Nghiên cứu khoa học TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN

Đại số đại cương là một trong những môn học khá trừu tượng đòi hỏi sinh viên phải có sự đầu tư và có thời gian làm quen mới có thể nắm bắt được kiến thức. Nội dung Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun là một trong những phần hay và khó. Do đó, trong quá trình học tập và nghiên cứu bộ môn này, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun”.

TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN

Nguyễn Đức Minh Hoàng Nguyễn Thị Hoàng Diễm Trần Thị Công Kiều

ĐHSP Toán K13 GVHD: Th.S Võ Văn Minh

I Đặt vấn đề

Đại số đại cương là một trong những môn học khá trừu tượng đòi hỏi sinh viên phải

có sự đầu tư và có thời gian làm quen mới có thể nắm bắt được kiến thức Nội dung Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun là một trong những phần hay và khó Do đó, trong

quá trình học tập và nghiên cứu bộ môn này, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun”.

II Nội dung

1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Môđun

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử R là một vành Một R–môđun trái là một nhóm cộng aben M cùng với ánh xạ

r m rm

M M R

 ) , (

→

×

được gọi là phép nhân vô hướng, thỏa mãn các hệ thức:

i) r’(rm) = (r’r)m

ii) (r’+ r)m = r’m + rm

iii) r(m + m’) = rm + rm’

iv) 1m = m

với mọi m,m' ∈M và mọi r,r' ∈R

1.1.2 Tính chất

Nếu 0M,0R tương ứng là các phần tử trung hòa của M và Rthì ta có thể suy ra rằng

) ( ) ( ) (

0 0

, 0 0

m r m r rm

m

−

=

−

=

−

=

=

với mọi m,m' ∈M và mọi r,r' ∈R

1.2 Môđun con

1.2.1 Định nghĩa

Giả sử là một -môđun Tập con A≠φ của được gọi là môđun con của nếu

là môđun trên với phép cộng và phép nhân với vô hướng của hạn chế trên A.Từ

định nghĩa của môđun con ta có thể đưa ra những tiêu chuẩn đơn giản hơn để kiểm nghiệm một tập con có phải là môđun hay không ?

1.2.2 Các mệnh đề

 Mệnh đề 1

Cho M là một R-môđun Nếu A là một tập con khác rỗng của Mthì các điều kiện sau là tương đương :

i) A là môđun con trong M .

ii) A là nhóm con cộng của M và đối với mọi a∈A, mọi r∈R ta có ra∈A

iii) Với mọi a,b ∈ A và mọi r,s∈R ta có ra+sb∈A

 Mệnh đề 2

Giao của một họ bất kỳ những môđun con của R-môđun Mlà một môđun con của

M

1.3 Môđun thương

 Định nghĩa

Cho là môđun con của -môđun Khi đó tương ứng

r m A rm A

A M A M R

+ +

→

×

 ) ,

(

/ )

/ (

là một ánh xạ Hơn nữa, nhóm thương M / A là R-môđun với phép nhân với vô hướng r(m+A) =rm+A

1.4 Đồng cấu môđun

1.4.1 Định nghĩa

Cho hai R-môđun M , N. Một đồng cấu R-môđun hay một ánh xạ tuyến tính

N

M →

:

ϕ là một ánh xạ ϕthỏa mãn các điều kiện

( ) ( )

) ( ) ( ) (

x r rx

y x

y x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

=

+

= +

với mọi x,y∈M,r∈R.

Nếu N =M thì ϕđược gọi là tự đồng cấu củaM. Một đồng cấu R-môđun còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần thiết phải chỉ rõ vành cơ sở

1.4.2 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

Đồng cấu ϕ:M →N được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu ϕ là một đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh)

1.4.3 Hạt nhân, ảnh của một đồng cấu

1.4.3.1 Định nghĩa

Cho ϕ:M →N là đồng cấu R-môđun.

Khi đó:

( )

{ ( ) 0} (0)

) ( Im

1

−

=

=

∈

=

∈

=

=

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

x M x Ker

M x x M

Ta gọi , làn lượt là ảnh và hạt nhận của đồng cấu f

1.4.3.2 Các mệnh đề

 Mệnh đề 1

Cho đồng cấu và tương ứng là những môđun con của Khi đó:

1) ϕ(U)là môđun con của N

2) ϕ− 1(V)={x∈Mϕ(x)∈N} là môđun con của M Đặc biệt Imϕ và Kerϕ là những môđun con tương ứng của N và M

 Mệnh đề 2

Giả sử f :X →Y là một đồng cấu R- môđun Hai tính chất sau tương đương:

a) f là một đơn cấu.

b) f giản ước được bên trái, nghĩa là mọi đẳng thức fϕ1 = fϕ2 đều kéo theo ϕ =1 ϕ2 , trong đó ϕ1,ϕ2 là những đồng cấu R- môđun tùy ý Mtới X

 Mệnh đề 3

Giả sử f :X →Y là một đồng cấu R- môđun Hai tính chất sau đây tương đương:

(a) f là một toàn cấu.

(b) f giản ước được bên phải, nghĩa là mọi đẳng thức ψ1f =ψ2f đều kéo theo

2

ψ = , trong đó ψ1,ψ2là những đồng cấu R-môđun tùy ý M tới X

1.4.3.3 Định nghĩa đồng cấu

 Định nghĩa

Giả sử ϕ:A→B là đồng cấu môđun và p:A→ A/Kerϕ là phép chiếu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu ψ :A/Kerϕ→B sao cho biểu đồ sau giao hoán

 Hệ quả

Nếu ϕ:A→B là một đồng cấu R- môđun thì ta có đẳng cấu A/Kerϕ≅ Imϕ

Định lý (Mở rộng của định lý đồng cấu)

Giả sử ϕ:A→B là một đồng cấu môđun và α :A→C là một toàn cấu, ngoài ra

ϕ

Ker ⊂ Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu λ:C →B sao cho biểu đồ sau giao hoán

ψ

hơn nữa, λlà đơn cấu khi và chỉ khi Kerα =Kerϕ.

 Định lý ( định lý đẳng cấu thứ nhất)

Nếu B, C là hai môđun con của A thì

).

/(

/ ) (B+C C ≅B B∩C

 Định lý (định lý thứ hai về đẳng cấu)

Nếu B, C là những môđun con của A và C ⊂Bthì

).

/ /(

) / ( /B A C B C

A ≅

Chú ý: Ta cũng có thể chứng tỏ tương ứng ϕ là đồng cấu theo lập luận sau Gọi

; /

:

p → p2 :A→A/C là những phép chiếu chính tắc

Rõ ràng Kerp2 =C⊂B=Kerp1 nên theo định lý (mở rộng của định lý đồng cấu) tồn tại đồng cấu ϕ:A/C → A/Bđược xác định bởip1(a)=a+B

2 Tích trực tiếp- tổng trực tiếp

2.1 Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp

2.1.1 Tích trực tiếp

2.1.1.1 Định nghĩa tích trực tiếp: Cho một họ những R-môđun (A i I i| ∈ ) Khi đó tích

Đềcác i {( ) |i , i i}

I

A = a i I a∈ ∈A

∏ cùng và phép nhân với vô hướng theo thành phần:

là một R-môđun, gọi là tích trực tiếp của họ (A i I i| ∈ ).

Trường hợp A i = A với mọi i I∈ ta ký hiệu i I

I

A = A

Dễ thấy rằng các phép chiếu chính tắc

:

I

( )a i a a j

là những R-toàn cấu, với mọi j I∈ .

2.1.1.2 Định lý:

 Định lý (tính phổ dụng) Giả sử B là một R-môđun cùng với họ đồng cấu

j B A j J j

β → ∈ Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu : j

I

β →∏ sao cho các biểu đồ sau giao hoán

j

p

I

∏

Nghĩa là p j β =βj, j∈ j

 Chứng minh Đồng cấu được cho bởi

( )x i =βi( )x ,∀x∈B,i∈I

β Khi đó rõ ràng với mọi x B∈ ta có

( )p jβ ( )x = p j(β( )x )= p j(βi( )x )=βj( )x ⇒ p jβ β= j, j I∈ Tính duy nhất của β Giả sử còn có ': i

I

β →∏ sao chop jβ' =βj,j I∈ Xét tọa

độ thứ j của các phần tử β( )x và β'( )x , ảnh của x B∈ , ta có

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

Điều này chứng tỏ β'( )x =β( )x , do đó β β= '

2.1.1.3 Mệnh đề

 Mệnh đề: Giả sử ( f A i: i→ B i I i| ∈ ) là một họ đồng cấu môđun Khi đó tương ứng

Cho bởi  f a( ) ( )i =( f a i( )i ) là một đồng cấu, được kí hiệu bởi ∏ f i

2.1.2 Tổng trực tiếp ngoài

2.1.2.1 Định nghĩa:

 Định nghĩa

Cho ( A i I i| ∈ ) là một họ những R-môđun Tập con của tích Đề-các i

I

A

∏ , gồm tất cả những phần tử ( )a i mà a i =0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i I∈ , là một môđun con, được gọi là tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ ( A i I i| ∈ ) và kí hiệu bởi

i

I A

Trong trường hợp A i = A với mọi i I∈ ta ký hiệu ⊕ =I A i A( )I

Với mỗi j I∈ , tương ứng

µi:A j → ⊕I A i

là đơn cấu, gọi là nhúng chính tắc

2.1.2.2 Nhận xét

Khi tập hợp hữu hạn thì i I i,

I

A = ⊕A

∏ còn trong trường hợp vô hạn thì ⊕I A i là

môđun con thực sự của i

I

A

∏ Cần lưu ý rằng, khi xét tích trực tiếp ta quan tâm đến các phép chiếu , còn đối với tổng trực tiếp ta quan tâm đến các phép nhúng µj.

2.1.2.3 Định lý

 Định lý: Giả sử B là R-môđun cùng với họ đồng cấu (αj:A j →B).Khi đó tồn tại đồng cấu duy nhất α:⊕ →I A i Bsao cho các biểu đồ sau giao hoán

⊕ ¬I A i µj A j

α αj

B

Nghĩa là αµj =αj,j J∈

 Chứng minh Đồng cấu : được cho bởi

( )

( )a i i( )a i

Điều này có thể thực hiện được vì a i =0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số Với

a ∈A thì µj( ) (a j = K , 0, , 0,a j K ).Từ đó

( ) ,0, ,0, ,

Do đó αµj =αj,j I∈ :ϕ⊕→Ii AB Nếu là đồng cấu thỏa mãn ϕµj =αj thì

( )

( )a i ( i( )a i ) ( i) ( )a i i( )a i .

Bởi vậy, ϕ α= .

2.1.2.4 Các Mệnh đề

 Mệnh đề: Giả sử ( f A i: i → B i I i| ∈ ) là một họ đồng cấu môđun Khi đó tương ứng

Cho bởi f ( ) ( )a j =( f a i( )i ) là một đồng cấu,được kí hiệu bởi ⊕f..

Ta chú ý rằng tổng trực tiếp của một số hữu hạn các môđun trùng với tích trực tiếp của chúng Mệnh đề tiếp theo mô tả tổng hữu hạn theo ngôn ngữ của phép nhúng và phép chiếu Để đơn giản, trong phát biểu ta sử dụng hàm Kronecker , định nghĩa cho các số nguyên 1,…,n bằng cách đặt δjk = 0 nếu j k≠ và δjk = 1 nếu j k=

 Mệnh đề: Cho và M1 , , K M nlà các R-môđun Khi đó

M ≅M ⊕M ⊕ ⊕ K M

Nếu và chỉ nếu tồn tại R-đồng cấu µi:M j →M và p M j: →M j j= 1, , K nthỏa mãn

k

p µ =δ id và µ1 1p + +K µn p n =id M

 Chứng minh: Giả sử rằng

M ≅M ⊕M ⊕ ⊕ K M

Trước hết ta xét trường hợp bản thân M là một tổng trực tiếp,

1

n j j

=

=⊕ Theo định

nghĩa của tổng trực tiếp ta có ánh xạ nhúng với 1 Do chỉ

có hữu hạn các thành phần, M cũng là tích trực tiếp của các môđun , nên từ định

nghĩa của tích trực tiếp ta có các phép chiếu với 1 Khi đó với mỗi x ta có

Rõ ràng ta cũng có =1 với 1 Và nếu j Cuối cùng, ta

có đẳng cấu , thì ta chỉ cần đơn giản là thay bởi và bởi và

dể dàng kiểm tra được rằng đẳng thức cần có là đúng

Ngược lại Giả sử rằng ta có các ánh xạ và thỏa mãn các điều kiện

đã cho Định nghĩa ánh xạ bởi

) Với mọi và định nghĩa ánh xạ g : bởi

Với mọi phần tử Khi đó

Với mọi và

((

Với mọi phần tử do với mỗi j ta có

Như vậy các hợp thành f g và g f đều là những phép đồng nhất, từ đó f, g là những

đẳng cấu.

2.1.3 Tổng trực tiếp trong

2.1.3.1 Định nghĩa

Môđun A được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i)

2.2.3.2 Bổ đề

 Bổ đề 2.2.3.2: Môđun A là tổng trực tiếp trong của một họ các mô đun con nếu và chỉ nếu mỗi phần tử biểu diễn duy nhất dưới dạng

, ,

 Chứng minh Do điều kiện i) của định nghĩa, có một tập hữu hạn sao cho phần tử a viết được dưới dạng

Giả sử còn có tập hữu hạn sao cho Dó có thể bổ sung thêm các hạn tử một cách thích hợp vào mỗi biểu diễn trên của a nên ta có thể coi

Khi đó với mọi ta có

Do điều kiện ii) của định nghĩa ta suy ra hay Điều này sảy ra với mọi Đó là điều phải chứng minh

Ngược lại, dễ thấy sự biểu diễn duy nhất của mỗi phần tử dưới dạng

dẫn tới các điều kiện i) và ii) của định nghĩa tổng trực tiếp trong

2.1.3.3 Các hệ quả.

 Hệ quả : Giả sử A là tổng của những môđun con Khi đó A là tổng trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ

Suy ra

 Chứng minh Do nên mỗi phần tử biểu diễn được dưới dạng

Giả sử

(1) Lại có:

nên theo bổ đề 2.2.3.2 ta suy ra rằng Α là tổng trực tiếp khi và chỉ khi các cách biểu diễn (1) và (2) đồng nhất, nghĩa là, aj = 0, 1 ≤ j≤n

 Hệ quả Môđun Α là tổng trực tiếp trong của họ môđun con ( { }Αi i∈I) nếu và chỉ nếu:

Α

→ Α

I

: ϕ ( )a  i ∑a i

là đẳng cấu

 Chứng minh giả sử suy ra ∑ =0.

I i

a Do Α là tổng trực tiếp trong của họ nên theo hệ quả trên ta có:

Nghĩa là là một đơn cấu

Hiển nhiên là toàn cấu nên là đẳng cấu

giả sử là đẳng cấu Do là toàn cấu nên mỗi phần tử

đều có thể biễu diễn dưới dạng

Trong đó hữu hạn Cách biễu diễn này duy nhất do là đơn cấu Vậy theo

bổ đề trên , A là tổng trực tiếp trong của họ

1.3.4 Ví dụ

Cho ϕ:A→ A là một đồng cấu R-môđun thỏa mãn:

ϕ

ϕ

ϕ = Chứng minh rằng: A= Imϕ⊕Kerϕ

Bài giải:

Ta cần chứng minh

ϕ

A= Im + (1)

{ }0

Imϕ+Kerϕ = (2)

Chứng minh (1)

A

x∈

∀ suy ra ϕϕ(x) =ϕ(x)⇒ϕ(x−ϕ(x)) =0

Vậy x−ϕ(x) ∈Kerϕ: x−ϕ(x) =a

ϕ ϕ

ϕ Im

) (

+

∈

⇒

+

=

⇒

Ker x

x a x

Vậy A=Kerϕ+ Imϕ. (1)

Chứng minh (2)

Giả sử x∈ Imϕ∩Kerϕ Suy ra

x u u

u

=

hay x=0 Vậy Imϕ∩Kerϕ ={ }0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A= Imϕ⊕Kerϕ.

2.1.3.5 Định nghĩa hạng tử trực tiếp:

Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có môđun con C của A sao cho A= B⊕C Môđun A≠0được gọi là không phân tích được, nếu 0 và A là những hạng tử duy nhất trong A

2.1.3.6 Ví dụ.

1) Tập các số phức được xem như một R-môđun Khi đó R là một hạng tử trực tiếp trong do ta có sự phân tích trực tiếp:

Trong đó i2 = -1

2) Trên vành xem như môđun trên chính nó, mọi môđun con m với m≠ 0 ,m≠ ± 1 không là hạng tử trực tiếp Thật vậy, đối với hai môđun con thực sự, m , n ta có

Bởi vậy môđun không phân tích được

3) Nhóm xychic có cấp là bội của một số nguyên tố là -môđun không phân tích được

Chứng minh Ta kí hiệu nhóm Xyclic có cấp k bởi (k). Giả sử n = pn, p nguyên tố Giả sử (n) = A⊕B: thế thì A,B sinh ra tương ứng bởi các phần tử pα và pβ,α +β =m

Từ điều này suy ra một trong hai nhóm con A, B chứa nhóm con kia, trái giả thiết

0

=

∩B

A

Các hạng tử trực tiếp có liên quan với những đồng cấu có tính chất đặc biệt mà ta xét dưới đây

2.1.3.7 Định nghĩa.

Đơn cấu α:A→Bcủa các Rmôđun được gọi là chẻ ra nếu Imα là hạng tử trưc tiếp

của B Toàn cấu β :B→Cđược gọi là chẻ ra nếu Kerβ là hạng tử trực tiếp của B.

2.1.3.8 Mệnh đề.

1) Đồng cấu môđun α:A→Blà đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu

A

B→

:

β sao cho βα =id A(ta nói α nghịch đảo trái) khi đó:

β

B= Im ⊕

2) Đồng cấu: β:B→C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu γ :C→B

sao cho βγ =id C (ta nói β là nghịch đảo phải) Khi đó:

β

B= Im ⊕

 Chứng minh

(1) giả sử α:A→ B là đơn cấu chẻ ra Khi đó B=Imα⊕B1.Do đó mỗi phần tử b ∈

B viết được duy nhất dưới dạng

( )a +b1

Và do αlà dẳng cấu giữa α và Imα nên tương ứng:

A

B→

: β

α( )a +b1  a

Là một đồng cấu Rõ ràng βα =id A

Ngược lại, giả sử tồn tại đồng cấu β :B→Asao cho βα =id A Khi đó α là đơn cấu.

( )

Vậy B= Imα⊕ kerβ

Để chứng mình ta lấy a là phần tử trực thuộc giao Thế thì tồn tại sao cho và

(2) Nếu là toàn cấu chẻ ra thì Khi đó cái hạn chế của

là một đẳng cấu,

Gọi là phép nhúng chính tắc ta được

Thỏa mãn

Ngược lại nếu tồn tại đồng cấu sao cho là đơn cấu và là toàn cấu Áp dụng Mệnh đề 1) ta được , nghĩa là là toàn cấu chẻ ra

2.1.4 Dãy khớp

2.1.4.1 Định nghĩa

Dãy các môđun và các đồng cấu môđun

 →M n−1 ϕ → n−1 M n  → ϕn M n+1  →

(1) được gọi là dãy khớp nếu Imϕ =n−1 Kerϕn ∀n

Dãy khớp với 5 môđun

0

"

'

0  →M  →f M  →g M  → (*) Được gọi là dãy khớp ngắn (Im f =Kerg )

Trong đó môđun đầu và môđun cuối cùng đều bằng 0

Dãy (*) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf =Kerg. Khi đó, do f là đơn cấu nên ta đồng nhất M' với Imf (=Kerg ) và do g là toàn cấu

nên Img =g(M) =M"; đo vậy theo định lí đồng cấu môđun, ta có M Kerg ≅Img nên

"

' M

M

2.1.4.2 Mệnh đề (Tiêu chuẩn chẻ ra từ dãy khớp ngắn)

Giả sử 0  →M'  →f M  →g M"  → 0 (**)

là một dãy khớp ngắn các môđun Khi đó các điều kiện sau là tương ứng:

i) f là có nghịch đảo trái, tức là tồn tại đồng cấu ψ :M →M'sao cho ψ  f =id M'

ii) g có nghịch đảo phải, tức là tồn tại đồng cấu ϕ:M" →M sao cho gϕ =id M" Khi những điều kiện đó thỏa mãn thì

ψ

Ker f

M ≅ Im ⊕

ϕ Im

⊕

Tức là M ≅M ' M⊕ "

Ví dụ:

Giả sử có các họ các R-môđun {Ai/i∈I},{Bi/i∈I} và Nếu với mỗi i∈Ita có các dãy khớp: 0  →Ai →Bi →Ci → 0

Chứng minh rằng 0→⊕ →⊕ →⊕ →0

∈

∈

I i I

i I

i

cũng là dãy khớp

Đặt:⊕I f i:⊕I A i → ⊕I B i

( i)

I

i I

∑  ;

Và ⊕I g i : ⊕I B i → ⊕I C i

( i)

I

i I

∑  ; (1) Ta sẽ chứng minh ⊕I f i, i

I g

⊕ lần lượt là đơn cấu, toàm cấu:

• ⊕I f i là ánh xạ: Giả sử ∑ =∑ i'∈⊕I i ⇒∑( i − i')=0

I i

a a A

a a

≠

∈

≠

∈

∈

−

−

=

−

∋

j

i I i i i

j

i I i i j

j

; ∀j = 1 ,n

≠

∈

j

i I i i i

j

a

; ∀j= 1 ,n

⇒ a j =a j' ; ∀j=1,n ⇒ ( ) ( i').

I i i

I

∑ =

• ⊕I f i là đồng cấu : Với mọi ∑

I i

a ,

i I I

a ∈⊕

∑ ' ; ∀r,r' ∈R ; Ta có :











i i

i

I

i I

i i i









⊕











⊕ +













⊕

=

∑

i i i I I

i i I i

i i

I

f

• ⊕I f i là đơn cấu : Với mọi 









⊕

∈

I

a ⇒ ∑ ( i)=0

I

i a f

∑

∑

∑

≠

∈

≠

∈

≠

∈

⊂

∈

−

=

∋

⊃

⇒

j

i I i i j

i I i

i i

j

i I i i j

j j

; ∀j∈I

≠

∈

j

i I i i j

j

f ; ∀j∈I

0 ) ( =

∈

⇒a j Ker f j ; ∀j∈I (do f j là đơn cấu, ∀j∈I )

0









⊕

⇒

=

I

a

• ⊕I g i là đồng cấu : Tương tự như chứng minh ⊕I f i là đòng cấu.

• ⊕I g i là toàn cấu : ∀ ∈⊕ ⇒ =∑

I i i

i

c ∈ ; ∀i∈I

Từ c i ∈C i(∀i∈I) thì do g i là toàn cấu nên ∃b i ∈B i :c i =g i(b i)