Định lý Steiner – Lenmus này có đến mấy chục cách chứng minh khác nhau, trong đó cách chứng minh trên là cách duy nhất sử dụng các kiến thức lượng giác.. Cách giải này được coi là đơn gi
Trang 1Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong
tam giác (phần 2)
III Định lý STEINER – LENMUS về tam giác cân
Lời giải.
Ta có:
Từ
lb
2
2
a + b
2
a + b
2
1
2
1 a
1 c
1
2
1 a
1 b (1)
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 2Giả thiết phản chứng , khi đó không giảm tổng quát có thể giả sử
Suy ra:
chứng là sai
Chú ý:
Jacob Steiner (1796 – 1863) là nhà hình học nổi tiếng người Thuỵ Sĩ Định lý Steiner –
Lenmus này có đến mấy chục cách chứng minh khác nhau, trong đó cách chứng minh trên
là cách duy nhất sử dụng các kiến thức lượng giác
Sau đây là hai cách chứng minh “phi lượng giác” đẹp mắt để bạn đọc thưởng thức
Cách 1: (Tác giả là hai kĩ sư người Anh là G.Jylbert và D.Mac – Donnell) Cách giải này
được coi là đơn giản nhất và được công bố trên tạp chí “American Mathematical Monthly”
năm 1963
Chứng minh bổ đề
2
1 >
c
1
∙
∙
BM
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 3Lấy trên sao cho Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp.
Định lý Steiner – Lenmus là hệ quả trực tiếp của bổ đề trên
Cách 2: (Của tác giả R.W.Hegy đăng trên tạp chí “The Mathematical Gazette” của Anh năm
1982 – và được xem là đơn giản nhất!)
ABM
N′
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 4Vẽ hình bình hành như hình vẽ.
điều phải chứng minh
Các bạn thân mến! Kể từ năm 1840 khi S.L.Lenmus gửi thư cho nhà hình học J.Steiner đã
quá 150 năm Từ cách chứng minh của Steiner cho đến cách chứng minh gần đây nhất của
R.W.Hegg, con người đã dần dần thực hiện được khát vọng là vươn tới cái đơn giản nhất
Chắc rằng quá trình này chưa dừng lại ở đây
Cuối cùng, xin dành cho cách giải của chính J.Steiner
Dựa vào công thức
AMDN
∙
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=
2 b2 (a + c)2
=
2 c2
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 5Từ , sau khi biến đổi, đưa được về dạng:
IV Bài toán NAPOLÉON
Lời giải.
=
lb lc
ABC
cos
3
2
3
2
ab
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 6Chú ý:
Napoléon Bonaparte (1769 – 1821), hoàng đế nổi tiếng của nước Pháp, là một người ham thích toán; ngay cả lúc cầm quân ở trận mạc, ông vẫn dành những phút giải trí qua việc giải
các bài toán Napoléon đã nêu ra một số bài toán hay, trong đó có bài toán nói trên
Dưới đây là cách giải "phi lượng giác" của bài toán trên (đó chính là cách giải của hoàng
đế Napoléon)
có \displaystyle{\widehat{{B^'}} = \widehat{{Ấ}} = {60^0}}, do đó , suy ra
= a 32 + b 32 − 2ab 3 ( cos C − 1 2 √ 2 3 sin C)
O2O23 a2 + 3 b2 1 6 a2 b2 c2 ab 3 3 √ 2S ab a2 + b 62 + c2 2S 3 3 √
(1)
O1O23 O1O22 a2 + b2 + c2
6
2S 3 √
O1O2O3
∙
∙
AC , BC B′ A′
=
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftwarẹcom/shopping
Trang 7Như vậy, ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều cắt nhau tại
là tam giác đều (đpcm)
V Lời kết
Trên đây là những vấn đề mà tác giả đã học tập, sưu tầm được Chúng tôi hi vọng rằng, bài viết sẽ giúp các bạn trẻ yêu thêm toán và thấy rõ hơn rằng: một ý tưởng mới, một cách giải
quyết độc đáo có thể nảy sinh từ những vấn đề đơn giản, rất quen thuộc, các bài toán sơ
cấp vẫn không ngừng hấp dẫn nhiều người, trong đó có không ít các nhà toán học nổi tiếng
trên thế giới
Tuy đã nỗ lực rất nhiều nhưng bài viết còn có những thiếu sót, mong bạn đọc góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 8Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping