khoảng (- ¥ ;0) thì ( )C2 nằm dưới trục hoành và ( )C3 “đi xuống”

Đồ thị ( )C1 nằm hoàn toàn trên trục hoành và ( )C2 “đi lên” Ta chọn đáp án A

Hoặc:

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( )C2 cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thịhàm số ( )C3

Đồ thị ( )C2 đồng biến trên ¡ mà đồ thị ( )C1 lại

nằm hoàn toàn trên trục hoành.Ta chọn đáp án A

Bài 4.3: Cho đồ thị của ba hàm số yf x , yf x 

, yf x  được vẽ mô tả ở hình dưới đây Hỏi đồ thị

Bài 4.4: Cho đồ thị của ba hàm số yf x , yf x ,

Bài 4.5: Cho đồ thị của ba hàm số yf x , yf x 

, yf x được vẽ mô tả ở hình dưới đây Hỏi đồ thị

các hàm số yf x , yf x  và yf x  theo thứ

tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?

A   C1 ; C2 ; C3 B C2   ; C1 ; C3

C C3 ; C2  ; C1 D C3   ; C1 ; C2.

Giải:

Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng : C3   ; C1 ; C2 hoặc C2   ; C1 ; C3 Quansát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị ( )C1 nằm trên trục hoành thì đồ thị( )C3 “đi lên” và ngược lại; còn ứng với các khoảng mà đồ thị ( )C2 nằm trên trụchoành thì đồ thị ( )C1 “đi lên” và ngược lại Ta chọn đáp án D

Bài 4.6: Cho đồ thị của ba hàm số yf x , yf x , yf x được vẽ mô tả ở hìnhdưới đây Hỏi đồ thị các hàm số yf x , yf x 

và yf x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với

đường cong nào ?

A C3 ; C2  ; C1 B C2   ; C1 ; C3

C C2 ; C3  ; C1 D   C1 ; C3 ; C2

Giải:

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( )C1 cắt trục Ox tại 2 điểm

là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số ( )C2 ; đồ thị

( )C3 cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của

rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=- tại điểm có hoành9

độ dương và đồ thị hàm số y= f x'( ) cho bởi hình vẽ bên Tìm phần

nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và

Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y=- tại điểm có hoành độ dương nên ta có:9

3 2

3 3 5 2

Ta chọn đáp số C

Bài 5.2: Cho hàm số y= f x( )=ax3 +bx2 + +cx d a b c d( , , , Î ¡ ;a¹ 0) có đồ thị (C)

Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= tại điểm có4

hoành độ âm và đồ thị hàm số y= f x'( ) cho bởi hình vẽ bên Tìm

diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?

Giải:

Ta có f x'( )= 3ax2 + 2bx c+ Dựa vào đồ thị hàm số y= f x'( )ta thấy đồ thị hàm số

( )

'

y= f x là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b=0.

Đồ thị hàm số y= f x'( ) đi qua 2 điểm ( ) (1;0 , 0, 3 - ) ta tìm được: a=1;c=- 3

=-Như vậy (C) đi qua điểm (- 1;4) ta tìm được C= Þ 2 f x( ) = -x3 3x+ 2.

Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:

có đồ thị (C) Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị

hàm số y= f x'( ) cho bởi hình vẽ bên Tính f ( )3 - f ( )1 ?

Giải:

x y

Ta có f x'( )= 3ax2 + 2bx c+ Dựa vào đồ thị hàm số y= f x'( )ta thấy đồ thị hàm số

( )

'

y= f x là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b=0.

Đồ thị hàm số y= f x'( ) đi qua 2 điểm ( ) (1;5 , 0;2) ta tìm được: a=1;c= 2

Suy ra: f x'( )= 3x2 + Þ 2 f x( )=x3 + 2x C+ , đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 Tìm phương

trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục

Giải hệ gồm 4 pt này ta được a= =-c d b; =3d

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu “Các bài

toán liên quan đến đồ thị của hàm số f x'( ) ” đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khảquan Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán đồ thị củahàm số f x'( ) Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng dụngcông nghệ thông tin và dạy học Từ đó các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đềnày Trong quá trình giảng dạy, tôi tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 trong

đó sử dụng các dạng bài tập này để hướng dẫn đối với lớp 12A1 Kết quả kiểm tra thửnhư sau:

Lớp Tổng số Điểm 8 trở lên Điểm 5 trở lên và < 8 Điểm dưới 5

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] SGK GIẢI TÍCH 12 cơ bản và Sách giáo viên cơ bản.

[2] SGK GIẢI TÍCH 12 nâng cao và Sách giáo viên nâng cao.

[3] Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet

- Nguồn: http://violet.vn

- Nguồn: http://math.vn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN này của Tôi không sao chép của người khác, của chính mình những năm trước

Người viết

Lê Ngọc Hùng