Khóa luận tốt nghiệp TÍCH PHÂN LEBESGUE

Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ Sau đó nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những hạn chế của tích phân Riemann. Cụ thể, khi phân tích cách xây dựng tích phân Riemann của một hàm số trên đoạn ta thấy rằng trong quá trình chia nhỏ đến khi các đoạn chia này nhỏ dần thì hiệu của tổng Darboux trên và dưới của phải tiến tới 0. Tức là muốn tích phân tồn tại thì hàm số phải khá liên tục, hay nói chính xác hơn là phải liên tục hầu khắp nơi. Đó là lý do vì sao tích phân Riemann đó là lý do vì sao tích phân Riemann không thể áp dụng được cho những hàm số quá ư là gián đoạn. Để vượt qua sự hạn chế ấy, Lebesgue đã đề ra ý kiến độc đáo là khi chia nhỏ đoạn không nên nhóm các điểm gần nhau trên mà nhóm các điểm sao cho giá trị của hàm số gần nhau. Nghĩa là không nên chia thành từng đoạn nhỏ mà nên chia nó ra thành từng tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của hàm số. Theo quan điểm đó, Lebesgue đã xây dựng được một khái niệm tích phân tổng quát, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn nên nó được gọi là tích phân Lebesgue.

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN

 BÙI VIẾT TÂN

VỀ TÍCH PHÂN LEBESGUE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 05 năm 2017

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

Sinh viên thực hiện

BÙI VIẾT TÂN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

hướng dẫn của ThS Nguyễn Thị Bích Lài

Tác giả

Bùi Viết Tân

LỜI CẢM ƠN

Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy, cô giáo thuộc Khoa toán, quýthầy cô Ban giám hiệu của trường Đại học Quảng Nam, đã tạo điều kiện giúp đỡ emtrong quá trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

Ths Nguyễn Thị Bích Lài, người đã luôn giúp đỡ, động viên, tận tình hướng dẫn em

trong quá trình thực hiện khóa luận này

Em xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện,động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện khóa luận này

Tác giả

Bùi Viết Tân

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc đề tài 2

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

Chương 1: Kiến thức cơ sở 3

1.1 Đại số,  - đại số 3

1.1.1 Đại số 3

1.1.2 - đại số 3

1.2 Độ đo trên một số tập hợp 3

1.2.1 Hàm tập 3

1.2.2 Độ đo 3

1.2.3 Một số tính chất của độ đo 4

1.3 Độ đo ngoài 4

1.3.1 Định lý Carathéodory 4

1.3.2 Định lý thác triển 5

1.4 Độ đo Lebesgue trên �n 5

1.4.1 Độ đo trên đường thẳng 5

1.4.2 Độ đo trên không gian Euclide n chiều 6

1.5 Hàm đo được 7

1.5.1 Định nghĩa 7

1.5.2 Một số tính chất 7

1.5.3 Các phép toán trên hàm số đo được 8

1.6 Hàm tương đương và hầu khắp nơi 8

1.6.1 Định nghĩa 8

1.6.2 Nhận xét 8

1.7 Hội tụ theo độ đo 8

1.7.1.Định nghĩa 8

1.7.2 Một số tính chất 8

1.8.1 Hàm đặc trưng 9

1.8.2 Hàm đơn giản 9

1.8.3 Định lý 9

1.8.4 Nhận xét 9

Chương 2: Tích phân Lebesgue 11

2.1 Tích phân của hàm đơn giản không âm 11

2.1.1 Định nghĩa 11

2.1.2 Một số tính chất 11

2.2 Tích phân các hàm đo được không âm 16

2.2.1 Định nghĩa 16

2.2.2 Một số tính chất 16

2.2.3 Mệnh đề 1 18

2.2.4 Mệnh đề 2 18

2.2.4 Mệnh đề 3 19

2.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ 19

2.3.1 Định nghĩa 19

2.3.2 Nhận xét 19

2.4 Tính cộng tính của tích phân 20

2.4.1 Mệnh đề 20

2.4.2 Hệ quả 21

2.5 Tính bảo toàn thứ tự của tích phân 21

2.5.1 Mệnh đề 21

2.5.2 Hệ quả 22

2.6 Tính tuyến tính của tích phân 23

2.6.1 Mệnh đề 23

2.7 Tính khả tích của tích phân 25

2.7.1 Mệnh đề 25

2.7.2 Định lý 1 26

2.7.3 Định lý 2 27

2.7.4 Định lý 3 27

2.7.5 Định lý 4 28

2.8 Qua giới hạn dưới dấu tích phân 29

2.8.1 Định lý Levi 29

2.8.2 Định lý về sự hội tụ đơn điệu 29

2.8.2.1 Định lý 29

2.8.2.2 Hệ quả 30

2.8.4 Bổ đề Fatou 30

2.8.4.1 Bổ đề 30

2.8.4.2 Nhận xét 31

2.8.4.3 Mệnh đề 32

2.9 Định lý về sự hội tụ, bị chặn 32

2.9.2 Hệ quả 33

2.9.3 Định lý 2 33

2.9.4 Định lý 3 (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân) 34

2.9.5 Định lý 4 35

2.10 So sánh tích phân Lebesgue và tích phân Riemann 35

2.10.1 Định lý 1 35

2.10.2 Định lý 2 37

2.10.3 Định lý 3 37

2.10.4 Nhận xét 38

2.10.4 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập 38

2.10.4.1 Định nghĩa 38

2.10.4.2 Định lý 38

2.10.4.2 Nhận xét 39

2.11 Mối liên hệ giữa tích phân Lebesgue và không gian metric 40

2.11.1 Mệnh đề 1 40

2.11.2 Mệnh đề 2 43

2.12 Tính đồng liên tục (Định lý Vitali) 45

Chương 3 Ứng dụng của tích phân Lebesgue để giải các bài toán tích phân 47

Dạng 1: Tính khả tích 47

Dạng 2: Tính hội tụ, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ theo độ đo 53

Dạng 3: Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue 57

C KẾT LUẬN 66

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào

thuyết này đã khắc phục được những hạn chế của tích phân Riemann Cụ thể, khi phân

trong quá trình chia nhỏ đến khi các đoạn chia này nhỏ dần thì hiệu của tổng Darbouxtrên và dưới của f phải tiến tới 0 Tức là muốn tích phân tồn tại thì hàm số phải kháliên tục, hay nói chính xác hơn là phải liên tục hầu khắp nơi Đó là lý do vì sao tíchphân Riemann đó là lý do vì sao tích phân Riemann không thể áp dụng được chonhững hàm số quá ư là gián đoạn Để vượt qua sự hạn chế ấy, Lebesgue đã đề ra ý kiến

các điểm sao cho giá trị của hàm số gần nhau Nghĩa là không nên chia  thành từngđoạn nhỏ mà nên chia nó ra thành từng tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứngvới giá trị gần nhau của hàm số Theo quan điểm đó, Lebesgue đã xây dựng được mộtkhái niệm tích phân tổng quát, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn nên

nó được gọi là tích phân Lebesgue

Với mong muốn được tìm hiểu và nắm vững kiến thức liên quan đến tích phânLebesgue, mong muốn cung cấp thêm một nguồn tài liệu tham khảo cho các bạn sinhviên khi học tập và nghiên cứu các đề tài liên quan đến tích phân Lebesgue, cùng với

sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bích Lài nên tôi chọn đề tài: “Về tích phân

Lebesgue” làm đề tài khóa luận cho mình.

2 Mục tiêu của đề tài

Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue và ứng dụng tích phân này để giảimột số dạng bài tập liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tích phân lebesgue và các vấn đề liên quan đến tích phân Lebesgue

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp các kiến thức đã học

- Phân tích nội dung các kiến thức cần nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu từ sách, mạng internet

- Tham khảo ý kiến chuyên gia.

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: Kiến thức cơ sở 1.1 Đại số,  - đại số

�μ( ) 0A � với mọi A M�

�μ( ) 0� 

�μ là  - cộng tính.

Độ đo μ được gọi là hữu hạn nếu μ( )X  �

Độ đo μ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài μ * Tập A thõa mãn điều

kiện (*) gọi là tập μ * đo được

Một độ đo μ trên một σ  đại số M là đủ nếu mọi tập con của một tập bất kỳ thuộc

M có độ đo 0, đều thuộc M và có độ đo 0, nghĩa là nếu:

N �E E � �N M N 

Độ đo μ cảm sinh bởi độ đo ngoài μ * bao giờ cũng là độ đo đủ (trên σ  đại số M

các tập μ * đo được) và họ các tập có độ đo μ bằng 0 trùng với họ các tập có độ đongoài μ * bằng 0

1.4 Độ đo Lebesgue trên �n

1.4.1 Độ đo trên đường thẳng

Ta gọi gian trên đường thẳng � là một tập con của � có một trong các dạng sau:

(a, b), [a, b], [a, b), (a, b], [a, + ), (a, + ), (- , b], (- , b), (- , + ).� � � � � � Ký hiệu độ dài của

gian  là | | 

Gọi C là lớp tất cả các tập con của � với

i = 1

Pa P � Khi đó m là một độ đo trên đại số C

Độ đo μ xây dựng theo cách trên gọi là độ đo Lebesgue trên đường thẳng Các tập

đo được theo nghĩa đó, tức là thuộc σ  đại số L được gọi các tập đo được theo nghĩa

Lebesgue hay đo được ( L )

Tập Borel là những thu được bằng cách xuất phát từ các tập mở và thực hiện một

số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợp trên các tập đó

Mọi tập Borel trong � đều đo được ( L )

Độ đo Lebesgue là độ đo đủ và bất kỳ tập hợp đo được ( L ) nào chẳng qua cũng làmột tập hợp Borel, thêm hay bớt một tập hợp có độ đo bằng không

n n

Mọi tập hợp hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều có độ đo không

Đối với một tập A trên đường thẳng ba điều kiện sau là tương đương:

a) A đo được ( L ).

b) Với mỗi ε 0 có thể tìm được một tập hợp mở G �A sao cho μ *( \ ) ε.G A  c) Với mỗi ε 0 có thể tìm được một tập hợp đóng F � sao cho μ*( \ ) ε.A A F 

1.4.2 Độ đo trên không gian Euclide n chiều

Những kết quả trên không gian � có thể suy rộng cho không gian �n.

Trong không gian � n ta gọi gian là một tập hợp gồm những điểm

Gọi C là lớp các tập hợp trong n � n có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu

k i

i = 1

m( )P �| |

thì hàm tập hợp m là độ đo trên đại số Cn

Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo μn trên một σ  đại số Ln �F C( n ) �Cn

Độ đo μn này gọi là độ đo Lebesgue trong �n, và các tập hợp thuộc lớp Ln gọi làtập hợp đo được (L) trong �n, ( )F Cn chính là σ  đại số Borel trong � n

1.5 Hàm đo được

1.5.1 Định nghĩa

Cho F là một σ  đại số các tập con của X và A F� . Một hàm f : A � ( ;   � � )

xác định liên tục trên tập A được gọi là hàm đo được trên A đối với σ  đại số F nếu

a

{ x�A| f(x) a } , � (1) F Điều kiện (1) tương đương với ba điều kiện sau:

{ x�A| f(x) a } ,F

{ x�A| f(x) a } , �F

{ xγ�A| f(x) a } .F

Khi trên σ  đại số F có một độ đo μ ta nói f đo được đối với độ đo μ hay μ  đo

được Trong trường hợp X �n, F L n thì ta nói f là đo được theo nghĩa Lebesguehay đo được (L)

1.5.2 Một số tính chất

a) Nếu f đo được trên A thì f(x) c const  đo được,

b) Nếu f đo được trên A B, � thì f cũng đo được trên ,A B

c) Nếu f đo được trên A thì a ��: { x�A| f(x) a } , �F

d) Nếu f đo được trên A thì kf đo được trên A,

e) Nếu f đo được trên dãy ( )An I thì đo được trên n

i = 1�UA ,

f) Nếu μA0

và μ là độ đo đủ thì f xác định trên A sẽ đo được.

1.5.3 Các phép toán trên hàm số đo được

a) Nếu f đo được trên A thì | f | (α 0)α  đo được trên ,A

b) Nếu f, g đo được và hữu hạn trên A thì f g, f.g, max{f, g}, min{f, g}� cũng

đo được và nếu g(x)�0 thì

f

g cũng đo được trên ,A

c) Nếu f đo được thì

inf f , limf , lim f

này cũng đo được trên A.

1.6 Hàm tương đương và hầu khắp nơi

1.6.1 Định nghĩa

nơi (h.k.n) trên ,A nếu tồn tại B A� sao cho μ( ) 0B  và (x)P được thỏa mãn với

mọi x�A B\

Hai hàm số f, g bằng nhau hầu hắp nơi thì gọi là tương đương nhau và viết là: f g.

1.6.2 Nhận xét

a) Nếu f liên tục h.k.n trên A và μ là độ đo đủ thì f đo được trên A

b) Nếu f đo được μ là độ đo đủ và f g thì g đo được

1.7 Hội tụ theo độ đo

1.7.1.Định nghĩa

Cho dãy (f )n n��, f đo được trên A Dãy (f )n n�� được gọi là hội tụ theo độ đo μ

về f trên A nếu:

n n

f �f trên A và f g thì fn�μ g trên A

b) Nếu

μ n

f �f và fn�μ g trên A thì f g

c) Nếu dãy (f ) n n�� đo được

μ n

f �f thì tồn tại dãy con (f )nk k�� hội tụ h.k.n về hàm f

d) Dãy (f ) n n�� đo được trên A, f n hội tụ h.k.n về hàm f đo được Hơn nữa, nếuμ( )A  � thì fn�μ f

1.8 Cấu trúc hàm đo được

A A

�

�

1.8.2 Hàm đơn giản

Cho ( , , μ)X A là một không gian độ đo Hàm f xác định trên tập hợp A �A. được

gọi là hàm đơn giản nếu f chỉ nhận hữu hạn giá trị hữu hạn

Giả sử f là hàm đơn giản trên A. Ta có f ( ) { , , , }A  C C1 2 Cn ��

Đặt Ai { x�A| f(x)Ci}; i 1, 2, , n. Khi đó, ta có Ai� ƹAj (i j)

vàn

i = 1

f(x)�cχ (x); xA  �A

n i

i = 1

f �cχ (*)A

Mọi hàm f có dạng như (*) với các Ai rời nhau đôi một và

n i

i = 1

A UA

là các hàmđơn giản trên A.

1.8.3 Định lý

Nếu f là hàm đo được, không âm trên A thì tồn tại một (f )n hàm đơn giản A trên

sao cho:

n n

��



1.8.4 Nhận xét

a) Nếu f là hàm đo được bất kỳ trên A thì f  f   f  Trong đó: f  max(f, 0),

b) Nếu f, g là các hàm đơn giản trên A thì f + a, a.f, f.g, g.f đều là những hàm đơn

giản trên A.

Chương 2: Tích phân Lebesgue 2.1 Tích phân của hàm đơn giản không âm

2.1.1 Định nghĩa

Trong không gian X, với một   đại số F và một độ đo μ trên F, cho một tập

hợp A đo được ( tức A F� ), nếu f là một hàm đơn giản, không âm trên A lúc đó f

sẽ có dạng:

n i

i =1

f = �cχ A i

với Ai đo được, Ai�ƹAj= (i j) và n i i

n n

hay x�Un=1�Ai,n+1

Suy ra Ai �Un=1�Ai,n+1 (2)

A �� �  A

(đpcm)

trên A nên theo

tính chất (e), ta suy ra:

Cho f là hàm đo được không âm xác định trên A. Khi đó có một dãy hàm số đơn

giản fn �0,đơn điệu tăng và hội tụ đến f Ta định nghĩa tích phân của hàm f trên tập

hợp A đối với độ đo μ là:

n n

fdμ lim f dμ.

A  ��A

� �

a) Do f là hàm đo được không âm xác định trên A nên theo định nghĩa ta có tích

Từ kết quả đã chứng minh ở hàm đơn giản, không âm:

B� với A A B, là hai tập đo được suy ra Bf dμn Af dμn

d) Xét các dãy hàm đơn giản, không âm f , gn n từ kết quả của hàm đơn giản, không

Đặt n

1{ x : f(x) }, n

Cho một không gian ( ,X A,μ) đo được Cho f và dãy (f )n n��là các hàm đo được

không âm trên A �A.. Giả sử

p n

có nghĩa thì ta định nghĩa tích phân của của hàm f đo được

bất kỳ trên A đối với độ đo μ là:

là các hàm đơn giản, không âm.

� Nếu hàm f mang dấu (+) thì max(-f, 0) 0 và f  f  Suy ra

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh

c) Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp f 0.� Vì f bị chặn nên  k 0 : 0 f� �k

trên A.

Theo định lý về cấu trúc của hàm số đo được, tồn tại dãy hàm đơn giản (f )n n��

không âm, đơn điệu tăng và hội tụ về f : lim fn n f

đơn giản, tăng, không âm và

b) Đặt B{ x�A| f(x) 0 }

thì B U i = 1�Bn

1{ x | f(x) }

- Nếu f đo được tùy ý, ta có f  f f và

+ Nếu (c.f )�0 thì (c.f ) max(c.f ,0) c.f, (c.f )  max( c.f ,0) 0.  Vì (c.f ) là hàmđơn giản, không âm nên tương tự ta cũng có được

b) - Nếu f, g là các hàm đơn giản, không âm trên A.

- Nếu f, g là các hàm đo được, không âm trên A.

Khi đó, tồn tại hai dãy hàm đơn giản không âm (f ), (g )n n mà fn Z f , gn Z trêng

d) Nếu f, g khả tích thì f g � cũng khả tích Nếu f khả tích và g bị chặn thì f.g khả tích.

d) Theo tính chất tuyến tính của tích phân ta suy ra f g� khả tích nếu f, g khả tích

Cho A A1, , ,2 An là những tập con đo được của X với μ( )X  �. Giả sử rằng mỗi

x X� đều thuộc về ít nhất là q trong số n tập A A1, , , 2 An Khi đó phải có một tập Ak

q μ( ) μ( ).

i = 1

μ( ) qμ( )A � X

�

(1) Giả sử

 

� ��� �� � Suy ra:

n n

n n n

k n n

a) Nếu f gn � và g khả tích trên A thì bổ đề Fatou vẫn đúng

Thật vậy, do f gn � nên f g 0n n � trên A.Theo bổ đề Fatou ta có:

b) Nếu f gn � với g khả tích trên A thì

- Nếu f(x) n� thì f (x) f(x), f (x) f(x).n  n+1  Suy ra: 0 f (x) f (x).� n � n+1

- Nếu n < f(x) n+1� thì f (x) = 0, f (x) = f(x).n n+1 Suy ra: 0 f (x) f (x).� n � n+1

- Nếu f(x) n+1� thì f (x) = 0, f (x) = 0.n n+1 Suy ra: 0 f (x) f (x).� n � n+1

Do f hữu hạn hầu khắp trên A nên B�A:μB0 thì 0 f(x) �   �, x�A B\ Suy ra

2.9 Định lý về sự hội tụ, bị chặn

2.9.1 Định lý 1

Giả sử (f )n n�� là dãy hàm đo được, | f | gn � với g khả tích trên A và fn �f (hầu

khắp hay theo độ đo) trên A thì

n n

lim f dμ fdμ.

A A

���  �

Chứng minh:

a) Nếu fn � g hầu khắp trên A.

Vì | f | gn � nên  � �g f g.n Theo bổ đề Fatou ta có:

hội tụ theo độ đo về hàm f nên có dãy con (f )n k1

hội tụ hầu khắp về f Theo (a)

lim (g f )dμ lim (g f )dμ lim (g f )dμ lim g dμ lim f dμ

2.9.4 Định lý 3 (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân).

Nếu f là hàm khả tích trên A thì với mọi ε 0, tồn tại σ 0 sao cho | fdμ | ε,B

nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp f 0.� Ta có tồn tại

dãy hàm đơn giản fn sao cho 0 f n Z trên A và f 0 f n, n.� n � 