Tiểu luận Hàm phần nguyên, Hàm phần lẻ

Hàm phần nguyên và hàm phần lẻ vừa đơn giản lại vừa phức tạp, nhiều bài toán hay về hàm phần nguyên và hàm phần lẻ đã được sử dụng làm đề thi học sinh giỏi các cấp, trong đó có rất nhiều các đề thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế. Hàm phần nguyên và hàm phần lẻ có những ứng dụng quan trọng không chỉ trong toán học phổ thông mà còn trong nhiều vấn đề của toán ứng dụng và công nghệ thông tin. Phần nguyên cũng thể hiện sự kết nối giữa tính liên tục và tính rời rạc, giữa toán giải tích và toán rời rạc nên khá thú vị. Tuy nhiên, dường như chưa có một cuốn sách nào đề cập nhiều về hàm phần nguyên và hàm phần lẻ.

A Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài.

Hàm phần nguyên và hàm phần lẻ vừa đơn giản lại vừa phức tạp, nhiều bàitoán hay về hàm phần nguyên và hàm phần lẻ đã được sử dụng làm đề thi học sinhgiỏi các cấp, trong đó có rất nhiều các đề thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc

tế Hàm phần nguyên và hàm phần lẻ có những ứng dụng quan trọng không chỉ trongtoán học phổ thông mà còn trong nhiều vấn đề của toán ứng dụng và công nghệ thôngtin Phần nguyên cũng thể hiện sự kết nối giữa tính liên tục và tính rời rạc, giữa toángiải tích và toán rời rạc nên khá thú vị Tuy nhiên, dường như chưa có một cuốn sáchnào đề cập nhiều về hàm phần nguyên và hàm phần lẻ

Thấy được tầm quan trọng và nhiều ứng dụng thực tiễn của hàm phần nguyên vàhàm phần lẻ, với mục đích nghiên cứu sâu hơn về hàm phần nguyên và hàm phần lẻ để

mở rộng kiến thức cho bản thân Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn Số học tôi

xin chọn đề tài “Hàm phần nguyên- hàm phần lẻ ” làm đề bài tiểu luận cho mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu sâuhơn về hàm phần nguyên- hàm phần lẻ và từ đó giải một số bài tập vận dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, các định nghĩa, Định lí, mệnh đề, tínhchất của hàm phần nguyên- hàm phần lẻ

4 Đối tượng nghiên cứu

- Các kiến thức liên quan

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp lại các kiến thức đã học

- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet

- Hỏi ý kiến chuyên gia

7 Đóng góp của đề tài

B Nội dung Chương I Hàm phần nguyên- hàm phần lẻ

1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Ước chung lớn nhất

1.1.1 Ước chung

Cho các số nguyên a a1, , ,2 a n, số nguyên d được gọi là ước chung của các a i

nếu d a i (i1,n) Kí hiệu tập tất cả các ước chung của a a1, , ,2 a n là ƯC(a a1, , ,2 a n

1, , ,2 n

a a a )

1.2.2 Chú ý

Nếu d là ước chung lớn nhất của a a1, , ,2 a n thì –d cũng vậy

Nếu d và d’ cùng là ước chung lớn nhất của a a1, , ,2 a n thì d d'(ta quy ước

1.3.3 Nhận xét

Nếu a a1, , ,2 a n là nguyên tố sánh đôi thì a a1, , ,2 a n là nguyên tố cùng nhau nhưng điều ngược lại thì không đúng

Ví dụ: 6,9,11 1 nhưng 6,93, 6,11 1, 9,11 1

1.4 Các tính chất của ước chung lớn nhất

(i) Với mọi k 

Z , ta có a k a k1 , 2 , ,an k k a a 1, , ,2 a n(ii) Với mọi c 

m n

2.2 Liên hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

2.2.1 Định lý

Nếu a và b là hai số nguyên khác không thì

 , 

ab m

2.3 Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất

(i) Nếu m 0 là một bội chung của các số nguyên khác không a a1, , ,2 a n thì

(iv) nếu a a1, , ,2 a n là nguyên tố sánh đôi thì

a a1, , ,2 a n a a a1 2 n(v) Nếu số nguyên b là bội chung của nhiều số a a1, , ,2 a n nguyên tố sánh đôithì b là bội chung của tích a a a1 2 n

n được gọi là một số chính phương, nếu tồn tại một số nguyên d để n d 2

3.1.2 Tập hợp các số nguyên tố

3.1.2.1 Định lí 1

Ước nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố

Chứng minh:

Giả sử 1 a  , gọi p(p 1) là ước nhỏ nhất khác 1 của số tự nhiên a

Nếu p không phải là số nguyên tố, vì p 1 nên p là hợp số tức là có một số tựnhiên p p1 và 1 p 1 p, từ đó ta cũng có p a1 (trái với giả thiết vì p là ước nhỏ nhấtkhác 1 của a) Vậy p nguyên tố

Chứng minh:

Giả sử a a1, , ,2 a n không chia hết cho p, theo (i) thì chúng đều nguyên tố với

p suy ra a a a p 1 2 ,n  1 (mâu thuẫn với giả thiết) vậy nếu một số nguyên tố p chiahết tích của nhiều số thì p chia hết một trong các thừa số của tích

Hệ quả: Nếu một số nguyên tố p là ước của tích các số nguyên tố a a1, , ,2 a n

thì p phải trùng với một trong các số nguyên tố tích

(iii) Ước dương bé nhất khác 1 của hợp số a 1 là một số nguyên tố khôngvượt quá a

Chứng minh:

Gọi p là ước nhỏ nhất (p 1) của hợp số a, theo định lí 1, ta có p nguyên tố.Giả sử apq, do a là hợp số nên ap suy ra q 1 Vậy q cũng là một ước (q 1)của a

Theo giả thiết về số nguyên tố, ta có

Nếu một số tự nhiên n chia hết cho số nguyên tố p, nhưng không chia hết cho

  ) và a b ,  1 Ta có a2 nb2 Vì n chia hết cho số nguyên tố p nên a2

chia hết cho p và như vậy a phải chia hết cho p Khi đó nb2 chia hết cho p2 Vì n

không chia hết cho p2 nên b chia hết cho p Điều này mâu thuẫn với việc chọn

a b ,  1 Như vậy n là một số vô tỉ

4.3 Hệ quả

Cho một số tự nhiên d không chính phương Khi đó, nếu x y, là hai số nguyên thỏa mãn x d y thì x y 0

Chứng minh

Nếu x 0 thì y 0 và kết luận được chứng minh Xét trường hợp x 0 Vì d

không là số chính phương, nên trong dạng phân tích tiêu chuẩn của nó có thừa số

2k 1

p  , trong đó p là một số nguyên tố Do đó trong phân tích tiêu chuẩn của dx2 phải

có lũy thừa lẻ Nhưng bởi y2 dx2, nên trong phân tích tiêu chuẩn của dx2 lại không

có lũy thừa lẻ (mâu thuẫn) Vậy x y 0

2 Hàm phần nguyên- Hàm phần lẻ

2.1 Hàm phần nguyên

2.1.1 Định nghĩa

Phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, kí hiệu

 x Như vậy  x là số nguyên duy nhất thỏa mãn  x  x  x 1

Với mọi x y, là hai số thực ta có các tính chất sau:

 



 

  Do đó tổng để tính các i thựcchất chỉ là các tổng hữu hạn Mặt khác số các số nguyên dương là bội của p và không

 

 

2 2

n p

Cho p lần lượt bằng p p1, 2, ,p s ta sẽ nhận được chứng minh định lí.

Ví dụ: Số mũ của 7 trong phân tích 100! là

Vì 0  1 nên ta xét hai trường hợp

(iii) Với mọi a b, là các số nguyên, x là số nguyên dương không chính phương,

n là số tự nhiên, ta có thể biểu diễn a b x n dưới dạng

Theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh

Chứng minh tương tự đối với đẳng thức a b x n A n B n x

n n

n n n

n S

n



Giải:

Ta thấy rằng mỗi số hạng trong tổng S đều lớn hơn 1 nên S n  1 (1)

Theo bất đẳng thức Becnuli ta có 1kx1xk k1kx  1 x với mọi x 0

Áp dụng bất đẳng thức (*) với k2,3, ,n rồi cộng vế theo vế ta được

1 2

6

n n n

n n n

Bài tập 1: Tìm phần nguyên của A n n( 1)(n2)(n3)

Bài tập 2: Tìm phần nguyên của B 4n2 16n28n3

Bài tập 3: Tìm phần nguyên của 3 6 36 36

Chương II Ứng dụng của hàm phần nguyên- hàm phần lẻ

trong dãy (1) là các số trong dãy(2), mà (2) có n

(ii) Nếu p và q là những số nguyên dương sao cho q p không phải là số

Từ (1) và (2) suy ra 2A 1 2 3n 2A 2 3n 2A1

Vậy phần nguyên của 2 3n là một số lẻ

Bài toán 6: Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa điều kiện: 1994!1995 1995k

2n  m  1 n 2 m n 2m 1 (1)Theo định nghĩa thì

Như vậy 2003! 5 P 449 , trong đó  p,51

Lại có 2003! chia hết cho 5n nên 5499 5n

 suy ra n 499

Vậy n 499

3 Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Tìm lũy thừa cao nhất k của 7 mà 1000! Có thể chia hết cho 7k

Bài tập 2: Chứng minh rằng 1300! chia hết cho 16953

Bài tập 3: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 250 có bao nhiêu số không chia hết cho

C Kết luận

Qua nghiên cứu, bài tiểu luận này đã đạt được một số kết quả sau:

1 Hệ thống lại các khái niệm, tính chất và những kiến thức liên quan đến hàmphần nguyên- hàm phần lẻ

2 Tìm hiểu sâu hơn về hàm phần nguyên- hàm phần lẻ, đưa ra một số phươngpháp giải toán phần nguyên, phân loại các dạng toán phân nguyên để học sinh dễ nhậndạng

3 Chỉ ra ứng dụng của hàm phần nguyên- hàm phần lẻ vào việc giải quyết cácbài toán số học, đưa ra một số bài tập áp dụng tính chất hàm phần nguyên- hàm phần

lẻ và đưa ra bài tập tự luyện để học sinh tự rèn luyện kĩ năng giải toán phần phần lẻ

nguyên-D Tài liệu tham khảo

[1] Dương Quốc Việt- Đàm văn Nhỉ, Cơ sở lí thuyết số và đa thức, NXB ĐạiHọc Sư Phạm, 2008

[2] Nguyễn Vũ Thanh, Số hoc- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trunghọc cơ sở, NXB Giáo Dục, 2003

[3] Phan Huy Khải, Bất đẳng thức số học- Các chuyên đề số học bồi dưỡng họcsinh giỏi toán trung học

[4] Website: http://diendantoanhoc.net

MỤC LỤC

A Mở đầu 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 1

5 Phạm vi nghiên cứu 1

6 Phương pháp nghiên cứu 1

7 Đóng góp của đề tài 1

B Nội dung 2

Chương I Hàm phần nguyên- hàm phần lẻ 2

1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Ước chung lớn nhất 2

1.1.1 Ước chung 2

1.2 Ước chung lớn nhất 2

1.2.1 Định nghĩa 2

1.2.2 Chú ý 2

1.3 Số nguyên tố cùng nhau 2

1.3.1 Định nghĩa 2

1.3.2 Số nguyên tố sánh đôi 2

1.3.3 Nhận xét 3

1.4 Các tính chất của ước chung lớn nhất 3

2 Bội chung nhỏ nhất 3

2.1 Định nghĩa 3

2.2 Liên hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 4

2.2.1 Định lý 4

2.3 Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất 4

3 Số nguyên tố 5

3.1 Số nguyên tố và hợp số 5

3.1.1 Định nghĩa 5

3.1.2 Tập hợp các số nguyên tố 5

3.1.2.1 Định lí 1 5

3.1.2.2 Định lí 2 5

3.1.3 Tính chất của các số nguyên tố 6

4 Đinh lí cơ bản của số học 6

4.1 Định lí (Định lí cơ bản của số học) 6

4.2 Hệ quả 7

4.3 Hệ quả 7

2 Hàm phần nguyên- Hàm phần lẻ 7

2.1 Hàm phần nguyên 7

2.1.1 Định nghĩa 7

2.2 Hàm phần lẻ 7

2.2.1 Định nghĩa 7

2.3 Các tính chất 8

2.4 Phân tích tiêu chuẩn của n! 9

2.4.1 Định lí 9

2.5 Một số phương pháp giải toán phần nguyên 10

2.5.1 Phương pháp 10

2.5.2 Các tính chất 10

2.5.3 Các dạng toán 11

2.5.3.1 Tìm phần nguyên 11

2.5.3.2 Tìm phần nguyên của một tổng 12

2.5.3.3 Tìm tổng của các phần nguyên 15

2.5.3.4 Bài tập tự luyện 16

Chương II Ứng dụng của hàm phần nguyên- hàm phần lẻ 17

1 Một số tính chất 17

2 Các dạng toán 18

3 Bài tập tự luyện 22

C Kết luận 23

D Tài liệu tham khảo 24