Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác phần 1 I.. Việc chứng minh nhiều định lý và giải rất nhiều bài toán hình học đòi hỏi phải vận dụng hợp lý nhiều kiến thức về h
Trang 1Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong
tam giác (phần 1)
I Lời giới thiệu
Trong môn hình học ở trường phổ thông, hình học phẳng có khá nhiều phân môn, thể loại, và hình tam giác, có vai trò rất đặc biệt Việc chứng minh nhiều định lý và giải rất nhiều bài toán hình học đòi hỏi phải vận dụng hợp
lý nhiều kiến thức về hình tam giác(tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng, các đường thẳng đặc biệt trong tam giác, v.v…)
Hình tam giác đã được nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu từ hàng nghìn năm nay và mãi cho đến những năm gần đây, nhiều tính chất, định lý mới, hoặc nhiều cách chứng minh mới của các định lý đã biết lần lượt ra đời Ở bài viết này, tác giả xin giới thiệu đến bạn đọc những định lý, những bài toán hay về đẳng thức
lượng giác trong tam giác, bao gồm định lý Stewart, định lý Morley, định lý SteinerLenmus về tam giác cân, bài
toán Napoleon … và những mở rộng, chú ý, cách chứng minh độc đáo của nhiều nhà toán học cũng được nêu
ra trong bài viết này, chúng ta hãy cùng tìm hiểu
II Định lý STEWART
Bài toán: Cho là một điểm trên cạnh Đặt Khi đó ta có công thức sau:
Lời giải.
a d2 = m + n − amn b2 c2
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 2Kẻ đường cao Xét hai tam giác và và theo định lý hàm số , ta có:
Nhân từng vế theo thứ tự với và rồi cộng lại, ta có:
Định lý Stewart chứng minh xong
Chú ý:
Stewart (1717 – 1785) là nhà toán học và thiên văn học người Scotland.
Nếu trong hệ thức Stewart xét là đường trung tuyến, thì từ hệ thức Stewart có:
Hệ thức trên chính là hệ thức xác định trung tuyến quen biết trong tam giác
Nếu trong hệ thức Stewart xét là phân giác Khi đó theo tính chất đường phân giác trong ta có:
Từ hệ thức Stewart có:
= d2 + n2 + 2nHD (2)
n + m = c2 b2 d2(n + m) + mn(m + n) (3)
m + n = a (3) a d2 = m + n − amn b2 c2
∙
2 b2
a
2 c2
a 2
a
2 m2a
2 + 2 − b2 c2 a2
4
∙
AD m c
n b
ac
b + c
ab
b + c
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 3Chú ý rằng:
Từ và suy ra:
Hệ thức trên chính là hệ thức xác định đường phân giác
Vậy hệ thức Stewart là tổng quát hoá của các hệ thức xác định đường trung tuyến và đường phân giác
đã quen biết.
III Định lý MORLEY
Bài toán: Cho Ở mỗi góc của tam giác vẽ hai đường chia góc đó ra làm ba phần bằng nhau Các
đường ấy cắt nhau tại (hình vẽ) Chứng minh rằng đều
Lời giải.
Theo định lý hàm số trong , ta có:
a = l2a b + c ac b2 + b + c ab c2 − a a2bc ⇒ = (5)
(b + c)2 l
2 a
bc[ (b + c)2 − ] a2
(b + c)2
2
b2 c2 a2
2bc
−
(b + c)2 a2
2bc (5) (6)
l2a 4b
2cos2 A
2
(b + c)2 la
2bc cos A2
b + c
ΔABC
CY sin α
b sin( 180o − α − γ)
α + γ = 60o − β (1)
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 4Ta có:
Lí luận tương tự có:
Trong , áp dụng định lý hàm số , ta có:
Gọi là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác này Theo định lý hàm số trong tam giác này có:
Vậy thay vào , ta có:
sin( 120o + β)
sin α sin( 60o − β)
sin 3β = 3 sin β − 4 sin3β = 4 sin β ⎡ − β =
3
√ 2
2 sin2 ⎤
⎦
= 4 sin β( sin260o − sin2β) = 4 sin β sin( 60o + β) sin( 60o − β) (3)
(3) (2) n = CY = 4d sin α sin β sin( 60o + β)
m = CX = 4d sin α sin β sin( 60o + α)
X Y 2 = m2 + n2 − 2mn cos γ =
= 16 d2sin2α sin2β[ sin2( 60o + α) + sin2( 60o + β) − 2 sin( 60o + α) sin( 60o + β) cos γ] (4)
( 60o + α) + ( 60o + β) + γ = 1800 ΔEFG với Eˆ 60 = o + α, Fˆ 60 = o + β, = γ Gˆ
FG = e = d1sin( 60o + α) ⇒ sin( 60o + α) = e
d1
EG = f = d1sin( 60o + β) ⇒ sin( 60o + β) = d f
1
EF = g = d1sin γ ⇒ sin γ = g
d1
(4)
X Y 2 = 16 d2sin2α sin2β e2 + f2 − 2ef cos γ
d12
= 16 2 2α 2β 2 = 16 2 2α 2β 2γ
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Trang 5Do vai trò bình đẳng, ta cũng có
Vậy là tam giác đều (đpcm)
Chú ý:
Frank Morley (1860 – 1937) sinh tại Anh, nhưng hầu như suốt đời sống ở Mĩ Trong vài chục năm ông là giáo
sư toán học ở trường đại học tổng hợp thuộc bang Baltimore Bản thân học cách chứng minh của ông rất phức tạp Cách chứng minh ở trên là của nhà toán học Ấn Độ Naranengar tìm ra vào năm 1909 Một nhà toán học
Ấn Độ khác là Xachianarian cho cách giải "phi lượng giác" (chỉ dùng đến kiến thức hình học lớp 9)
Định lý về đường chia ba góc được Morley tìm ra từ 1899, nhưng mãi đến năm 1914 ông mới công bố cách chứng minh và mở rộng định lý với việc xét không chỉ các đường chia ba góc trong mà cả các đường chia ba góc ngoài của tam giác Định lý Morley đã hấp dẫn nhiều người, trong đó có nhà toán học Pháp nổi tiếng Henri Lebesgue (1875 – 1941) Năm 1939, Lebesgue công bố chứng minh sơ cấp của định lý này Ông xét các đường chia ba các góc trong và ngoài của tam giác (có tất cả 12 đường), và đã chứng minh được rằng trong các giao điểm của các đường đó có 27 bộ ba điểm là các đỉnh của tam giác đều
= 16 d2sin2α sin2β g2 = 16 α β γ
d12 d
2sin2 sin2 sin2
⇒ XY = 4d sin α sin β sin γ
XZ = ZY = 4d sin α sin β sin γ ⇒ XY = Y Z = ZX.
ΔXY Z
∙
∙
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
