Tiểu luận Tích Ten xơ

Tích tenxơ là phép toán quan trọng của toán học. Các kết quả của phép tính tenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều ngành toán học khác như giải tích, đại số và hình học. Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngành khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hóa học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa là công cụ, vừa là đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán học

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Tích tenxơ là phép toán quan trọng của toán học Các kết quả của phép tínhtenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều ngành toán học khác như giải tích, đại số vàhình học Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngànhkhoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hóa học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa

là công cụ, vừa là đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán học

Thấy được tầm quan trọng và ứng dụng thực tiễn của tích tenxơ, mong muốnđược mở rộng kiến thức và học hỏi, bản thân trong việc tìm hiểu, nghiên cứu về tíchtenxơ Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn Đại số đại cương nâng cao, tôi xin

chọn đề tài “Tích tenxơ ” làm đề bài tiểu luận cho mình.

2 Mục đích nghiên cứu.

Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu sâuhơn về tích tenxơ và từ đó giải một số bài tập vận dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, các định nghĩa, Định lí, mệnh đề vềtích tenxơ

4 Đối tượng nghiên cứu.

- Tích tenxơ của hai môđun

- Tích tenxơ của hai đồng cấu

- Tích tenxơ và dãy khớp

- Tích tenxơ của các tích trực tiếp và các tổng trực tiếp.

- Quan hệ giữa Hom và tích tenxơ.

5 Phạm vi nghiên cứu.

- Hệ thống lí thuyết về tích tenxơ.

- Các kiến thức liên quan

6 Phương pháp nghiên cứu.

- Tổng hợp lại các kiến thức đã học

- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet

- Hỏi ý kiến chuyên gia

Nếu Tiên đề  M3 được thay bởi,  ab x b ax     thì M được gọi là một A-môđun

phải Và ta thấy ngay, nếu vành A giao hoán thì hai khái niệm môđun trái và môđun

phải là như nhau Cũng cần lưu ý rằng, nếu trình bày môđun phải theo kiểu phần tử vôhướng đặt ở bên phải thì khi đó Tiên đề  M3 sẽ được viết là x ab       xa b bởi ta có

                       

x ab  ab x b ax  ax b xa b

Trong toàn bộ giáo trình này, ta chỉ xét các lớp môđun trái, và để thuận tiện, ta

sẽ dùng từ ‘môđun’ thay cho ‘môđun trái’

1.3 Ví dụ

(i) Mỗi ideal trái của vành A là một A-môđun Đặc biệt, mỗi ideal của A là một A-môđun và bản thân A cũng là một A-môđun

(ii) K là một trường thì các K-môđun chính là các không gian vectơ trên K.

(iii) Mỗi nhóm aben cộng M đều được coi là �-môđun với phép toán nhânngoài được xác định như sau: Với mỗi x M� và n��thì nx x x x           x (tổng gồm

n phần tử x) với n nguyên dương,0x  0 ;     M nx    n x nếu n nguyên âm.

Với mỗi A môđun M, ta luôn có:

(i) 0    0     0A x Ma Mvới mọi x M� và mọi a A� (ii)  a x     ax a      x với mọi x M� và mọia Ax v�

A-(i) f x y    f x( ) f y( ) với mọi x y M, �

(ii) f x(a )  fa x( ) với mọia A� và mọi x M�

Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng được

gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Nếu f M    0M' thì f được gọi là đồng cấukhông và thường được viết là 0 Ta kí hiệu 1 

K f  f và gọi nó là hạt nhân hay

hạch của f, còn Im f  f M được gọi là ảnh của f Cok fer M'Im f được gọi là đối

hạch của f, còn Coim f M K fer được gọi là đối ảnh của f Một đồng cấu từ M vào M

được gọi là một tự đồng cấu của M Hai A-môđun M và M’ được gọi là đẳng cấu và

viết là M M' nếu tồn tại một đẳng cấu A-môđun từ M đến M’.

2.2 Nhận xét

Cho một A-đồng cấu môđun f : M � M' Khi đó f là đồng cấu không khi và chỉ

khiK fer M và f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f M , nên f    x f x  với

� cho bởip x  x là một đồng cấu A-môđun Hơn thế nữa, p còn

là một toàn cấu được gọi là toàn cấu chiếu chính tắc Toàn cấu này có Kerp N     .

(ii) Với mỗi môđun con N của một A-môđun M, ánh xạ nhúng

Tập Hom M N A ,  với các phép toán xác định như vậy trở thành một A-môđun, được gọi là môđun các đồng cấu từ M đến N Chú ý rằng khi vành A không giao hoán,

A

Hom M N chỉ là một nhóm aben với phép cộng đồng cấu

3 Tích và tổng trực tiếp các môđun

Cho I là một tập khác rỗng Giả sử(M)�  I là một họ các A-môđun chỉ số hóa

bởi I Kí hiệu M ��I M là tích Descartes của họ (M �) I Khi đó có thể xây dựng

phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của A với các phần tử của M như sau:

môđun M xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của các họ các

A-môđun M � I NếuM N với mọi �I thì ta kí hiệuП�I M bởiN I

Bây giờ trong M ��I M ta lấy ra tập con ��I Mbao gồm tất cả các phần tử

của M với các thành phần bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu hạn thành phần có thể

khác 0 Khi đó với mọi    

  �� và với mọi a b A, � bởi các thành

phần của x x �I và y y �Ibằng 0 hầu hết, trừ một số hữu hạn thành phần có

thể khác 0, nên ax by  (ax by �) I cũng như vậy Do đó ax by I M

�

 ��

Vậy ��I Mlà một A-môđun con của M.

3.2 Định nghĩa

A-môđun ��I Mđược gọi là tổng trực tiếp của họ các A-môđun ��I M

Nếu M Nvới mọi �Ithì ta kí hiệu ��I Mbởi N

3.3 Nhận xét

Nếu họ các A-môđun M � Ichỉ gồm một số hữu hạn các môđun thì tích trực

tiếp và tổng trực tiếp của nó là như nhau Nếu coi vành A là A-môđun thì tích trực tiếp của n A-môđun A kí hiệu là n

A nAĐặc biệt �-môđun�nđược gọi là lưới nguyên trong

không gian n-chiều thực

Dãy (1) được gọi là khớp tạiM nnếuImn1 Kern;

Dãy khớp với 5 môđun: 0�M ���f M'���g M''�0 (*) được gọi là dãykhớp ngắn Imf Kerg     (*) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàncầu và Imf Kerg     Khi đó, do f là đơn cấu nên ta đồng nhất M' Im� f Kerg và do

g là toàn cấu nênImg M '' Do vậy theo định lý đồng cấu môđun, ta có

M K g er Img hay M M ' M''

4.2 Mệnh đề: (Tiêu chuẩn chẻ ra của dãy khớp ngắn)

Giả sử 0�M ���f M'���g M''�0 là dãy khớp ngắn các môđun Khi đó cácđiều kiện sau là tương đương:

(i) f có nghịch đảo trái, tức  :M �M'là đồng cấu, sao cho  f id M

(ii) g có nghịch đảo phải, tức :M'' �M là đồng cấu, sao chogid M''.

Khi những điều kiện đó được thỏa mãn thì:

M Imf     �Ker    Kerg�Im   M’ �M''

Chương 2 TÍCH TENXƠ

1 Tích tenxơ của hai môđun.

1.1 Ánh xạ song tuyến tính.

Giả sử V là một vành, E là một V-môđun phải, F là một V-môđun trái, G là một

�-môđun Một ánh xạ f từ tích Descartes E �F của hai tập hợp E và F tới G được

gọi là song tuyến tính, nếu và chỉ nếu,  x1, x 2 E,  y1, y 2 F,   V, ta có:

1 2, 1, 2( ) ( ) ( , )

1.2 Định nghĩa tích tenxơ của môđun.

Giả sử E là một V-môđun phải và F là một V-môđun trái Ta gọi là tích tenxơ của E và F, một cặp (T, f) gồm một �-môđun T và một ánh xạ song tuyến tính f :

E F� �Tthỏa mãn tính chất độc xạ sau: đối với mọi �-môđun G và mọi ánh xạ song

tuyến tínhg E F: � �G, tồn tại duy nhất một �-đồng cấu h T: �G để cho g hf , tức

là biểu đồ sau giao hoán:

E F� ���f T

g !h

G

1.3 Các hệ quả của định nghĩa.

Từ định nghĩa trên, hoàn toàn như trong trường hợp V-môđun tự do, ta suy ra

được các hệ quả sau:

(i) Nếu (T, f ) là một tích tenxơ của E và F thì f E F( � ) sinh ra T Tuy nhiên,

f ở đây là một ánh xạ song tuyến tính Vì vậy nói chung nó không thể là đơn ánh

được, trừ khi E và F đều bằng 0 Thật vậy vì

       f x, 0  f x, 0 0   f x, 0  f x, 0

        0, 0 0, 0, 0, f y  f  y  f y  f y

nên f x , 0 0 0,    f  y Nhưng x, 0 �0, y, trừ khi x 0 , y 0 .

(ii) Nếu (T, f ) và (T’, f ') là những tích tenxơ của E và F thì tồn tại một đẳng

của duy nhất : T T ' sao cho f’  f .

1.4 Sự tồn tại của tích tenxơ.

Cho V-môđun phải E và V-môđun trái F Ta sẽ chứng minh rằng tích tenxơ của

chúng bao giờ cũng tồn tại

Ta xét tích Descartes E F� của các tập hợp E và F và dựng �-môđun tự dosinh ra bởi E F� Đó là một cặp gồm một �-môđun, mà ta kí hiệu là C �E �F,

và một đơn ánh : E F� �C, thỏa mãn tính chất độc xạ sau: đối với mọi �-môđun

G và mọi ánh xạ g E F: � �G tồn tại duy nhát một � -đồng cấu k C: �G để cho

g kj , tức là biểu đồ sau giao hoán:

Xét �-môđun thương C/D và đồng cấu tự nhiên p: C�C D/

Muốn vậy ta lấy ảnh bởi k của các phần tử sinh của D Nếu tất cả các ảnh này

đều bằng 0 thì ta sẽ có D�Kerk Khi đó, theo tính chất độc xạ của môđun thương, sẽtồn tại một �-đồng cấu duy nhất h: C D/ �G sao cho ta có k hp .

Giả sử f : E V �E V’ là một đồng cấu của V -môđun phải, g: V F �V F' là một

đồng cấu của V -môđun trái.

Ta xét các tích tenxơ E�V F và E'�V F' cùng với các ánh xạ tenxơ

rõ ràng là song tuyến tính Vậy theo tính chất độc xạ của tích tenxơ, tồn tại duy nhấtmột �-đồng cấu h E: Į�V F E' V F' sao cho biểu đồ giao hoán:

Ta có thể minh họa tính chất này bởi biểu đồ giao hoán sau:

Nói riêng, ta có:

f f’ �1F (f’�1F)(f �1F)

Nếu dãy đồng cấu V-môđun phải E'��� ���f E g E''�0

là khớp thì đối với mọi V-môđun trái F, dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm aben

Vì (g�1)(f �1)gf �1 0 1 0 �  , nên tính chất độc xạ của Coker, tồn tại một

�-đồng cấu h coker f: ( �1)�E”�V F sao cho ta có g�1hp Từ đó suy ra:

h E Į�F Coker f sao cho kh và hk là những ánh xạ đồng nhất

Để xác định k, ta hãy tự cho một ánh xạ song tuyến tính từ E''�F tới( 1) V / ( 1)

nên hk và kh trùng với các ánh xạ đồng nhất của E''�V F

và E�V F Im f/ ( �1)trên các phần tử sinh của chúng, do đó ta phải có:

Nếu dãy đồng cấu V-môđun trái: F��� ���f F g F''� 0

là khớp, thì đối với mọi V-môđun phải E, dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm aben

Đặt V F'F'V0, V F F V0, V F''F''V0, E V V0E , trong đó V 0 là vành đối của V,

ta có dãy khớp các đồng cấu V 0- môđun phải

EĮ F EĮ F EĮ F Nói chung, nếu E’ là môđun con của một V-môđun phải E và j E: ' E là phépnhúng chính tắc thì ánh xạ cảm sinh: j�Į�1: 'E V F E V F không nhất thiết là đơn ánh

 

(j�)(x�y) ( j�)( x�y) j x �y x�yx�( y)x� 0Vậy ( j�1) là ánh xạ không Nó không thể là đơn ánh, vì 2  �Ĺ �� �/ 2  0

Nói chung nếu: 0�E'��� ���f E g E''�0 (1)

là một dãy khớp ngắn những đồng cấu V-môđun phải và nếu F là một V-môđun trái thì

không thể kết luận rằng dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm Aben

và dãy đồng cấu V-môđun trái A'���f' B'���g' C'�0

là khớp Khi đó trong biểu đồ chín sau đây:

'

V

A� A ����f �1 B�V A' ����g�1 C�V A'0  1�f '  1�f '  1�f '

'

V

A� B ����f �1 B�V B' ���� �1 C�V B'0  1 �'  1 �'  1 �'

Thật vậy, theo Định lí 3.1 các dòng và theo Định lí 3.2 các cột của biểu đồ chín

là khớp Các hình vuông đều giao hoán vì ta có, chẳng hạn, trong trường hợp hìnhvuông ở các góc trên bên trái:

1 1 '(f �)( �f ) f �f '(1�f ')(f �1)

Ta còn phải chứng minh rằng dãy (1) là khớp Muốn vậy,ta xét biểu đồ phụ sau:

là khớp Vì n và l là toàn ánh nên ln là toàn ánh Ngoài ra ln q i b a( �)( , )1 2 = ln qb ia( 1 2)

= lnqb lnia1 2 = 0 lnia 2 = ljma2 = 0 Vậy Im(q i� �) Ker(ln) Đảo lại giả sử

b � q i� , và ker ln  �Im q i( �) Vậy Im q i( �)Ker ln , tức là dãy (1’) khớp tại B2

Áp dụng kết quả này vào biểu đồ chính ở trên, ta suy ra rằng dãy (1) là khớp

Ta chú ý rằng, theo định nghĩa của (f � � �1  ) (1 f ') ta có

4 Tích tenxơ của các tích trực tiếp và các tổng trực tếp.

4.1 Tích trực tiếp.

Giả sử ( )E i I là một họ V-môđun phải, ( )F j J là một họ V-môđun trái Đặt:

i I

Vì các họ ( )x i I và ( )y j J đều có giá trị hữu hạn, nên họ (x i�y j ij) cũng có giá trị

hữu hạn, do đó g thật ra là một �-đồng cấu từ E�V F tới � �i j, (Ei F j)

g x � y  x �y

Ta sẽ chứng minh rằng g là một �-đẳng cấu Muốn vậy ta sẽ xác định một �-đồngcấu: h:�Į(E F) (�E)� �( F ) sao cho hg và gh là những ánh xạ đồng nhất.

Để đạt mục đích ấy, theo tính chất độc xạ của tổng trực tiếp, ta sẽ xác định một

họ �-đồng cấu chỉ số hóa bởi I J� từ E i�F j tới (�I E i)� �V(J F j)

(�I E i)� �V(J F j)

Ta có: hg x(( )i I �( ) )y j J h x(( i�y j) )i j,

)( ))(i�j x i�y j  (i i x) (�j y j)

( )x i I có giá hữu hạn Như vậy x�y có một biểu diễn dưới dạng mong muốn và điềunày cũng đúng cho mọi phần tử của E�V F.

Để chứng minh rằng cách biểu diễn là duy nhất, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu0

x �c là tương ứng Vì x i�c i 0 nên x i 0, iI.

(ii) Nếu E và F là những môđun tự do trên một vành giao hoán A, với các cơ sở

theo thứ tự là ( )b j J và (c i)I thì E�A F cũng là một A-môđun tự do với cơ sở

� trong đó x i�E và (x i)I là một họ với giá hữu hạn Vì E có cơ sở là

( )b j J nên mỗi phần tử x i�E đều viết được một cách duy nhất dưới dạng: i ij j

I

x � b

trong đó  �ij A và họ ( )ij j có giá trị hữu hạn Khi đó mỗi phần tử của E�V F sẽ viết

được một cách duy nhất dưới dạng: ij ij

Từ đó ta kết luận rằng E�A F là tự do trên A và (b j�c i J I) � là một cơ sở của nó

(iii) Giả sử E và F là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên cùng một trường

là một không gian vectơ trên T với cơ sở gồm mn vectơ e i�f j, do đó( T )

dim E� F mn Nói riêng mọi vectơ u của E�T F đều viết được một cách duy nhất

dưới dạng , ij( i j)

i j

u�x e �e , m2thành phần x ij�T gọi là các thành phần của tenxơ u đối với cơ sở (e i ) Khi thay đổi cơ sở trong E, ta có thể tính được sự thay đổi tương

ứng của các thành phần đó Giải tích tenxơ cổ điển mô tả các phần tử của E�T E, gọi

là các tenxơ hai lần phản biến, chỉ bằng các thành phần đó và bằng sự biến đổi củachúng khi đổi cơ sở

Một tenxơ với một chỉ số phản biến và một chỉ số hợp biến, theo định nghĩa:một phần tử của *

E� E đều có một biểu diễn duy nhất dưới dạng �ij x e i j( i�e j) và do đó được xác

định bởi các thành phần x i j của nó (i, j = 1,…., n).

(iv) Giả sử 0�E'��� ���f E g E''�0 là một dãy khớp ngắn những đồng cấu

V-môđun phải và F là một V-môđun trái tự do Khi đó dãy cảm sinh các đồng cấu

nhóm aben: 0�ľ���ľ���ĮE' V F f �1 E V F g�1 E'' V F 0 là khớp

Như vậy mọi V-môđun trái tự do đều là dẹt.

Tương tự ta cũng thấy rằng mọi V-môđun phải tự do đều dẹt.

Ta còn phải chứng minh rằng f �1 là một �-đơn cấu Thật vậy, vì F là tự do, nên có có một cơ sở (c i)I Khi đó, mọi phần tử của E'�V f đều viết được một cách

(v) Giả sử P là một V-môđun trái xạ ảnh và E, F là hai V-môđun phải Nếu

:

f E�F là một đơn cấu thì f �Į�1 :p E V P F V P cũng là một đơn cấu

Như vậy, đối với mọi dãy khớp ngắn những đồng cấu V-môđun phải:

0� ��� ��� �E f F g G 0

và mọi V-môđun trái xạ ảnh P, dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm aben:

0�E�V P�F�V P�G�V P�0

là khớp

Do đó mọi V-môđun trái xạ ảnh đều là dẹt

Tương tự ta cũng thấy rằng mọi V-môđun phải xạ ảnh đều là dẹt

Thật vậy, vì là xạ ảnh nên tồn tại một V-môđun trái Q và một V-môđun trái tự

do T sao cho: TP�Q

Vì T là tự do nên nếu f E: �F là một V-đơn cấu thì: f �Į�1 :T E V T F V T

cũng là đơn cấu (iv)

Nhưng E�V TE�V (P�Q)E�V P�E�V Q và F�V TF�V (P

�Q)F�V P�F�V Q

Do các đẳng cấu này ta có thể đồng nhất hóa f �1T với:

(f �1P)(f �1 :Q) (E�V P) (�E�V Q) (F�V P) (F�V Q)

Vì f �1T là đơn cấu nên (f �1P)(f �1 )Q cũng là đơn cấu

Song nếu : A�B và  : C �D là những V-đồng cấu sao cho : A C B D

 �Ů� là đơn cấu thì φ và ψ cũng là đơn cấu vì

Thật vậy, vì E là xạ ảnh nên nó đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp P1 của một

A-môđun tự do T1 Tương tự F đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp P2 của một môđun tự do T2 Lại có P1�A P2 đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của T1�A T2

A-Nhưng vì A là giao hoán nên tích tenxơ của hai A-môđun tự do lại là tự do (ii) Do đó A

E� F là một A-môđun xạ ảnh.

5 Quan hệ giữa Hom và Tích tenxơ

Giả sử V và S là hai vành, A V là một V-môđun phải V B S là một V-S song môđun

và C S là một S-môđun phải Khi đó tồn tại một đẳng cấu nhóm aben: