Bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thức

Bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thứcBảo vệ khóa luận tốt nghiệp Bất đẳng thức

BẢO VỆ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

1 Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất vì thế luôn cuốn hút rất

nhiều đối tượng quan tâm Bài toán bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và quan trọng đối với học sinh trong các kì thi Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong toán

sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán khó, thậm chí rất khó vì vậy việc vận dụng các phương pháp để giải quyết các bài toán bất đẳng thức là hết sức cần thiết và phương pháp dồn biến mạnh

là một trong những phương pháp mà chúng ta không thể không nhắc đến

Phương pháp dồn biến mạnh là một phương pháp khá quan trọng và cơ bản nhất của bất đẳng thức đại số Phương pháp dồn biến mạnh là công cụ hiệu quả giúp chúng ta giải quyết các bài toán bất đẳng thức một cách dễ dàng Đây cũng là phương pháp xuất hiện rất nhiều trong các bài toán bất đẳng thức của các kì thi học sinh giỏi trên khắp thế giới

Thấy được tầm quan trọng của phương pháp dồn biến mạnh, với mục đích tìm hiểu sâu hơn về phương pháp này, ứng dụng của phương pháp dồn biến mạnh để tạo tiền đề, cơ sở cho việc học tập tiếp theo và mở rộng kiến thức cho bản thân Cùng với

sự giúp đỡ của giảng viên tôi chọn đề tài “Phương pháp dồn

biến mạnh và ứng dụng để giải các bài toán bất đẳng thức

chứa 3,4 biến” làm đề tài khóa luận cho mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về phương pháp dồn biến mạnh, từ đó ứng dụng để giải các bài toán

về bất đẳng thức và hình thành khả năng tự sáng tạo bất đẳng thức Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo

để tìm hiểu sâu hơn về phương pháp dồn biến mạnh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu về phương pháp dồn biến mạnh và ứng dụng trong việc giải các bài toán bất đẳng thức chứa 3,4 biến

5 Phạm vi nghiên cứu

- Hệ thống các bài tập về bất đẳng thức

- Các kiến thức liên quan

4 Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp dồn biến mạnh

- Phương pháp dồn biến toàn miền

- Phương pháp dồn biến không xác định

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp lại các kiến thức đã học

- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet

- Hỏi ý kiến chuyên gia

7 Cấu trúc đề tài:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì khóa luận được chia thành 3 chương:

Chương 1: Đại cương về bất đẳng thức

Chương 2: Phương pháp dồn biến và định lí dồn biến mạnh Chương 3: Ứng dụng phương pháp dồn biến mạnh để giải

các bài toán bất đẳng thức chứa 3,4 biến

(1)Khi đó bất đẳng thức sau sẽ thỏa mãn

Điều kiện (1) có thể biến đổi thành một số dạng khác, chẳng hạn

Và còn rất nhiều dạng khác nữa tùy theo yêu cầu của bài toán

Nếu chỉ xét trong miền liên thông là các đoạn hoặc khoảng có dạng

Suy ra

Từ đó suy ra với

2 Phương pháp dồn biến đối với các bất đẳng thức 3 biến

Không phải mọi bài toán thì bất đẳng thức điều kiện luôn đúng, tuy rằng đẳng thức thì vẫn chỉ xảy ra trong trường hợp tất cả các biến bằng nhau Thông thường bất đẳng thức điều kiện sẽ đúng nếu

ta thêm các điều kiện khác cho các biến Cách hay làm nhất là sắp xếp lại thứ tự các biến số Đây là sự hạn chế trong trường hợp tổng quát nhưng với các bài toán 3 biến thì luôn rất hiệu quả

Ý tưởng chính trong phương pháp này là thực hiện 2 bước sau (đối với bất đẳng thức )

- Chứng minh nếu hoặc

3 Định lí dồn biến mạnh

3.1 Bổ đề ( Dồn biến tổng quát)

Giả sử là dãy số thực tùy ý Ta thực hiện liên tiếp phép biến đổi sau

- Chọn là hai chỉ số sao cho

- Thay và bởi (nhưng vẫn giữ đúng thứ tự của chúng

trong dãy số) Khi đó sau vô hạn lần thực hiện biến đổi nói trên thì mỗi số đều tiến tới giới hạn

3.2 Định lý ( Stronger Mixing Variable - S.M.V)

Nếu , , là hàm liên tục đối xứng và bị chặn dưới thỏa mãn điều kiện

Với là dãy thu được từ dãy theo phép biến đổi ∆ thì ta có với

Nhận xét: Bằng định lí này, khi sử dụng dồn biến ta chỉ cần chọn

ra số nhỏ nhất và số lớn nhất Định lí về dồn biến đã được chứng minh chặt chẽ và có kết quả mạnh hơn hoàn toàn bằng kiến thức sơ cấp, chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng được Ngoài ra phép biến

đổi có thể khác hơn, chẳng hạn thay thành hoặc bất

kì dạng trung bình nào khác Tùy theo giả thiết của bài toán mà ta cần chọn cách dồn biến cho phù hợp

Suy ra

Áp dụng định lí S.M.V ta có:

(1)Với

Chứng minh tương tự ta được:

(2)Với

4 Phương pháp dồn biến toàn miền

số Phương pháp dồn biến toàn miền thường được sử dụng khi có sự chênh lệch bậc của các đại lượng xấp xỉ 0

Không mất tính tổng quát của bài toán, giả sử Cố định các hiệu , , và giảm cùng đi một lượng (tức là thay bởi , , 0) thì rõ

ràng , , không thay đổi còn thì giảm đi Vậy vế trái của (1) thì giảm đi còn vế phải của (1) thì không đổi Do đó ta chỉ cần chứng minh bài toán trong trường hợp Khi đó bất đẳng thức tương đương với

Nhưng bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

5 Dồn biến không xác định

5.1 Định lý ( Định lí dồn biến không xác định UMV)

Cho là một hàm liên tục đối xứng xác định trên tập thỏa mãn điều kiện

Khi đó với mọi bộ thì

Trong đó là giá trị của hàm khi có t số bằng 0 và các số còn lại bằng nhau.

Nói cách khác, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sẽ đạt được khi và chỉ khi có t số bằng 0, các số còn lại bằng nhau Ở đây t là một giá trị nguyên nào đó trong

Rõ ràng biểu thức đã được lặp lại khá tình cờ trong 2 cách dồn biến trên Từ đó suy ra ít nhất một trong hai bất đẳng

Theo định lí UMV, ta chỉ cần chứng minh bài toán khi có ít nhất một trong số bằng 0 hoặc tất cả các số đều bằng 1 Trong các trường hợp này bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

n a a1, , ,2 an

CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN MẠNH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA 3,4

BIẾN

1 Ứng dụng

Để chứng minh một bất đẳng thức phức tạp từ bốn biến trở lên, thật khó để nhận ra ý nghĩa và tầm quan trọng của định lí S.M.V Việc xét dồn biến chỉ với số lớn nhất hoặc bé nhất là một bước tiến rất quan trọng so với việc xét 2 số bất kì, vì nói chung với 2

số bất kì thì bất đẳng thức điều kiện rất khó thỏa mãn Ứng dụng hiệu quả nhất của định lí S.M.V là chứng minh bất đẳng thức

chứa 3, 4 biến Hầu như các bất đẳng thức chứa 3, 4 biến dựa trên định lí này đều có thể được chứng minh rất nhẹ nhàng và đơn

giản